高等数学：3-2 洛必达法则

1、1小结小结 作业作业型未定式型未定式 ,0型未定式型未定式00,1 ,0 第二节第二节 洛必达法则洛必达法则第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用洛必达洛必达 (LHospital) 法国数学家法国数学家(1661-1705)型型未未定定式式型型 ,002,)(时时或或如果当如果当 xax其极限都不能直接利用极限运算其极限都不能直接利用极限运算在第一章中看到在第一章中看到,无穷大之商无穷大之商,法则来求法则来求.称为称为)()(lim)(xFxfxax 那末极限那末极限定义定义00 型未定式型未定式.或或如如, ,xxxtanlim0bxaxxsinlnsinlnlim

2、0)00()( 意味着关于它的极限不能确定出一般的意味着关于它的极限不能确定出一般的 未定未定 结论结论.两个无穷小之商或两个两个无穷小之商或两个两个函数两个函数 f (x)与与F(x)都趋于零或趋于无穷大都趋于零或趋于无穷大,3 这一节介绍一个求未定式极限的有效方法这一节介绍一个求未定式极限的有效方法, 此方法的关键是将此方法的关键是将)()(lim)(xFxfxax 的计算问题转化为的计算问题转化为)()(lim)(xFxfxax 的计算的计算. 其基本思想是由微积分著名其基本思想是由微积分著名先驱先驱, 从而产生了简从而产生了简洛必达法则洛必达法则. .后人对他的思想作了推广后人对他的思

3、想作了推广,提出的提出的,17世纪的法国数学家世纪的法国数学家洛必达洛必达 (LHospital) 便而重要的便而重要的4满足条件满足条件及及设函数设函数)()(xFxf定理定理1型型未未定定式式型型一一、 ,00);()()(lim)3( 或或AxFxfax处处点点的邻域内可导的邻域内可导在点在点aaxFxf( ,)(),()2(),(0)(lim)1( 或或xfax);(0)(lim 或或xFax; 0)( xF且且)可除外可除外 )()(limxFxfax则则).()()(lim 或或AxFxfax5证证( )lim( ),( )( )与与无无关关xaf xf a F aF x. 0)(

4、)( aFaf, 0)(lim)1( xfax; 0)(lim xFax假定假定.)(),(点点连连续续在在使使axxFxf ,x任任取取点点).(axaxa 不不妨妨设设 )00(型给出证明型给出证明仅对仅对满满足足)(),(xFxf. 0)(,),()2 xFxa且且内内可可导导在在; 0)( xF且且( )( ),( )(),在点的邻域内可导 点 处除外在点的邻域内可导 点 处除外f x F xaa2) , ;在上连续在上连续a x16 )()(xFxf)()( Ff )(之间之间与与在在ax ,时时当当ax AxFxfax )()(lim)3( )()(limxFxfax 柯西定理柯西

5、定理使使内内至至少少存存在在点点在在,),( xa )()(limxFxfax)()(xFxf, a )()(lim Ffa .A)(aF )(af 7注注 00)()(lim)1(xFxfax(多次用法则多次用法则), 0, 0)2( axax 00)()(limxFxfax.法法则则成成立立 00)()(limxFxfax再求极限来确定未定式的值的方法称为再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达洛必达法则法则. .这种在一定条件下这种在一定条件下通过分子分母分别求导通过分子分母分别求导8定理定理2);(0)(lim),(0)(lim)1( 或或或或设设xFxfxx).()()(lim)()

6、(lim 或为或为AxFxfxFxfxx; 0)(,)()(,)2( xFxFxfNx且且可导可导和和时时当当);()()(lim)3( 或为或为AxFxfx则则),( x对对注注定理定理2成立成立;9P128P128例例2 2解解.1sinarctan2limxxx 求求xxxx1cos111lim22 原式原式)00(1 10例例解解.1coslim30 xxxx 求求203121sinlimxxxx 原式原式)00(. 11用洛必达法则应注意的事项用洛必达法则应注意的事项,00)1(才可能用法则才可能用法则的未定式的未定式或或只有只有 ,00 或或只要是只要是则可一直用下去则可一直用下去

7、;(3) 每用完一次法则每用完一次法则,要将式子整理化简要将式子整理化简;(4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限的其它性质结合使用的其它性质结合使用.(2) 在用法则之前在用法则之前,式子是否能先化简式子是否能先化简;12例例.)(arcsin1sinlim20 xxexx 求求)00(解解)0(arcsinxxx201sinlimxxexx 原式原式xxexx2coslim0 )00()00(2sinlim0 xexx .21 注意：使用洛比达法则前，先注意等价无穷小因子替换。注意：使用洛比达法则前，先注意等价无穷小因子替换。13例例解解.3ta

8、ntanlim2xxx 求求xxxxx3sincos3cossinlim2 原式原式xxxsin3sin3lim2 . 3 )( )00( xxxcos3coslim2 注意：非零极限因子先提出来计算。注意：非零极限因子先提出来计算。14例例解解xxxxcoslim 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效洛必达法则失效.)cos11(limxxx 原式原式. 1 洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.注注注：注：当导数比的极限不存在时当导数比的极限不存在时,不能断定函数比的极不能断定函数比的极限不存在限不存在, 这时不能使用洛必达法则

9、这时不能使用洛必达法则.)( 15P131P131例例1010):(lnlim正正整整数数nxxnx 解解)( 11lim nxnxx原式原式nxnx1lim 0 注注., 0 极极限限式式子子仍仍成成立立换换成成 nP131P131例例1010)0,:(lim 正整数正整数nexxnx)( 解解xnxenx 1lim 原式原式xnxexnn 22)1(lim )( )( 0!lim xnxen n次次.ln,xxexnx :ln .有有xnexx16型未定式型未定式二、二、 ,0例例解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 2limxxe . ,00. 型型 0. 1步骤步骤:

10、0010 2limxexx 原式原式)( )( 关键关键 1或或 000 将其它类型未定式化为洛必达法则可将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型解决的类型 注意：随时检查运用洛比达法则后极限变简还是变繁。注意：随时检查运用洛比达法则后极限变简还是变繁。17例例).arctan2(limxxx 求求)0( 解解xxx1arctan2lim 原式原式)00(22111limxxx 221limxxx 1 18例例解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式20sinlimxxxx . 0 型型 . 2步骤步骤:)00(01coslim2xx

11、x 0101 002012lim2xxx 注意：尽可能把分子和分母因式分解。注意：尽可能把分子和分母因式分解。19步骤步骤: 0例例解解.lim0 xxx 求求)0(0 原式原式e e 0e . 1 e 00 1 00 0exxlnxxxlnlim0 xxx1lnlim0 2011limxxx 0ln0 e1ln e ln0e)0( )( 0limx00,1 ,0 三、三、型未定式型未定式第一章第一章第九节第九节定理定理320例例解解)(cotlim0 xx 求求)(0 xxxx1sin1cot1lim20 .1 exln1 原式原式 0limxxxxln)ln(cotlim0 e )( e

12、)ln(cotln1xx e21例例解解)1( 原式原式 xxx1cos2sinlim求求x xxx1cos2sinlne xlim)0( xlime xxx1cos2sinlnxt1 令令e limttt)cos2ln(sin )00(0te 0limtttttcos2sinsin2cos2 2e 考研数学一考研数学一, 5分分还有别的方法吗还有别的方法吗?exxx 11lim22四、小结四、小结型型00,1 ,0 ,型型 型型 0,00型型型型 一、一、二、二、三、三、注意注意但求某些未定式极限不要单一使用洛必达但求某些未定式极限不要单一使用洛必达应将所学方法综合运用应将所学方法综合运用.尤其是下述两种方法尤其是下述两种方法, 可使问题大大简化可使问题大大简化.各类未定式极限问题各类未定式极限问题,洛必达法则是最常用洛必达法则是最常用的工具的工具,法则法则, 三大类未定式三大类未定式23 (1) 存在极限为存在极限为非零的因子非零