年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷

1、2021 年 1 月广东省一般高中学业水平考试数学试卷一、挑选题：本大题共15 小题，每道题4 分，满分 60 分.在每道题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的.1.已知集合a=0,2,4, b=-2,0,2, 就 a b= a.0,2b.-2,4c.0,2d.-2,0,2,41.d【解析】由并集的定义，可得ab=-2,0,2,4. 应选 d.2.设 i 为虚数单位 ,就复数 i3+i=a.1+3ib.-1+3ic.1-3id.-1-3i2.b【解析】 i3+i=3i+i 2=3i-1. 应选 b.3.函数 y=log 3x+2的定义域为 a.-2,+ b.2,+c.-2,+ d.2,+

2、3.a【解析】要使y=log 3x+2 有意义，就x+2>0 ，解得 x>-2 ，即定义域为 -2,+故.选 a.4.已知向量a=2,-2, b=2,-1, 就|a+b|=a.1b.5c.5d.254.c【解析】由a=2,-2, b=2,-1, 可得 a+b=4,-3, 就|a+b|=42 + - 32=5. 应选 c.5.直线 3x+2y-6=0 的斜率是 3a. 23b.- 22c.32d.- 3335.b【解析】直线3x+2 y-6=0，可化为y=- 2x+3，故斜率为 -2.应选 b.6.不等式 x2 -9<0 的解集为 a. x|x<-3b. x|x<3

3、c. x|x<-3 或 x>3d. x|-3< x<36.d【解析】由x2-9<0 ，可得 x2 <9，的 -3< x<3. 应选 d.7.已知a>0，就=1321a. a2b.a22c.a3d.a3 2137.d【解析】a2=a3，就=a1-3=a3.应选 d.8.某地区连续六天的最低气温单位 : 为 :9,8,7,6,5,7,就该六天最低气温的平均数和方差分别为5a.7 和38b.8 和32c.7 和 1d.8 和3-118.a 【解析】平均数x =6× 9+8+7+6+5+7=7,方差 s2=69-7 2+8-7 2+7-7

4、 2+6-7 2+5-752+7- 7 2= 3.应选 a.9.如图 ,长方体 abcd -a1b1c1d1 中,ab=ad =1,bd 1=2，就 aa1=d1c1a1b1dca b1a.1b.2c.2d. 319.b【解析】在长方体中，bd2 =ab 2+ad2+aa2 ，就 22=12+12+aa1 2，解得 aa1 =2.应选 b.10.命题 “. xr ，sinx+1 0的”否定是 a. . x0 r， sinx0+1<0b. x r， sinx+1<0 c. x0 r ，sinx0+10d. . x r， sinx+1010.a【解析】全称命题的否定是把全称量词改为存在

5、量词，并否定结论，就原命题的否定为 “. x0 r ，sinx0+1<0 ”故.选 a.x - y + 3 0，x + y - 1 0，11.设 x,y 满意约束条件 y 0，就 z=x-2y 的最大值为 a.-5b.-3c.1d.411.c【解析】作出约束条件表示的平面区域如下列图，当直线z=x-2y 过点 a1,0时， z 取得最大值， zmax =1-2 × 0=1故. 选 c.y3c21b oa3211x12.已知圆 c 与 y 轴相切于点 0,5 ，半径为5，就圆 c 的标准方程是 a. x-5 2+y-52=25b. x+5 2+ y-52=25c.x-5 2+y-

6、5 2=5 或x+52+ y-5 2=5d. x-5 2+y-52=25 或 x+5 2+y-5 2=2512.d【解析】由题意得圆c 的圆心为 5,5或-5,5 ，故圆 c 的标准方程为 x-52+y-5 2=25或x+5 2+y-52=25. 应选 d.13.如图， abc 中， ab=a,ac=b， bc=4bd ，用 a,b 表示 ad ，正确选项 abdc1351a. ad =4a+4bb.ad =4a+4b3151c.ad =4a+4bd.ad =4a- 4b3 1 3113.c【解析】由c.bc =4bd，可得ac-ab=4 ad-ab ，就 ad=4ab+4ac，即 ad=4a

7、+4b.应选14.如数列 an 的通项 an=2n-6，设 bn=|an|，就数列 bn 的前 7 项和为 a.14b.24c.26d.2814.c【解析】当n3时， an0，bn=|an |=-an=6-2 n,即 b1 =4,b2=2， b3=0. 当 n>3 时，an>0,bn=|an |=an=2 n-6 ，即 b4=2,b5=4，b6=6,b7=8.所以数列 bn 的前 7 项和为4+2+0+2+4+6+8=26. 应选 c.x2 y215.已知椭圆a2+b2=1 a>b>0的长轴为a1a2， p 为椭圆的下顶点，设直线pa 1,pa2 的斜率分1别为 k1，

8、 k2，且 k1·k2=-2，就该椭圆的离心率为1a.b.c.21d.4bbb2115.b【解析】由题意得a1-a,0,a2a,0, p0,- b，就 k1=-a,k2=a，就 k1·k2=-a2=-2，即ca2=2b2，所以 c2=a2-b2=b2，离心率 e=a=.应选 b.二、填空题：本大题共4 小题，每道题4 分，满分16 分. 16.已知角 的顶点与坐标原点重合，终边经过点p4,-3 ，就 cos= .4x 416.5【解析】由题意得x=4,y=-3 ， r =x2 + y2=42 + - 32=5,cos=r =5.17.在等比数列 an 中， a1=1，a2=

9、2，就 a4= .a217.8【解析】设等比数列 an 的公比为q,由题意得 q=a1=2，就 a4=a1q3=1×23=8.18.袋中装有五个除颜色外完全相同的球，其中2 个白球， 3 个黑球，从中任取两球，就取出的两球颜色相同的概率是 .218.5【解析】记2 个白球分别为白1,白 2 ,3 个黑球分别为黑1，黑 2 ，黑 3，从这 5 个球中任取两球，全部的取法有 白 1，白 2 ， 白 1，黑 1 ， 白 1，黑 2 ， 白 1，黑 3 ， 白 2，黑 1 ， 白 2，黑 2 ， 白 2，黑 3 ， 黑 1，黑 2 ， 黑 1，黑 3 ， 黑 2，黑 3 ，共 10 种.其中

10、42取出的两球颜色相同取法的有4 种，所以所求概率为p=10=5.19.已知函数fx是定义在 - ，+上的奇函数，当x 0,+时， fx=x2 -4x，就当 x -，0 时， fx= .19.-x2-4x【解析】当x- ， 0时， -x0,+ 由, 奇函数可得f x=-f-x=- x2-4- x=- x2- 4x.三、解答题：本大题共2 小题，每道题12 分，满分 24 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 .320.abc 的内角 a,b,c 的对边分别为a,b,c，已知 cosa=5，bc=5.1 求abc 的面积；2 如 b+c=6,求 a 的值 .320.【解析】 1 a 是ab

11、c 的内角，即a 0, ，cosa=5， sina=41 - cos2a=5.114又 bc=5， sabc =2bcsin a=2× 5×5=2.b2 + c2 - a2 32 由 cosa=2bc=5,bc=5，可得 b2+c2-a2=6.由 bc=5,b+c=6, 可得 b2+c2=b+c2-2bc=26.26- a2=6，解得 a=2 5.21.如图，三棱锥p-abc 中， pa pb,pb pc,pc pa,pa=pb=pc=2， e 是 ac 的中点，点f 在线段 pc 上.1 求证： pb ac;2 如 pa平面 bef ,求四棱锥 b- apfe 的体积 .1参考公式：锥体的体积公式v=3sh，其中 s 是底面积， h 是高 .pfaecb21.【解析】 1 papb,pb pc,pa. 平面 pac,pc. 平面 pac,papc=p， pb 平面pac.又 ac. 平面 pac， pb ac.2 pa平面 bef ,pa. 平面 pac,平面 bef 平面 pac=ef， pa ef .又 e 为 ac 的中点， f 为 pc 的中点