拉普拉斯反变换

1、河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology机械工程控制基础机械工程控制基础第第2 2章章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换-拉氏反变换拉氏反变换河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换从从Laplace变换变换F(s)求时间函数求时间函数f(t)的反变换过程称为的反变换过程称为Laplace反变换。反变换。Laplace 反变换的符号是反变换的符号是 可以通过下列反演可以通过下列反演积分，从积分，从 F(s) 求得求得 Lap

2、lace 反变换反变换计算反演积分相当复杂，在控制工程中，不推荐采用这种计算反演积分相当复杂，在控制工程中，不推荐采用这种方法求常用函数的拉普拉斯反变换。方法求常用函数的拉普拉斯反变换。1L11 ( )( )( )2jstjLF sf tF s e dsj河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换已知象函数已知象函数F(s)，求原函数，求原函数f(t)的方法有：的方法有：查表法：查表法：直接在拉氏变换表中查出相应的原函数，这个适直接在拉氏变换表中查出相应的原函数，这个适用于比较简单的象函数

3、。用于比较简单的象函数。有理函数法：有理函数法：根据拉氏反变换公式求解，由于公式中的被根据拉氏反变换公式求解，由于公式中的被积函数是一个复变函数，需要复变函数中的留数定理求解，积函数是一个复变函数，需要复变函数中的留数定理求解，本节不做介绍。本节不做介绍。部分分式法：部分分式法：通过代数运算，先将一个复杂的象函数化为通过代数运算，先将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和，再分别求出各个分式的原函数，数个简单的部分分式之和，再分别求出各个分式的原函数，总的原函数既可求到。总的原函数既可求到。河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Tech

4、nology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换其中其中A(s)和和B(s)是是s的多项式，的多项式，p1 、p2、pn和和z1 、z2、zm分别分别F(s)的极点和零点。在是的极点和零点。在是F(s)=B(s)/A(s)展开成部分分式的形式时，展开成部分分式的形式时， A(s)中中s的最高阶次应大于的最高阶次应大于B(s)中中s的最高阶次。如果情况不是这样，的最高阶次。如果情况不是这样，则必须用分母则必须用分母A(s)去除分子去除分子B(s) ，从而得到一个，从而得到一个 s 的多项式与余式的多项式与余式之和，该余式仍是之和，该余式仍是 s 的多项式之比，但其分子的阶次低于分母的阶的多项式之

5、比，但其分子的阶次低于分母的阶次。次。在分析控制系统问题时，在分析控制系统问题时， f(t)的拉氏变换的拉氏变换F(s) ，常以下列形式出现，常以下列形式出现1.1.求拉普拉斯反变换的部分分式展开法求拉普拉斯反变换的部分分式展开法110110( )( ) ()( )mmmmnnnnb sbsbB sF SnmA sa sasa1212( - )( - ).( -) ( - )( -).( -)mnK s zs zs zs ps ps p河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换部分分式展开

6、法的优点是当部分分式展开法的优点是当F(s)展开成部分分式形式后，它的每一展开成部分分式形式后，它的每一个单项都是个单项都是s的非常简单的函数。但是，在应用部分分式展开法求的非常简单的函数。但是，在应用部分分式展开法求F(s)=B(s)/A(s)的拉普拉斯反变换时，的拉普拉斯反变换时， 必须先求出分母多项式必须先求出分母多项式A(s)的的根。就是在对分母多项式进行因式分解之前，不能应用这种方法。根。就是在对分母多项式进行因式分解之前，不能应用这种方法。如果如果F(s)被分解成下列分量被分解成下列分量1.1.求拉普拉斯反变换的部分分式展开法求拉普拉斯反变换的部分分式展开法12( )( )( ).

7、( )nF sF sF sF s并且并且 的拉普拉斯变换可以容易得到，则的拉普拉斯变换可以容易得到，则12( ),( ),.,( )nF s F sF s111112( )( )( ).( )nLF sLF sLF sLF s12( )( ).( )nf tf tf t说明说明：对于分母包含较高阶次多项式的复杂函数，进行部分分式：对于分母包含较高阶次多项式的复杂函数，进行部分分式展开可能会相当费时间。此时，建议采用展开可能会相当费时间。此时，建议采用MATLAB。河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变

8、换拉普拉斯反变换式中p1 、p2、pn ，是A(s)=0的根，也是F(s)的极点，采用部分分式法求解F(s)的拉氏反变换时，按照这些根的性质，可分为以下两种情况来研究。1.1.求拉普拉斯反变换的部分分式展开法求拉普拉斯反变换的部分分式展开法1212( - )( - ).( -)( )( ) ()( )( - )( -).( -)mnK s zs zs zB sF SnmA ss ps ps pF(s)只有不同极点的情况只有不同极点的情况F(s)有多重极点的情况有多重极点的情况河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5

9、拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换如果如果A(s)的根是各不相同的实数，可将的根是各不相同的实数，可将F(s)分解为分解为2.2.只包含不同极点的只包含不同极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开()12112nniiniAAAAF sspspspsp=+ 鬃 =-12nAAA 式中待定系数，鬃 鬃 )2 , 1(nipi为A(s)的n() ( )111spAsp F s=轾=-臌河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换从而可求得从而可求得F(s)的原函数为的原函数为2.2.只包含不

10、同极点的只包含不同极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开()()11inptiif tLF sAe-=轾=臌() ( )222spAspF s=轾=-臌() ( )iiispAsp F s=轾=-臌()12112nniiniAAAAF sspspspsp=+ 鬃 =-求得各个系数后，求得各个系数后，F(s)可用下式表示可用下式表示11=-ip tiLes p因为-河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换解：首先将F(s)写成部分分式的形式，可得2.2.只包含不同极点的只包含不

11、同极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开( )()()()( )()()( )()()()()( )()()()()223122210022332322223232621323283332152422325ssssssAAAssssF ss ssssss ssssAF s sss ssssAF ssss ssssAF ssss ss= -= -+-+=+-+-+-轾-+犏轾= -臌犏-+犏臌轾-+犏轾=-=-=臌犏-+犏臌轾-+犏轾=+=+=臌犏-+犏臌()()2226sss ss例 求F s的拉氏反变换。-+=-河南科技大学河南科技大学Henan University of Sc

12、ience & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换则2.2.只包含不同极点的只包含不同极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开( )1 ssss= -+-+( )( )1111118131 534152ftLFsLLssLs-骣骣鼢珑轾=-+鼢珑臌鼢珑桫桫-骣+桫+()3218403155tteet-= -+河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology注意：注意：当当F(s)的某个极点等于零，或为共轭复数的某个极点等于零，或为共轭复数时，同样可用上述方法。时，同

13、样可用上述方法。 由于由于f(t)是一个实函数，若是一个实函数，若 p1、p2 是一对共轭是一对共轭复数极点，那么相应的系数复数极点，那么相应的系数 A1 和和A2 也是共轭复数，也是共轭复数，只要求出只要求出A1和和A2中的一个值，另一值即可得。中的一个值，另一值即可得。2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换2.2.只包含不同极点的只包含不同极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换求求F(s)的拉氏反变换的拉氏反变换2.2.只包含不同极点

14、的只包含不同极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开)4)(2)(1)(1()3)(1(20)(ssjsjssssF3124( )1124AAAAF ssjsjss 解：1120()(2)( )(1)43( 2 )(1)(3)sjjjAF s sjjjjj 2120 (2)( )(1)432 (1)(3)sjjjAF s sjjjjj 3220 ( 1) 1( )(2)5( 1)( 1) 2sAF s sjj 4420 ( 3) ( 1)( )(4)3( 3)( 3) ( 2)sAF s sjj 河南科技大学河南科技大学Henan University of Science &

15、; Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换所以所以2.2.只包含不同极点的只包含不同极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开4325134134)(ssjsjjsjsFtttttjtjtjtjtttttjtjeetteeeeejeeeeeejejsFLtf424242)1()1(135sin6cos835)(3)(435)34()34()()(河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换例：求下列函数的拉氏反变换例：求下列函数的拉氏反变换如果如果A(s)的根具有共

16、轭复根，为了方便，可不必将的根具有共轭复根，为了方便，可不必将F(s)展成通常的展成通常的部分分式，而是将其展成阻尼正弦函数与阻尼余弦函数之和部分分式，而是将其展成阻尼正弦函数与阻尼余弦函数之和2.2.只包含不同极点的只包含不同极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开()221225sF sss+=+分母多项式可以进行下列因式分解：分母多项式可以进行下列因式分解：225(12)(12)sssjsj+=+ + -F(s)有一对共轭极点。注意到有一对共轭极点。注意到22225(1)2sss+=+并且参考并且参考 和和 的拉氏变换的拉氏变换sinatetw-cosatetw-122cos(

17、)atsaLetsaww-+轾=犏臌+122sin()atLetsawww-轾=犏臌+河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换给定的给定的F(s)可以写成阻尼正弦函数与阻尼余弦函数之和可以写成阻尼正弦函数与阻尼余弦函数之和2.2.只包含不同极点的只包含不同极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开()222212102(1)25(1)2ssF ssss+=+由此得：由此得：5sin22cos20ttetett-=+111222221( )( )52(1)2(1)2sf tLF s

18、LLss-轾轾+犏犏=+犏犏+臌臌22222152(1)2(1)2sss+=+河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换3.3.包含多重极点的包含多重极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开若 A(s)=(s p1)n, 令 n=3F(s31232111( )()()AAAF sspspsp1311()( )s pAspF s1321()( )spdAspF sds1233121()( )2!spdAspF sds河南科技大学河南科技大学Henan University of S

19、cience & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换3.3.包含多重极点的包含多重极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开求得所有系数后，-( )= ( + ),atL ef tF s a又有111!11 ,(1)!nnnnnL tLtssn1112123( )2p tp tp tAf tt eA t eA e111111()(1)!p tnnAALetspn河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换3.3.包含多重极点的包含多重极点的F(s)F(s

20、)的部分分式展开的部分分式展开()23(2) (1)sF sss+=+()010232(2)(2)(1)AAAF ssss=+河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换3.3.包含多重极点的包含多重极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开()()()()()()()()()20122202223213232121213222131221ssssAsssdsAsdssssAsss= -= -= -轾+-+犏=+= -犏-+犏臌轾+犏=+= -犏+犏臌轾+犏=+=犏+犏臌( )()(

21、)2122212F ssss 则：-=-+()()22220tttf tteeet查拉氏变换表，得 -= -+河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology20应用拉氏变换性质求反变换应用拉氏变换性质求反变换解：解：应用时移性质：应用时移性质：例例 ：已知：已知 ，求拉氏反变换，求拉氏反变换2( )56sseF sss12( )()23sKKF sess1223ssKs 2332ssKs2(1)3(1)( )23ttf tee 河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Techn

22、ology21应用拉氏变换性质求反变换应用拉氏变换性质求反变换已知已知 ，求，求 拉氏反变换拉氏反变换 f (t)。21)( sesFS解：解：SSSSesessseesF22222212121)(应用时移性质：应用时移性质：( )2(1) (2)f tttt 河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.6 拉普拉斯变换解线性定常微分方程拉普拉斯变换解线性定常微分方程 应用拉普拉斯变换法求解线性定常微分方程是工程实践中行之有效的简单方法，采用以下步骤：1考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换，将时域的微分方程变换为s域的代数

23、方程；2求解代数方程，得到微分方程在s域的解。3对s域的解作拉氏反变换，得到时域的解。河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology例：解微分方程：022xxx1)0( , 0)0(xx0)(2)0()(2)0( )0()(2sXxsXxsxsXs41)(2ssXtsLsLtx2sin21422141)(2121解：对方程进行拉氏变换得：代入初始条件，解出代数方程为：拉氏反变换，得方程的解：2.6 拉普拉斯变换解线性定常微分方程拉普拉斯变换解线性定常微分方程河南科技大学河南科技大学Henan University of Scie

24、nce & Technology例 求图示机械系统，在单位脉冲力)(t质量m的运动规律。作用下，)(t解：系统的微分方程为：)()()( ttkxtmx0)0( )0( xx1)()0( )0()(2skXxsxsXsmkmssX21)(ttkmkmksmkmkLkmsLtxsin111)(2121对方程进行拉氏变换得：初始条件：解得2.6 拉普拉斯变换解线性定常微分方程拉普拉斯变换解线性定常微分方程河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology例：现有单自由度机械振动系统如图所示。例：现有单自由度机械振动系统如图所示。

25、已知条件为已知条件为：21Mkg s m=125KKkg m=6fkg s m=质量质量:弹簧刚度弹簧刚度粘滞阻尼系数粘滞阻尼系数外作用力外作用力f(t)为阶跃函数，恒值为为阶跃函数，恒值为8kg；质量质量M的位移的位移x(t)（相对平衡位置）的初始位移（相对平衡位置）的初始位移初始速度初始速度求解此系统的输出响应求解此系统的输出响应x(t)=?0( )0.3tdx tmdt=0( )0.6tx tm=2.6 拉普拉斯变换解线性定常微分方程拉普拉斯变换解线性定常微分方程河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2122( )( )() ( )( )d x tdx tMfkk x tf tdtdt212( )(0)(0)( )(0)() ( )( )M s X ssxxf sX sxkk X sF s轾-+-犏臌+=对上式两端进行拉氏变换，得对上式两端进行拉氏变换，得：212( )(0)(0)(0)( )()F ss