勾股定理复习课

1、勾三股四弦五什么叫勾股定理？什么叫勾股定理？a2 + b2 = c2 注意：注意：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。1、直角三角形是前提。、直角三角形是前提。2、谁是斜边要清楚。、谁是斜边要清楚。1、勾股定理的公式变形、勾股定理的公式变形a2=c2b2acb22cab22b2 =c2-a2b=c2-a2a2+b2=c2cbaCBA2、常用的勾股数：、常用的勾股数：3、4、5； 5、12、13； 7、24、25； 8、15、17； 9、40、41. 4、命题与逆命题有何关系？什么是互逆定理？、命题与逆命题有何关系？什么是互逆定理？3、直角三角形中

2、的有关定理、直角三角形中的有关定理（1）在直角三角形中，）在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜角所对的直角边等于斜边的一半。边的一半。（2）在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，）在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为则这条直角边所对的角为30。（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。要点要点1: 在两个命题中，如果第一个命题的题在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做

3、互逆命题如果把其中一个命题叫做原命题，那逆命题如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题么另一命题就叫做它的逆命题 要点要点2: 每一个命题都有逆命题，只要将原命题每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题但是原命题正确，它的逆命题原命题的逆命题但是原命题正确，它的逆命题未必正确例如真命题未必正确例如真命题“对顶角相等对顶角相等”的逆命题的逆命题为为“相等的角是对顶角相等的角是对顶角”，此命题就是一个假命，此命题就是一个假命题题三.逆命题.逆定理1、“所有的命题都有逆命题，所有的定理都有逆

4、定理所有的命题都有逆命题，所有的定理都有逆定理”这种说法对吗？这种说法对吗？3、在、在ABC中，中，AC=6，BC=8，则，则AB的长为（的长为（ ）（A）10 （B）2 （C）4 （D）无法确定）无法确定4、已知直角三角形的两边长分别为、已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边，则第三边长为长为 。5、以线段、以线段a=0.6，b=1，C=0.8为边组成的三角形是不为边组成的三角形是不是直角三角形？是直角三角形？2 2、命题、命题“直角三角形中直角三角形中30角所对的直角边等于斜边角所对的直角边等于斜边的一半的一半”的逆命题是的逆命题是 。 2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理:三角形的

5、三边三角形的三边a,b,c满足满足a2+b2=c2,则这个三角形是则这个三角形是直角三角形直角三角形; 较大边较大边c 所对所对的角是直角的角是直角.4、特殊三角形的三边关系：、特殊三角形的三边关系：cbaBCA若若A=30，则，则2:3:1:cbacbaCAB若若A=45，则，则2:1:1:cba考考 点点 一一与勾股定理有关的与勾股定理有关的计算问题计算问题若若A=30A=30,a=2,a=2,则则c=_,b=_,c=_,b=_, a:b:c=_; a:b:c=_;比一比比一比,看谁快看谁快!1 1、在、在RtRtABCABC中，中，C=900若若a=6a=6，b=8b=8， 则则c=_;

6、c=_;若若A= A= C,c= , ,c= , 则则a=_,a:b:c=_.a=_,a:b:c=_.2121094231：1211 ：CBA若若a:b=1:2,c= 2 a:b=1:2,c= 2 则则S SABC=_;=_;5432若若a=40,c=41a=40,c=41，则，则b=_;b=_;abc时时间间到到!abcS大正方形c2S小正方形（b-a）2S大正方形4S三角形S小正方形即：c2=42C2=2ab+a2-2ab+b2 a2 + b2 = c2现在我们一起来回顾现在我们一起来回顾一下一下“赵爽弦图赵爽弦图”的奥妙的奥妙吧！吧！赵爽弦图赵爽弦图2、分别以直角三角形三边为半径作正方形

7、分别以直角三角形三边为半径作正方形则这三个正方形的面积则这三个正方形的面积S1, S2, S3之间的关之间的关系（系（ ）3.如图，两个正方形的面积如图，两个正方形的面积分别为分别为64，49，则，则AC=( ) CAD6449S3 = S1 + S217CBAS3S2S1a ab bS3S2S1c cCBAS3S2S14、等腰三角形底边上的高为、等腰三角形底边上的高为8，周长为，周长为32，求这个三角形的面积求这个三角形的面积8x16-xDABC解：设这个三角形为解：设这个三角形为ABC，高为，高为AD，设设BD为为x，则，则AB为（为（16-x），）， 由勾股定理得：由勾股定理得：x2+8

8、2=(16-x)2即即x2+64=256-32x+x2 x=6 SABC=BCAD/2=2 6 8/2=482、已知、已知RtABC中，中，C=90，若，若a+b=14cm， c=10cm，则，则RtABC的面积是（）的面积是（） A、24cm2B、36cm2 C、48cm2 D、60cm23 3、直角三角形有一条直角边的长为、直角三角形有一条直角边的长为1111，另外两边的长，另外两边的长也是正整数，则此三角形的周长是（也是正整数，则此三角形的周长是（ ）A A、120 B120 B、121 C121 C、132 D132 D、1231234 4、已知：如图，、已知：如图，B=D=90，A=

9、60，AB=4，CD=2。求：四边形求：四边形ABCD的面积。的面积。 ABCDE1、如图，铁路上、如图，铁路上A，B两点相距两点相距25km，C，D为为 两村庄，两村庄，DAAB于于A，CBAB于于B，已知，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路，现在要在铁路AB上上 建一个土特产品收购站建一个土特产品收购站E，使得，使得C，D两村到两村到 E站的距离相等，则站的距离相等，则E站应建在离站应建在离A站多少站多少km 处？处？CAEBD解：解：设设AE= x km，则，则 BE=（25-x）km根据勾股定理，得根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2 又又

10、DE=CE AD2+AE2= BC2+BE2即：即：152+x2=102+（25-x）2 x=10 答：答：E站应建在离站应建在离A站站10km处。处。x25-xCAEBD1510 3.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ AB小河东北牧童小屋第3题图考考 点点 二二 与展开图形有关与展开图形有关的计算问题的计算问题我来啦! 如图如图, ,一圆柱高一圆柱高8cm,8cm,底面半径底面半径2cm,2cm,一只蚂一只蚂蚁从点蚁从点A A爬到点爬到点B B处吃食处吃食, ,要

11、爬行的最短程要爬行的最短程( ( 取取3)3)是是( )( ) A.20cm;B.10cm;C.14cm; A.20cm;B.10cm;C.14cm;D.D.无法确定无法确定. . ABBAB2、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿出发，沿长方体的表面爬到对角顶点长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ABA1B1DCD1C1214分析分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况路线有三种情况(如图如图 ),由由勾股定理可求得

12、图勾股定理可求得图1中中AC1爬行爬行的路线最短的路线最短.ABDCD1C1421 AC1 =442 2+3+32 2 =25 =25 ;ABB1CA1C1412 AC1 =662 2+1+12 2 =37 =37 ;AB1D1DA1C1412 AC1 =552 2+2+22 2 =29 =29 . 如图5是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 .201525考 点 3与勾股定理有关的与勾股定理有关的证明题证明题如图，已知在如图，已知在ABC中，中，C=90,

13、D为为AC上一点，上一点，AB2-BD2与与AC2-DC2有怎样的关系？有怎样的关系？试证明你的结论。试证明你的结论。 证明：证明：在在Rt ABC中，中， AB2=AC2+BC2在在Rt DBC中中， BD2=DC2+BC2 BC2 = AB2AC2 BC2 = BD2 DC2 AB2AC2 = BD2 DC2 C=90即即: AB2-BD2 = AC2-DC22、已知，、已知，ABC中，中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线边上的中线AD=15cm，试说明，试说明ABC是等腰是等腰三角形。三角形。提示提示: 先运用勾股定理证明中线先运用勾股定理证明中线ADBC,再利用再利用等腰

14、三角形的判定方法就可以说明了等腰三角形的判定方法就可以说明了. 3、如图，在、如图，在ABC中，中，AB=AC，P为为BC上任意一点，上任意一点，证明：证明：AB2AP2=PBPC。ABPC解：过解：过A点作点作ADBCD在在 RtABD中中,根据勾股定理根据勾股定理,得得: AB2=AD2+BD2 同理同理: AP2=AD2+DP2 由由-,得得 AB2AP2=BD2-DP2 =(BD+DP)(BD-DP) =PB(BD+DP)又又 AB=AC, ADBC BD=CD AB2AP2=PBPC考 点 4勾股定理的实际应用勾股定理的实际应用1、如图，要登上、如图，要登上8米米高的建筑物高的建筑物

15、BC，为了，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物距离安全需要，需使梯子底端离建筑物距离AB为为6米米，问至少需要多长的梯子？，问至少需要多长的梯子？8mBCA6m解：根据勾股定理得：解：根据勾股定理得：AC2= 62 + 82 =36+64 =100即：即：AC=10（-10不合，舍去）不合，舍去）答：梯子至少长答：梯子至少长10米。米。分析：先把实际问题转化成数学问题。分析：先把实际问题转化成数学问题。已知：已知：AD = 0.5 尺，尺， AC = 2尺，尺，且且CACAB = 90, , BD =BC，求，求:AB的长的长.C1、 印度有一数学家婆什迦罗曾提出过印度有一数学家婆什迦罗曾提出

16、过“荷花问题荷花问题”:“平平湖水清可鉴平平湖水清可鉴, 面上半尺生红莲面上半尺生红莲;出泥不染亭亭立出泥不染亭亭立, 忽被强风吹水面。忽被强风吹水面。渔人观看忙向前渔人观看忙向前, 花离原位二尺远；花离原位二尺远；能算诸君请解题，能算诸君请解题， 湖水如何知深浅？湖水如何知深浅？”2、如图、如图,点点A是一个是一个半径为半径为 m的圆形森林公的圆形森林公园的中心园的中心,在森林公园附近有在森林公园附近有 B .C 两个小镇两个小镇,现要在现要在 B.C 两小镇之间修一条长为两小镇之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将的笔直公路将两镇连通两镇连通,经测得经测得 B=60,C=30,问问?请

17、通过请通过计算说明此公路会不会穿过该森林公园计算说明此公路会不会穿过该森林公园.ABC10006030D解：在解：在中中B=60,C=30,在在Rt中，中， =2 此公路不会穿过该森林公园此公路不会穿过该森林公园22ABBC 2133 2 2、飞机在空中水平飞行，某一时刻、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方刚好飞到一个男孩子头顶上方4 4千米处，千米处，过了过了2020秒，飞机距离这个男孩子头顶秒，飞机距离这个男孩子头顶5 5千千米，飞机每小时飞行多少千米？米，飞机每小时飞行多少千米？4 km5 kmV=ST20s 3km注意注意3.某考古员发现了一张文字叙述的藏宝图某考古

18、员发现了一张文字叙述的藏宝图“他们登陆后先他们登陆后先往东走往东走8千米，又往北走千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走千米，遇到障碍后又往西走3千千米，再折向北走到米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝千米就找到宝藏藏”(1)请你把藏宝图画出来请你把藏宝图画出来(2)登陆点登陆点A到宝藏点到宝藏点B的直线距离是多少千米？的直线距离是多少千米？C 解：在解：在RtABC中，中，ACB=90AC=6，BC=8AB =22BCAC =2286 =10（千米）（千米）答：答：登陆点登陆点A到宝藏点到宝藏点B的直线的直线距离是距离是10千米。千米。过点过点B作作BC

19、AC于于C4.4.小刚准备测量一段河水的深度小刚准备测量一段河水的深度, ,他把一根竹他把一根竹竿插到离岸边竿插到离岸边15m15m远的水底远的水底, ,竹竿高出水面竹竿高出水面5m,5m,把竹竿的顶端拉向岸边把竹竿的顶端拉向岸边, ,竿顶和岸边的水面刚竿顶和岸边的水面刚好相齐好相齐, ,则河水的深度为则河水的深度为( )( )A. 20m; B. 25m; A. 20m; B. 25m; C. 22.5m; D. 30m. C. 22.5m; D. 30m. A5在一棵树的在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树子爬下树走到离树20米处的池塘的米处的池塘

20、的A处。另处。另一只爬到树顶一只爬到树顶D后直接跃到后直接跃到A处，距离以直线处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高这棵树高_米。米。 15勾股定理逆定理勾股定理逆定理的应用的应用考点5 a b c 赛一赛赛一赛,看谁准看谁准 下面以下面以a,b,c为边长的三角形是为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1) a=25 b=20 c=15 _ _ ;(2) a=13 b=14 c=15 _ _ ;(4) a:b: c=3:4:5 _ _ ;是是是是不是不是 是是 A=900 B=900 C=900(3) a=1 b=2 c= _ _ ;3(5)a=2m b=m2-1 c=