平方根知识点总结讲义

1、名师总结优秀学问点平方根学问点总结【学习目标】1明白平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根2明白开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用运算器求平方根【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1. 算术平方根的定义假如一个正数x 的平方等于a ，即 x2a , 那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根（规定0 的算术平方根仍是0）； a 的算术平方根记作a ，读作“ a 的算术平方根”，a 叫做被开方数 .要点诠释： 当式子a 有意义时，a 肯定表示一个非负数，即a 0， a 0.2. 平方根的定义假如 x2a ，那么 x 叫做 a 的平方根 . 求一个数 a 的

2、平方根的运算， 叫做开平方 . 平方与开平方互为逆运算.a a 0 的平方根的符号表达为a a0) ，其中a 是 a 的算术平方根 .要点二、平方根和算术平方根的区分与联系1区分：（ 1）定义不同； （ 2）结果不同：a 和a2联系：（ 1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3） 0 的平方根和算术平方根均为0要点诠释：（ 1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根（ 2）正数的两个平方根互为相反数，依据它的算术平方根可以立刻写出它的另一个平方根. 因此，我们可以利用算术平方根来争论平方根.要点三、平方根的性质a a0a2| a |0a

3、0a a02aaa0要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1 位. 例如：62500250 ，62525 ，6.252.5 ，0.06250.25 .名师总结优秀学问点【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、如 2 m 4 与 3 m 1 是同一个正数的两个平方根，求m 的值【思路点拨】 由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2 m 4（ 3 m 1），解方程即可求解【答案与解析】解：依题意得2 m 4（ 3 m 1），解得 m 1； m 的值为 1【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正

4、数有两个平方根，它们互为相反数举一反三：【变式】已知2 a 1 与 a 2 是 m 的平方根，求m 的值 .【答案】 2 a 1 与 a 2 是 m 的平方根，所以2 a 1 与 a 2 相等或互为相反数.2解：当2 a 1 a 2 时， a 1，所以 m 2a1当 2 a 1（ a 2） 0 时， a 1，221112所以 m 2a121123 292、 x 为何值时，以下各式有意义？(1) x2； 2x4 ； 3x11x ； 4x1 x3【答案与解析】解： 1 由于x20 ，所以当 x 取任何值时，x2 都有意义(2) 由题意可知：x40 ，所以 x4 时，x4 有意义(3) 由题意可知：

5、x10解得：1x1 所以1x1 时x11x 有意1x0义(4) 由题意可知：x10x30，解得 x1且 x3 所以当 x1且 x3 时，x1 有意义x3【总结升华】1 当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，肯定要争论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义2 当分母中含有字母时，只有当分母不为0 时，式子才有意义举一反三：名师总结优秀学问点【变式】已知b【答案】43a2223a2 ，求11的算术平方根ab解：依据题意，得3a20,就 a2 ，所以 b 2，11312 ，23a0.3ab22 11 的算术平方根为112 abab类型二、平方根的运算3、求以下各式的值12522423242

6、； 211200.361900 435【思路点拨】 （1）第一要弄清晰每个符号表示的意义. （ 2）留意运算次序.2222【答案与解析】解： 125243449257535 ；220 110.3619008110.613043543590.261.7 2【总结升华】1 混合运算的运算次序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后次序进行 2 初学可以依据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，娴熟后直接根据a2aa0 来解类型三、利用平方根解方程4、求以下各式中的x .（ 1）x23610;2（ 2）x1289 ；2（ 3） 9 3x2【答案与解析】640解：（ 1）x236102 x3

7、61 x361192（ 2）x1289 x1289名师总结优秀学问点 x 1± 17x 16 或 x 18.2（ 3） 9 3x26403x2 2649 3x283 x2 或x1499【总结升华】此题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法. （ 2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求以下等式中的x ：（ 1）如x21.21 ，就 x ；（ 2） x2169，就 x ；（ 3）如x29 , 就 x ；（ 4）如4x222，就 x 【答案】（ 1）± 1.1 ；（2）± 13；（ 3）3 ；（ 4）± 2.2类型四

8、、平方根的综合应用5、已知 a 、b 是实数，且2a6| b2 |0 ，解关于 x 的方程 a2 xb 2a1 【答案与解析】解： a 、 b 是实数，2a6| b2 |0 ，2 a60 ， | b2 |0 ， 2a60， b20 a 3， b2 把 a 3， b2 代入 a2 xb 2a1 ，得 x 2 4， x 6【总结升华】 此题是非负数的性质与方程的学问相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、肯定值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可举一反三：【变式】如x21y10 ，求x2021y2021 的值【答案】解：由x21y10 ，得x210

9、 ， y10 ，即 x1 ， y1 名师总结优秀学问点当 x 1， y 1 时，x2021y202112021120212 当 x 1， y 1 时，x2021y202112021120210 6、小丽想用一块面积为400 cm2 的正方形纸片， 沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它长宽之比为的长方形纸片 .【答案与解析】3 : 2 ，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求解：设长方形纸片的长为3 x x 0cm ，就宽为2 x cm ，依题意得3x 2x300 .6 x2300 .x250 . x 0， x50 . 长方形纸片的长为350 cm . 50 49,507 . 35021 ,即长方形纸片