浅谈初中数学中数学思想方法的渗透

1、余杭区第十九届专题论文评选数学学科浅谈初中数学教学中数学思想方法的渗透内容摘要能使学生获得受用终身的东西的那种教育，才是最高尚和最好的教育。数学思想方法的教 学正是这样一件有意义的工作。研究数学思想方法的教学策略就显得尤为重要。数学思想方法 是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，学生只有领会了数学思想方法，才能有效地 应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。关键词：初中数学 数学思想 新课程标准 渗透正文什么是数学思想方法呢？数学思想方是数学屮的理性认识，是数学的本质，是数学小高度 抽象概括的内容，它蕴涵于数学问题的解决过程中，它由教学内容中抽象和概括出来

2、，是数学 知识的精髓，是知识转化成能力的桥梁。数学思想方法不是宜接显现的，而是渗透在数学知识 中。教师在教的过程中要始终站在思想方法的高度，从培养学生观察能力入手，应用对应转换 和数形结合的思想，以及对比、分析、归纳的方法，让学生通过数与形的转换加深数学思想方 法随着各门科学抽彖化、数学化水平的h益提高，随着数学本身由于集合论与结构思想的发展 而口益走向整体化，对统一性、普遍性的数学思想方法教学，已成为历史的必然和时代的要求, 成为数学教育现代化进程中一个垂要课题。许多知名学者也提出了如下观点：数学教育的现代 化，并不只是要进行“现代数学的教学”而是要进行“数学的现代教学”，要把基础数学教育“

3、建 立在现代数学的思想基础上，并使用现代数学的方法和语言。”数学课程标准在对第三学段（七一九年级）的教学建议屮要求“对于重要的数学思想 方法应体现螺旋上升的、不断深化的过程，不宜集中体现”。这就要求我们教师能在实际的教学 过程中不断地发现、总结、渗透数学思想方法。一、渗透化归思想，提高学生解决问题的能力所谓“化归”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决 的问题小去，最终使问题得到解决的一种思想方法。这体现了研究科学的一种基本思路，即把 “不熟悉”迁移到“熟悉”的路子上去。我们也常把它称之为“转化思想”。可以说化归思想在 木教材的数学教学中是贯穿始终的。例如：在教材有

4、理数的减法、有理数的除法这两节内容中，实际上教材是通过“议一议”形式使学生在自主探究和合作交流的过程中，让学生经历把有理数的减法、除法转化为 加法、乘法的过程，体验、学会并熟悉“转化一求解”的思想方法。我们可以注意到教材在出 示了一组例题后，特别用卡通人语言的形式表明“减法可以转化为加法”、“除法可以转化为乘 法”、“除以一个数等于乘以这个数的倒数”。这在主观上帮助了学生在探索时进行转化的过程， 而在学生体会到成功后客观上就渗透了学牛化归的思想。值得注意的是这个地方虽然很简单， 但我们教师不能因为简单而忽视它，实践告诉我们往往是越简单浅显的例子越能引来人们的认 同，所以我们不能错过这一绝佳的捉

5、高学生的思维品质的机会。再如教材走进图形世界，它 实际上是“空间与图形”的最基木部分。教材在编排设计上是围绕认识基木几何体、发展学生 空间观念展开的，在过程上是让学生经历图形的变化、展开与折叠等数学活动过程的，在活动 屮引导学生认识常见的几何体以及点、线、面和一些简单的平面图形；通过对某些几何体的主 视图、俯视图、左视图的认识，在平面图形与立体图形的转化中发展学生的空间观念。在教 师教学参考资料用书中，教材在设计思路上明确捉出本章内容的处理方法是“先空间、后平 图，再通过展开与折叠、从三个方向看数学活动进行平面图形与立体图形的转化。”这就耍求我 们必须在授课过程中注意图形的化归思想渗透。我个人

6、认为在实际操作中，因为大部分学生在 小学吋就积累一定的感性处理方法，我们要注意的就是将其上升为理论高度，甚至于作出一般 性的总结，如“在初中阶段绝大部分立体图形的问题都可以转化为平面图形的问题。” 乂如解无 理方程转化为解冇理方程，解分式方程传化为解整式方程，解“二元”方程转化为解“一元” 方程，解多边形问题转化为解三角形问题等等。二、渗透数形结合的思想方法，提高学生的数形转化能力和迁移思维的能力数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。著名的数学家华罗庚曾 经说过'数缺形时少直观，形少数时难入微。”这就是在强调把数和形结合起来考虑的重要性。 把问题的数量关系转化为图形

7、的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，可以使复杂问题简 单化、抽象问题具体化。在教材冇理数里面用数轴上的点來表示有理数，就是最简m的数形结合思想的体现， 结合数轴表示有理数，能帮助学生较好地理解有理数的绝对值、相反数等概念，以及进行两个 有理数的大小比较。!>a -1obi例1如上图，在数轴上的两点a、b表示的数分别为&、b,则表示下列结论正确的是()b ci >0(a) 2(b) a-b>0 (c) 2a+b>0 (d) a+b>0分析：本题首先引导学生根据a、b在数轴上的位置，得到a<-l. 0<b<lo值得注意的是这一步所得就是由

8、形到数的过程，应引起学生思想上的关注。然后可以利用取特殊值的方法=丄(如：- = 7),一一带入求解，从而获得答案。这就是完全将图形迁移到数量上来。我们 也可以继续利用图形，在数轴上作出诸如pb, 2a的长度，再利用线段的长短大小、加减和差 来比较(a) (b) (c) (d)四个数量关系的止确与否。容易发现，不管是用哪一种方法，都是把图形和数量结合起來的解题，这种巧妙的结合可 以使一些纷繁无绪，难以上手的问题获得简解。数形结合思想的渗透不能简单的通过解题来实现和灌输，应该落实在课堂教学的学习探索 过程屮，如在相反数这节课，先从互为相反数的两数在数轴上的特征，即它们分别位于原 点的两旁，且与原

9、点距离相等的实例出发，揭示这两数的几何形象。充分利用数轴帮助思考， 把一个抽象的数的概念，化为直观的几何形象。在这种情况下给出互为相反数的定义：只冇符 号不同的两个数称互为相反数。特别地规定：零的相反数是零。显得自然亲切，水到渠成。同 时也让学生在数形结合的思想方法的引领下感受到了成功，初步领略和尝试了它的功用，是一 个非常好的渗透背景。又如，在教材平面图形里我们会遇见这样的问题：已知线段ab,在ba的延长线上取 一点c使ca=3abo (1)线段cb是线段ab的几倍？(2)线段ac是线段cb的几分之几？这个题口的呈现方式是图形式，而设问内容却是一个数量问题。若学生不画图，则不易得 到其数量关

10、系，但学生只要把图画岀，其数量关系就一目了然。此题的出题意图即为数形结合 的体现。再看例2：完成下列计算：1+3二?1+3+5=?1+3+5+7二？1+3+5+7+9二？根据计算结果，探索规律。在这题的教学屮，首先应让学生思考：从上而这些算式屮你能发现什么？让学生经历观察 (每个算式和结果的特点)、比较(不同算式z间的异同)，归纳(可能具有的规律)、提出猜想 的过程。在探索过程中可以鼓励学生进行相互合作交流，也可以提供如下的帮助：* * * * *列出一个点阵，用图形的直观来帮助学生进行猜想。这就是典型的把数量问题转化到图形屮来 完成的题型。再如，在学习“函数”知识的时候，更是借助于函数的图象

11、来探讨函数的知识， 这是数形结合思想的最生动的应用。所以，我们一定要通过课堂的教学、习题的讲解使学生充分地理解数屮有形、形屮有数、 数形是紧密联系的，从而得到数形之间的对应关系，并引导学生应用数形结合的思想方法学习 数学知识、解决数学问题。三、渗透分类讨论的思想方法，培养学生全面观察事物、灵活处理问题的能力。当被研究的问题包含多种可能的情况不能一概而论时，就要按照可能出现的各种情况进行 分类讨论，从而得出各种情况下的结论，这种处理问题的思维方法就是分类讨论思想。在渗透分类讨论思想的过程中，我认为首要的是分类。要能培养学生分类的意识，然后才 能在其基础上进行讨论。我们仔细分析教材的话应该不难发现

12、，教材对丁分类的渗透是一直坚 持而又明显的。比如在有理数研究相反数、绝对值、有理数的乘法运算的符号法则等都是 按有理数分成正数、负数、零三类分别研究的：在研究加、减、乘、除四种运算法则也是按照 同号、异号、与零运算这三类分别研究的；而在平面图形一章中，用分类讨论思想进行了 角的分类、点和直线的位置关系的分类、两条直线位置关系的分类，在函数知识里将函数 图彖分为开口方向向上、向下，单调递增、递减来进行研究。在圆屮按圆心距与两圆半径 z间的大小关系将两i员i的位置关系分成了六类。在功用上这种思想方法主要可以避免漏解、错 解，而在学生的思维品质上则冇利于培养学生的思维严谨性与逻辑性。我认为在渗透分类

13、讨论思想的时候，我们还可以从学生已有的生活经验出发，紧密联系学 生的生活实际、学习实际。比如在讲解“同类项”这个概念时，可出示导入题为：把下而这些实际进行分类：蛋筒、菠萝、棒冰、萝卜、菜椒、香蕉、口菜。在分类的时候鼓励学生按多种类别进行分类，可以进行讨论交流。学生在尝试按种类、颜 色等多种方法进行分类后，就可以非常自然的引出同类项这个概念了。学生尝试按种类、颜色 等多种方法进行分类，一方面可提供学生主动参与的机会，把学生的注意力和思维活动调节到 积极状态，另一方而可培养学生思维的灵活性，加速体现了分类的思想方法。在平面图形这一章中有这样一道题：已知平面上三个点a、b、c,过其中每两点画直 线共

14、可以画几条？若平面上a、b、c、d四点呢？试分别画图说明。分析：过平面上三点画直线有两种情况：(1)三点共线吋，只能画一条直线；(2)三点不 共线时，可画三条直线；过平面上四点画直线有三种情况：(1)四点共线时，只能画一条直线;（2）四点中有三点共线时，可画四条直线；（3）四点中任意三点都不共线时，可画六条直线。再如例3：已知问=3,乩2,求a+b的值。解问二3,二2,a=3 或 a=-3, b=2 或 b二-2。因此，对于a、b的取值,应分四种情况讨论。当a=3, b=2或a二3, b二-2或a二-3, b二2或 a=-3, b二-2吋，分别求出a+b的值为5； 1； -1； -5。这些题目

15、都能很好的体现分类思想，在平时的训练中，我们要多通过这类题的解答，渗透 着分类讨论的思想。通过分类讨论，既能使问题得到解决，又能使学生学会多角度、多方而去 分析、解决问题，从而培养学生思维的严密性、全面性。四、渗透方程思想，培养学生数学建模能力。方程思想指借助解方程来求出未知量的一种解题策略。运用方程思想求解的题口在屮考试 题中随处可见。同时，方程思想也是我们求解有关图形中的线段、角的大小的重要方法。如例4：已知线段ac： ab： bc=3： 5： 7,月.ac+ab二16cm,求线段bc的长。解:设 ac=3x,则 ab=5x, bc=7x,因为 ac+ab二 16cm,所以 3x+5x二

16、16cm,解得 x二2因此 bc=7x=14cm我们知道方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。所以方程思想实际上就是由实际问 题抽象为方程过程的数学建模思想。我们在以前老教材中经常会提到三种模型，即方程模型、 不等式模型、函数模型。实际上就是今天所说的建模的思想。那么这样看来，方程就是第一个 出现的数学基木模型。所以方程思想的领会与否直接关系到数学建模能力的大小。因此说我们 对学生进行方程思想的渗透，就是对学生进行数学建模能力的培养，这对我们学生以后的学习 都冇着深远的影响。教材在用方程解决问题的教学中，已经提出不再以题型进行分类，而着重强调对实际问题 的数量关系的分析，突出解决问题的策略。

17、我想这样的设计与安排正好就应和了我们对方程思 想方法的渗透。我们在授课屮可以引导学生借助图表、示意图、线段图来分析题意，寻找已知 量和未知量的关系。而它们之间的那个相等关系实际上就是方程模型，只要能把各个量带入方 程模型，问题就能得到解决了；另外我认为，方程的思想方法作为一种建模能力，应该体现在 学生能白觉的去运用这种方法、手段（模型），这就要求我们能引导学生从身边的实际问题出发 自行创设、研究、运用方程。其实教材中也给了我们这方面的材料，比如教材一元一次方程章首的天平称盐活动、数学实际室刀历上的游戏等，都可以成为我们利用的情境。五、渗透从特殊到一般的数学思想方法，加强学生创造性思维的形成和创

18、新能力的培养从特殊到一般的数学思想方法，即先观察一些特殊的事例，然后分析它们共同具有的特征, 作出一般的结论。新数学课程标准指出要发展学生的符号感，其屮符号感的一个主要表现是要求学生能 从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示，而列代数式是实现这一目标的具 体途径。如用字母表示数，这是中学生学好代数的关键一步，要跨越这一步是有一定的困难的。从 算术到代数，思维方式上要产生一个飞跃，有一个从量变到质变的发展过程，学生始终认为“一 a是负数”，“两个数的和大于其屮任何一个加数”等，这样就要求我们在教学屮不断渗透从特 殊到一般的数学思想方法，不断强化，逐步完成学生从数到式，由普通语言到符

19、号语言，由特 殊到一般，由具体到抽彖的飞跃。例5： 1、填表：00oooooooooooooooooooo若按照上图的摆法摆放餐桌和椅了，完成卜表:桌子张数123n可坐人数若按照上图的摆法摆放餐桌和椅子，完成下表:桌子张数123n可坐人数2、变式问题：在桌数相同吋哪一种摆法可坐人更多?3、探索问题：若你是一家餐厅的大堂经理，由你负责在一个宽敞明亮的大厅里组织一次规模盛大的冷餐 会，你会选择哪种餐桌的摆法呢？本题的设计是从学生熟悉的生活经历出发，选择学生身边的感兴趣的问题大胆探索，使学 生对生活的数学化有较好的体验。在教学屮我们先用特殊的具体数字总结出规律，再用一般的 字母来表示。在这个过程中，

20、并没有直接把结果“抛”给学生，而是让学生去探索、交流、归 纳，经丿力从特殊到一般的知识形成过程，既促进了学生创造性思维的形成，也培养了学生的创 新能力。新数学课程标准中说“冇效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，教师应引导 学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”，所以无论是从特殊到一般 的数学知识的归纳形成过程，还是从一般到特殊的数学知识的验证应用过程，教师作为合作者、 引导者，都应该捉供足够时间和空间，让学生主动去从事各种数学活动，只冇这样才能突出学 生的主体地位，获得明显的教学效果。在七年级教材中还蕴涵着其它的一些常用的数学思想方法。比如：整体思想、数式通性的 思想、“元”的思想等等。这些都要求我们在教学屮要适吋恰当地对数学方法给予提炼和概括， 让学生有明确的印象；同时还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力， 这们才能把数淫思想、方法的教淫落在实处。