年湖南省普通高等学校对口招生考试数学试题

1、湖南省 2021 年一般高等学校对口招生考试数学本试题卷包括挑选题、填空题和解答题三部分4页，；共时量120分钟，满分120分；一、挑选题（本大题1共0小题，每道题4 分，共40分；在每道题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的）1已知集合.= 1,3，.= 0,.，且.= 0,1,2,3，就.=a. 0b. 1c. 2d. 3解：.= 2；选c；2“.> 4”是“.> 2”的a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充分必要条件d. 既不充分也不必要条件解：“.> 4”时必有“.> 2”，反之不然；选a；3过点.1,1且 与直线3.-4.= 0平行的直线的方程

2、是a. 4.+ 3.-7 = 0 b. 3.-4.-1 = 0c. 4.+ 3.-1 = 0d. 3.-4.+ 1 = 0解：3 ×1 - 4 ×1 = -1 ，故3.- 4.= -1 ，即3.-4.+ 1 = 0；选d；4函数.= .2 .1,8的值域为a. 0,4b. 0,3c. 1,4d. 1,3解：单调，又1 .8，.21.2. .2.8，.即0 . 3，选b；5不等式.+ 1 < 0的解集是a. .|.<.-1 b. .|.>.0c. .-|1 < .< 0d. .|.<.-1 或 .> 0解：方程.+ 1 = 0两根为-

3、1,0 ，开口向上，小于0取中间，选c；6已知.=.-.3.，且.为.444其次象限角，.就.=.a. -b.55c. -d.3355解：.为. 其次象限角，.=.-.1= - 4.=.=.3.d；55 1+.2.，；选7已知.,.为圆.2.+ .2.= 1上两点，.为坐标原点，|如.| .= 2，就.=.a. - 32b. 0c. 12d. 2解：如图，|.| .= |.| .= 1，|.| .= 2，勾股定理，.，.=. 0；选b；8函数.=.+.2.（.为. 常数）的部分图象如下图所示.，.=就a. 1b. 2c. 3d. -1解：最大值为.+ 2 = 3，最小值为-.+ 2 = 1，故

4、.= 1，选a；9以下命题中，正确选项解：不多讲，选d；a. 垂直于同一条直线的两条直线平行b. 垂直于同一个平面的两个平面平行c. 如平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，就该直线与平面平行d. 一条直线与两个平行平面中的一个垂直，就必与另一个垂直10已知直线.：.+ .= 1（.,为.常数）经过点. .,.，.就以下不等式肯定成立的是33a. .2.+ .2.1b. .2.+ .2. 1c. .+ .1d. .+ .1解：过点., .，.+.=.1.，即2.+. .2.+. .= 1.33333又.+.=1-1,1 ，即0 <11，2.+. .2.1，.2 + .2. 1；选a；

5、32.+.2 2.+.21 / 8二、填空题（本大题5共个小题，每道题4分，共20分）11在一次射击竞赛中，某运动员2射0次击的成果如下表所示：单次成果（环）78910次数4664就该运动员成果的平均数 是 （ 环 ）；7× 4+8 × 6+9 × 6+10 ×4解：4+6+6+4= 8.512已知向量.= 1,0，.= 0,1，.= 13,14，且.= .+.，.就.+ .= ； 解：.= .+.，.13,14 = .1,0 + .0,1 = .,.，.= 13,.= 14,.+ .= 27.13已知.+.15的绽开式中.的. 系数为10，就.= ；

6、解：.+1= .5.-. = .5.-.5.-.；令5 - .= 1得.= 4. .4.+1 = .4.5-4 .5.-4 = 5.；.5555.= 10，.= 2.14将2,5,1三1 个数分别加上相同的常.，数使这三个数依次成等比数列.，.=由 ； 解：5 + .2 = 2 + .11 + .，25+ 10.+ .2 = 22 + 13.+ .2，.= 1.15已知函数.为奇函数，. 为偶函数，且.+ .= .2.-4.+ 1，就.2 -.2 = ； 解：.-2 + .-2 = -2 2 - 4 ×-2 + 1 = 13，又由奇偶性得：.-2 + .-2 = -.2 + .2；.

7、2 - .2 = - -.2 + .2 = - .-2 + .-2 = -13 .三、解答题（本大题7共个小题，其中第21、22小题为选做题；满分60分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、（本小题满分10分）已知数列.为等差数列，.1.= 1，.3. = 3；（）求数列.的通项公式；（）设.= -1 .，数列.的前.项.和为.，求.1.00；解：（）设公差为.，.就.3. = .1.+ 2.= 1 + 2.= 3，.= 1.数列.的通项公式为.= .1.+ .- 1.= .（）.= -1 .= -1 .×.，.1.00 = -1 + 2 - 3 + 4 - . - 99

8、+ 100 = -1 + 2 + -3 + 4 - . + -99 + 100 = 50.17、（本小题满分10分）10件产品中有2件不合格品，每次取一件，有放回地取三.次表.；示用取到不合格品的次数；求：（）随机变量.的.分布列；（）三次中至少有一次取到不合格品的概率；解：（）有放回，每次取得不合格品的概2率=为1，为伯努利概型；取三次，随机变量.服.10从二项分布，即.3.,1 ；.的.055全部可能取值为0,1,2,；33.= 0 = .0 151 -13 =564 ，.= 1 = .131251151 -1 2 =548 ，1253.= 2 = .2 121 -11 =12 ，.= 3

9、 = .3131 -1 0 =1 ；35512555125随机变量.的.分布列为：6448121125125125125.0123.（）三次中至少有一次取到不合格品的概率为.1 = 1 - .= 0 = 1 -64125= 61 ；12518、（本小题满分10分）已知函数.=.2.,0.2.6 - .2, < .42 / 8（）画出.的.图象；（）如. 2，求.的取值范畴；解：（）分别画出抛物.线.= .2.和一次函数.= 6 - .的.图象，然后保留.对.应取值的部分图象即得；如右图实线部分；（）fm 2，0 m 2或 2 < m 4，m2 26 - m 20 m 2即或 2 &

10、lt; m 4；mm 2或m - 242 m 2或2 < m 4，即2 m 4.的取值范畴为 2,4.19、（本小题满分10分）如图，在三棱柱.-.1.1.1.中，.1.底面.，.=. .=. 1， .=.9.0. °，.为.的.中点；（）证明：. 平面.1.1.；.（）如直线.1.与.平面.1.1.所.成角为30°，求三棱柱.-.1.1.1.的体积；（）证：.=. .，.为.的.中点，. a.；.又aa1 底面abc，. 底面abc，. aa1；a.和. aa1是平面acca 内两相交直线；1 1. 平面.；1 1（）解：连a1. . 平面.1.1.，. a1.，且

11、.1.是.1在.1.= 30 °.平面.1.1.的射影，在.中.，.=. 1 .=. 1 .2.+.2.= 2.222在.中.，.1.= 30 °， .1.=.9.0 °，.1.= 2.=. 2.在.1.中.，.1.=.90 °，.=. 1，.1.= .2 .-.2.= 1.1三棱柱.-.的体积.= .×.= 1 ×.×.×.= 1.1 1 1.121220、（本小题满分10分）2已知椭圆.：.2.+ . = 12（）求椭圆.的离心率；（）已知点.-1,0，直线.= .-1与椭圆.交于.,两.点；求.的.面积；解：

12、（）.2 = 2，.2. = 1，.2.= .2 - .2 = 1，.= 2，.= 1，=椭圆.的离心率.= .2.2（）由 .2.+ 2.2.= 2消去.并整理得：3.2.- 4.= 0.= .- 1设., .两点的坐标分别为.1.,.1., .2., .2.，就由韦达定理可得：.+ .= 4，.= 0，|.| .= 1+ 12 . .+ .2 - 4. = 4 2.1231 2121 23又点.-1,0到直线.= .- 1即.- .- 1 = 0的距离.= |-1-0-1|2= 2 ；.的.面积.= 1 |.| .= 4；. 23选做题：请考生在2第1、22题中挑选一题作答；假如两题都做，

13、就按所做21的题第计分；作答时，请写清题号；21、（本小题满分10分）如图，在直角三角形.中.，.=.9.0°，.=.6.0°，.=. 2，.为.内.一.（）求.的.长；（）求.的.值.；.点，.=.9.0°，且.=. 1；3 / 8解：（）.中.，. .=.9.0°，.=.6.0°，.=. 2，.=. 4，.=. 23；.中.，.=.9.0°，.= 1，.=. 2，.= 3，.=.3.0°；.中.，.=. .-. .=.3.0°，由余弦定理有：.2.= .2 .+ .2.- 2.， .即.2.= 16 + 3 - 12 = 7，.=.7；（）.中.，由正弦定理有.：.=.=.27.；.722、（本小题满分10分） 某企业拟生产产.品和.产品.；生产一件产品.需要新型材料2千克，用3个工时；生产一件产品.需要新型材料1千克，用2个工时；生产一件产.品的. 利润为1600元，生产一件产.品.的利润为1000元；现有新型材料200千克，问该企业在不超过360个工时的条件下，如何规划生产，才能使企业获得的总利润最大？并求出总利润的最值；解：设生产.件.产品.和. .件.产品.时，企业获得的总利润.元.为，就：2.+ .200约束条件