2022年2021广州二模文科数学试题及答案

1、图1俯视图侧视图正视图33422试卷类型： a 2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科） 20184 本试卷共4 页， 21 小题，满分 150 分. 考试用时120 分钟 . 注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上 . 用 2b铅笔将试卷类型（a）填涂在答题卡相应位置上. 2选择题每小题选出答案后，用2b 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动

2、，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4作答选做题时，请先用2b 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答. 漏涂、错涂、多涂的，答案无效 . 5考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13vsh, 其中s是锥体的底面积,h是锥体的高 . 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，满分50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数z满足 i2z，其中 i 为虚数单位，则z等于 a 2i b2i c2 d22已知集合20,1,2,3 ,0abx xx，则集合ab的子

3、集个数为 a 2 b4 c6 d83命题“对任意xr，都有32xx”的否定是 a 存在0 xr，使得3200 xx b不存在0 xr，使得3200 xx c 存在0 xr，使得3200 xx d对任意xr，都有32xx4. 下列函数中，既是偶函数又在0,上单调递增的是 a yx b21yx ccosyx d1yx5有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 a 16 b13 c12 d386一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为 a 12 b6 c 4 d27设ns是等差数列na的前n项和，公

4、差0d，若113132,24ksaa，则正整数k的值为 a 9 b10 c 11 d128在abc中，60abc，1ab，3bc，则sinbac的值为 a 314 b3 314 c2114 d3 21149设12,ff分别是椭圆2222:10 xycabab的左、右焦点，点p在椭圆c上，线段1pf精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -的中点

5、在y轴上，若1230pf f，则椭圆c的离心率为 a33 b36 c13 d1610将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ija表示第i行第j列的数，若2014ija，则ij的值为 a257 b256 c254 d253表 1 二、填空题：本大题共5 小题，考生作答4 小题，每小题5 分，满分20 分（一）必做题（1113 题）11不等式120 xx的解集为 . 12. 已知四边形abcd是边长为3的正方形，若2,2deec cffb，则ae af的值为 . 13设, x y满足约束条件220,840,0,0.xyxyxy若目标函数0,0zaxby ab的最大值为8，则ab的最大值为

6、 . （二）选做题（1415 题，考生从中选做一题）14 （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xoy中，直线,(xattyt为参数)与圆1cos ,(sinxy为参数)相切，切点在第一象限，则实数a的值为 . 15 （几何证明选讲选做题）在平行四边形abcd中，点e在线段ab上，且12aeeb，连接,de ac，ac与de相交于点f，若aef的面积为1 cm2，则afd的面积为 cm2. 三、解答题：本大题共6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 （本小题满分12 分）已知函数2 cos4fxx，xr . (1) 求函数fx的最小正周期和值域；（2）若0,2，且1

7、2f，求sin2的值 . 17 （本小题满分12 分）某校高三年级一次数学考试之后, 为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n名学生的数学成绩 , 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a，b，n的值 ; (2) 若从第三 , 四, 五组中用分层抽样方法抽取6 名学生，并在这6 名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率. 第 1 列第 2 列第 3 列第 4 列第 5 列第 1 行2468第 2 行16141210第 3 行18202224第 4 行32302826第 5 行34363840组号分组频数频率第一组90,10050.05第二组100,110a0

8、.35第三组110,120300.30精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -hfedcba表 2 18 （本小题满分14 分）如图2，在五面体abcdef中，四边形abcd是边长为2的正方形，ef平面abcd，1ef，,90fbfcbfc，3ae，h是bc的中点 . （1）求证：fh平面bde；（2）求证：ab平面bcf；（3）求五面体ab

9、cdef的体积 . 图219 （本小题满分14 分）已知等差数列na的前n项和为ns2( ,npnq p qr)，且235,aaa成等比数列 . （1）求, p q的值；（2）若数列nb满足22loglognnanb，求数列nb的前n项和nt. 20 （本小题满分14 分）已知函数2lnfxxxax，ar . （1）若函数fx在其定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）当1a时，函数1fxg xxx在区间, t(tn*)上存在极值，求t的最大值. ( 参考数值 : 自然对数的底数e2.71828) 21 （本小题满分14 分）已知点2,1a在抛物线2:e xay上，直线1:1(lykxkr，且

10、0)k与抛物线e相交于,b c两点，直线,ab ac分别交直线2:1ly于点,s t. （1）求a的值；（2）若2 5st，求直线1l的方程；（3）试判断以线段st为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明： 1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可

11、视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数第四组120,13020b第五组130,140100.10合 计n1.00精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择

12、题：本大题共10小题，每小题5分，满分 50分题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案a b c d c b a d a c 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，满分20 分其中1415 题是选做题，考生只能选做一题111,2 129 134 1421 153三、解答题：本大题共6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 （本小题满分12分）（1）解：2 cos4fxx， 函数fx的最小正周期为2. 2 分xr，cos1,14x， 3 分2cos2,24x. 4分 函数fx的值域为2,2. 5 分（2）解法 1：12f，12 cos42. 6 分2cos4

13、4. 7 分 sin 2cos22 9 分212cos4 11 分2212434. 12 分解法 2：12f， 12 cos42. 6 分12 coscossinsin442. 7 分1cossin2. 8分两边平方得221cos2cossinsin4. 10 分 3sin 24. 12 分17 （本小题满分12 分）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - -

14、 - - - -mohfedcba(1) 解：依题意，得5200.05,0.35,abnnn，解得，100n，35a，0.2b. 3 分(2) 解：因为第三、四、五组共有60 名学生，用分层抽样方法抽取6 名学生，则第三、四、五组分别抽取306360名，206260名，106160名. 6 分第三组的3名学生记为123,a aa，第四组的2名学生记为12,b b，第五组的1名学生记为1c，则从6名学生中随机抽取2名， 共有15种不同取法， 具体如下：12,a a，13,a a，11,a b，12,a b，11,a c，23,a a，21,ab，22,ab，21,a c，31,a b，32,a

15、b，31,a c，12,b b，11,b c，21,b c. 8 分其中第三组的3名学生123,a aa没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：12,b b，11,b c，21,b c. 10 分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815. 12 分18 （本小题满分14 分）（1）证明：连接ac，ac与bd相交于点o，则点o是ac的中点，连接,oh eo，h是bc的中点，ohab，112ohab. 1 分ef平面abcd，ef平面abfe，平面abcd平面abfeab，efab. 2 分1ef，ohef，ohef. 四边形eohf是平行四边形. eofh，eofh. 3

16、分eo平面bde，fh平面bde，fh平面bde. 4 分（2）证法 1：取ab的中点m，连接em，则1ammb，由（ 1）知，efmb，且efmb，四边形embf是平行四边形. emfb，emfb. 5分在 rtbfc中，2224fbfcbc，又fbfc，得2fb. 2em. 6 分在ame中，3ae，1am，2em，2223amemae. amem. 7 分amfb，即abfb. 四边形abcd是正方形，abbc. 8 分fbbcb，fb平面bcf，bc平面bcf，ab平面bcf. 9 分证法 2：在 rtbfc中，h为bc的中点，112fhbc. 在aeo中，13,2,12aeaoace

17、ofh, 222aoeoae. aoeo. 5 分fheo, aofh. 6 分精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - -ohfedcba,fhbc bc平面abcd, ao平面abcd, aobcc, fh平面abcd. ab平面abcd, fhab. 7 分四边形abcd是正方形，abbc. 8 分bc平面bcf, fh平面bcf, bcf

18、hh, ab平面bcf. 9 分（3）解：连接ec，在 rtbfc中，112fhbc，1eofh. 由（ 2）知ab平面bcf，且efab，ef平面bcf. 10 分fh平面abcd, eofh，eo平面abcd. 11 分四棱锥eabcd的体积为113abcdveo s正方形2141 233. 12 分三棱锥ebcf的体积为213bcfvef s211112323. 13 分五面体abcdef的体积为1253vvv. 14 分19 （本小题满分14 分）（1）解法 1：当1n时，111aspq， 1 分当2n时，1nnnass 2 分221121npnqnp nqnp. 3 分na是等差数列

19、，12 1 1pqp，得0q. 4 分又2353,5,9ap ap ap， 5 分235,aaa成等比数列，2325aa a，即2539ppp， 6 分解得1p. 7 分解法 2：设等差数列na的公差为d，则2111222nn nddsnadnan. 1 分2nsnpnq，12d，12dap，0q. 4 分2d，11pa，0q. 235,aaa成等比数列，2325aa a， 5 分即2111428aaa. 解得10a. 6 分1p. 7 分（2）解法 1：由（ 1）得22nan. 8 分22loglognnanb，221224nannnbnnn. 9分精品学习资料 可选择p d f - - -

20、 - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - -1231nnntbbbbb0122142 43 4144nnnn， 10 分123144243 4144nnntnn， 11 分得0121344444nnntn14414nnn13413nn. 13 分131419nntn. 14 分解法 2：由（ 1）得22nan. 8 分22loglognnanb，221224nannnbnnn. 9分12

21、31nnntbbbbb01221424341 44nnnn. 10 分由12311nnxxxxxxxx， 11 分两边对x取导数得，012123nxxxnx12111nnnxnxx. 12 分令4x，得0122114243414431419nnnnnn. 131419nntn. 14 分20 （本小题满分14 分）（1）解法 1：函数fx的定义域为0, 1 分2lnfxxxax，12fxxax. 2 分 函数fx在0,上单调递增，0fx, 即120 xax对0,x都成立 . 3 分12axx对0,x都成立 . 4 分当0 x时, 112222 2xxxx, 当且仅当12xx, 即22x时, 取

22、等号 . 5 分22a, 即2 2a. a的取值范围为2 2,. 6 分解法 2：函数fx的定义域为0, 1 分2lnfxxxax， 21212xaxfxxaxx. 2 分方程2210 xax的判别式28a. 3 分当0, 即2 222a时, 2210 xax, 此时 , 0fx对0,x都成立 , 故函数fx在定义域0,上是增函数 . 4 分当0, 即2 2a或2 2a时 , 要 使 函 数fx在 定 义 域0,上 为 增 函 数, 只 需2210 xax对0,x都成立 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - -

23、 - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - -设221h xxax, 则010,0,4ha得0a. 故2 2a. 5 分综合得a的取值范围为2 2,. 6 分（2）解：当1a时, 2lnln111fxxxxxg xxxxxx. 211ln1xxgxx. 7 分 函数g x在, t(tn*)上存在极值， 方程0gx在, t(tn*)上有解 , 即方程11ln0 xx在, t(tn*)上有解 . 8 分令11lnxxx0 x, 由于0 x, 则2110 xxx, 函数x

24、在0,上单调递减 . 9 分413ln 3ln334e27412.5ln0327, 10 分514ln 4ln445e256513ln04256, 11 分函数x的零点03,4x. 12 分方程0 x在, t(t n*)上有解 , tn*3t. 13 分tn*，t的最大值为3. 14 分21 （本小题满分14 分）（1）解：点2,1a在抛物线2:exay上，4a. 1 分第（ 2） 、 （3）问提供以下两种解法：解法 1： （2）由（ 1）得抛物线e的方程为24xy. 设点,b c的坐标分别为1122,x yxy，依题意，2211224,4xyxy，由21,4 ,ykxxy消去y得2440 x

25、kx，解得221,24412212kkxkk. 12124 ,4xxk x x. 2 分直线ab的斜率2111111124224abxyxkxx，故直线ab的方程为12124xyx. 3 分令1y，得1822xx，点s的坐标为182, 12x. 4 分精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - -同理可得点t的坐标为282, 12x. 5 分121

26、212888222222xxstxxxx121212121288248xxxxxxx xxxkk. 6 分2 5st，122 5xxk. 由221212124xxxxx x，得22201616kk，解得2k, 或2k, 7 分直线1l的方程为21yx，或21yx. 9 分（ 3）设线段st的中点坐标为0, 1x，则12012124418822222222xxxxxxx12124 444 44222248kkx xxxkk. 10 分而2st2221212122221614kxxxxx xkkk， 11 分以线段st为直径的圆的方程为2222114xystk2241kk. 展开得22222414414kxxykkk. 12 分令0 x，得214y，解得1y或3y. 13 分以线段st为直径的圆恒过两个定点0,1 , 0, 3. 14 分解法 2： （2）由（ 1）得抛物线e的方程为24xy. 设直线ab的方程为112ykx，点b的坐标为11,x y，由112 ,1,ykxy解得122,1.xk