平面向量知识点及习题分章节

1、学习必备欢迎下载平面对量必修 4第 2 章 平面对量§ 2.1 向量的概念及其表示重难点：懂得并把握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，把握平行向量、相等向量和共线向量的区分和联系考纲要求：明白向量的实际背景懂得平面对量的概念及向量相等的含义懂得向量的几何表示经典例题：以下命题正确选项（）a. 与共线，与共线，就与c 也共线b.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点c.向量与不共线，就与都是非零向量d.有相同起点的两个非零向量不平行当堂练习：1.以下各量中是向量的是a. 密度b.体积c.重力d.质量2 以下说法中正确选项（）a. 平行向量就

2、是向量所在的直线平行的向量b.长度相等的向量叫相等向量c. 零向量的长度为零d.共线向量是在一条直线上的向量3设 o 是正方形abcd的中心， 就向量 ao 、ob 、co 、od 是（）a 平行向量b 有相同终点的向量c相等的向量4.以下结论中 ,正确选项d模都相同的向量a. 零向量只有大小没有方向b. 对任一向量a ,| a |>0 总是成立的c. | ab |=| ba |d. |ab |与线段 ba 的长度不相等5.如四边形abcd 是矩形 ,就以下命题中不正确选项a.ab 与 cd 共线b.ac 与 bd 相等c.ad与cb 是相反向量d.ab 与 cd 模相等6已知 o 是正

3、方形 abcd对角线的交点，在以o， a， b， c，d 这 5 点中任意一点为起点，另一点为终点的全部向量中，（ 1）与 bc 相等的向量有；学习必备欢迎下载（ 2）与 ob 长度相等的向量有；（ 3）与 da 共线的向量有7在平行向量肯定相等；不相等的向量肯定不平行；共线向量肯定相等； 相等向量肯定共线；长度相等的向量是相等向量；平行于同一个向量的两个向量是共线向量中， 不正确的命题是并对你的判定举例说ab明ef8如图，o 是正方形 abcd对角线的交点， 四边形 oaed ，ocfbo都是正方形，在图中所示的向量中：dc（ 1）与 ao 相等的向量有；（ 2）写出与ao 共线的向有；（

4、3）写出与ao 的模相等的有；（ 4）向量 ao 与 co 是否相等？答9o 是正六边形abcde 的中心，且 oaa ， obb ， abc ，在ed以 a， b， c，d ，e， o 为端点的向量中：（ 1）与 a 相等的向量有；fc o（ 2）与 b 相等的向量有；ab（ 3）与 c 相等的向量有10在如下列图的向量a ， b ， c ， d ， e 中（小正方形的边长为1），是否存在：（ 1）是共线向量的有；（ 2）是相反向量的为；（ 3）相等向量的的；（ 4）模相等的向量11如图， abc 中， d ，e， f 分别是边bc ，ab ，ca 的中点，在以a、b 、c、d 、 e、f

5、为端点的有向线段中所表示的向量中，（ 1）与向量 fe 共线的有afebdc学习必备欢迎下载（ 2）与向量df的模相等的有（ 3）与向量ed相等的有12如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开头下棋时，它位于a 点，这只 “马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来如它位于图中的p 点，这只 “马”第一步有几种可能的走法？它能否从点a 走到与它相邻的b ？它能否从一交叉点动身，走到棋盘上的其它任何一个交叉点？必修 4第 2 章 平面对量§ 2.2 向量的线性运算重难点：敏捷运用向量加法的三角形法就和平行四边形法就解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；敏捷运用三角形法就

6、和平行四边形法就作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；懂得实数与向量的积的定义把握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件考纲要求：把握向量加法，减法的运算，并懂得其几何意义把握向量数乘的运算及其意义；懂得两个向量共线的含义明白向量线性运算的性质及其几何意义经典例题：如图，已知点d , e, f 分别是abc 三边ab, bc , ca 的中点，求证：eafbdc0 .当堂练习：1 a、 b 为非零向量，且| ab | | a | b| ，就（）a a与 b 方向相同b abc abd a与 b 方向相反2设 abcd bcda a ，而 b 是一非零向量，就以下各结论：a / b

7、；学习必备欢迎下载 aba ； abb； abab，其中正确选项（）a bcd 3 3在 abc 中， d 、e、f 分别 bc 、ca 、ab 的中点，点m 是 abc 的重心，就mambmc 等于（）a ob 4 mdc 4mfd 4me4已知向量a与b 反向，以下等式中成立的是（）a | a | b | | ab | b | ab | | ab |c | a | b | | ab | d | a | b | | ab |5如 ab c化简 3a2b23bc2ab（）a ab bc cd 以上都不对6已知四边形abcd 是菱形，点p 在对角线ac 上（不包括端点a 、c），就 ap =（）

8、a abad .0,1 abbc .0,2 b2c abad .0,1 abbc .0,2 d27已知 | oa | |a |3 ， | ob | | b |3 ， aob=60，就 | ab | ；8当非零向量a和 b 满意条件时，使得 ab 平分 a 和 b 间的夹角；9如图， d、e、f 分别是abc 边 ab 、 bc、ca 上的中点，就等式：fddeef0adbeaf0 fddaaf0 dedabe0cfeadb学习必备欢迎下载10如向量x 、 y满意 2 x3 ya ,3 x2 yb ， a 、 b 为已知向量，就x = ；y= 11一汽车向北行驶3 km ，然后向北偏东60方向行

9、驶3 km ，求汽车的位移.12.如图在正六边形abcdef 中，已知： ab = a ,af=b ,试用 a 、b 表示向量 bc,cd,ad ， be .必修 4第 2 章 平面对量§ 2.3 平面对量的基本定理及坐标表示重难点：对平面对量基本定理的懂得与应用；把握平面对量的坐标表示及其运算考纲要求：明白平面对量的基本定理及其意义把握平面对量的正交分解及其坐标表示会用坐标表示平面对量的加法，减法于数乘运算懂得用坐标表示的平面对量共线的条件经典例题：已知点a x,0,b 2 x,1, c 2,x, d 6,2x 求实数 x 的值，使向量ab 与 cd 共线；学习必备欢迎下载当向量

10、ab 与 cd 共线时，点a, b, c , d 是否在一条直线上？当堂练习：1如向量a=1,1,b=1, 1,c= 1,2，就 c 等于（）13133131a 2 a2bb 2a2 b c 2 a2b d2 a+ 2 b2如向量a=x 2,3与向量 b=1,y+2 相等，就（）a x=1,y=3b x=3,y=1cx=1,y= 5d x=5,y= 13已知向量a3,4, bsin, cos, 且 a b ，就 tan=（）3a 43b 44c 34d 34已知abcd的两条对角线交于点e，设 ab的表达式（）e1 ，ade2 ，用 e1 , e2来表示 ed1 e1a 21 e221 e1

11、e12b2211e1e2c 2211e1e2d 2275已知两点p（， 6）、（ 3，），点 p（ 3 ，）分有向线段成的比为 ，就 、的值为（）p1 p2 所11114 ， 8b4， 8c 4 ， 8d 4，8a 6 以下各组向量中：e11,2 e13,5 e12,3e25,7e26,101e2, 234有一组能作为表示它们所在平面内全部向量的基底，正学习必备欢迎下载确的判定是（）a b c d 7如向量 a =（2， m）与 b =（m， 8）的方向相反，就m 的值是8已知 a =（ 2，3）， b=（ -5， 6），就 | a + b |=， | a - b |=9设 a =（2，9），

12、b=（ ,6），c =-1, ,如 a + b = c ,就 =, =.10 abc的顶 点a2 ， 3 ， b 4 ， 2 和 重心g2 ， 1 ，就c为.点坐 标11已知向量e1、 e2 不共线，1 如 ab =e1 e2， bc =2e1 e2， cd =3e1 e2，求证： a 、b 、d 三点共线 .2 如向量 e1 e2 与 e1 e2 共线，求实数 的值 .12假如向量ab =i 2j, bc=i+mj, 其中 i、j 分别是 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使 a 、b 、c 三点共线 .必修 4第 2 章 平面对量§ 2.4 平面对量的数量积重

13、难点：懂得平面对量的数量积的概念，对平面对量的数量积的重要性质的懂得考纲要求：懂得平面对量数量积的含义及其物理意义明白平面对量数量积于向量投影的关系把握数量积的坐标表达式，会进行平面对量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判定两个平面对量的垂直关系经典例题：在abc 中，设 ab2,3 , ac1, k, 且abc 是直角三角形，求k 的学习必备欢迎下载值当堂练习：1已知 a =（ 3，0），b =（ -5，5）就 a 与 b 的夹角为（）a 450b、600c、1350d、12002已知 a =（ 1，-2），b =（ 5，8），c =（ 2，3），就 a ·（

14、b ·c ）的值为（）a 34b、（ 34，-68）c、-68d、（ -34， 68）3已知 a =（ 2，3），b =（ -4，7）就向量 a 在 b 方向上的投影为（）13a 13b、565c、5d 、654已知 a =（ 3， -1）， b =（ 1， 2），向量 c 满意 a · c =7，且 bc ，就 c 的坐标是（）a （ 2， -1）b、（ -2， 1）c、（ 2， 1）d 、（ -2， -1） 5有下面四个关系式 （ 1）0 ·0 = 0 ；（ 2）（ a ·b ）c = a（ b ·c ）；（ 3）a ·b = b

15、 ·a ；（ 4） 0 a =0，其中正确的个数是（）a 、4b 、3c、2d 、16已知 a =（m-2， m+3 ）， b =（ 2m+1 ，m-2）且 a 与 b 的夹角大于90°，就实数m（）a 、m 2 或 m -4/3b、 -4/3 m 2c、m 2d、m 2 且 m-4/3 7已知点 a（1，0），b（ 3，1），c（ 2，0）就向量 bc 与 ca 的夹角是；8已知 a =（ 1，-1）， b =（ -2，1），假如（abab ，就实数=；9如 |a |=2， |b |=2 ， a 与 b 的夹角为45°，要使k b - a 与 a 垂直，就 k=

16、 10已知 a + b =2 i -8 j ， a b =-8 i +16 j ，那么 a · b =学习必备欢迎下载11已知 2 a + b =（-4， 3）， a -2 b =（ 3， 4），求 a · b 的值；12已知点a（ 1，2）和 b（ 4，-1），试推断能否在y 轴上找到一点c，使acb=900 ？如能，求点c 的坐标；如不能，说明理由；必修 4第 2 章 平面对量§ 2.5 平面对量的应用重难点：通过向量在几何、物理学中的应用能提高解决实际问题的才能考纲要求：会用向量方法解决某些简洁的平面几何问题会用向量方法解决简洁的力学问题于其他一些实际问题经

17、典例题：如下图，无弹性的细绳oa, ob 的一端分别固定在a, b 处，同质量的细绳oc 下端系着一个称盘，且使得oboc ，试分析oa, ob,oc 三根绳子受力的大小，判定哪根绳受力最大？当堂练习：1 已 知a 、 b 、 c为 三 个 不 共 线 的 点 ， p 为 abc所 在 平 面 内 一 点 ， 如papbpcab ，就点 p 与 abc 的位置关系是（）a 、点 p 在 abc 内部b 、点 p 在 abc 外部c、点 p 在直线 ab 上d、点 p 在 ac 边上2已知三点a（ 1，2），b（ 4，1），c（ 0，-1）就 abc 的外形为（）学习必备欢迎下载a 、正三角形b

18、 、钝角三角形c、等腰直角三角形d 、等腰锐角三角形3当两人提起重量为|g|的旅行包时，夹角为，两人用力都为|f|，如 |f|=|g|，就的值为（）a 、300b 、600c、 900d、12004某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风速相同，此时风速大小为v ，就此人实际感到的风速为（）a 、v-ab、 a-vc、v+ad 、v5一艘船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300 角，就水流速度为km/h ；6两个粒子a， b 从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为 sa（= 3，-4），sb=（ 4，3），（ 1）此时粒子 b 相

19、对于粒子a 的位移；（ 2）求 s 在 sa 方向上的投影；7如图，点p 是线段 ab 上的一点，且appb= m n ，点 o 是直线 ab 外一点，设 oaa ， obb ，试用m, n,a, b 的运算式表示向量op aapobb8如图， abc 中， d ， e 分别是 bc ， ac 的中点，设ad 与 be 相交于 g，求证： ag gd=bg ge=2 1aegbdcog1 oaoboc9如图，o 是 abc外任一点，如3，求证： g 是 abc重心（即三条边上中线的交点）agbco学习必备欢迎下载10一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向10mile 处有一只货船

20、收到警报立刻侦察，发觉遇险渔船沿南偏东750，以 9mile/h 的速度向前航行，货船以21mile/h 的速度前往营救，并在最短时间内与渔船靠近，求货的位移；北a东450750cb必修 4第 2 章 平面对量§ 2.6 平面对量单元测试1 在 矩 形abcd中 ， o是 对 角 线 的 交 点 ， 如 bc（）5e1 , dc3e2就oc =1a 25e13e2 1b 25e13e2 1c 23e25e1 1d 25e23e1 2对于菱形abcd ，给出以下各式：22 abbc | ab | bc | | abcd | adbc | | ac | bd |4 | ab |2其中正确

21、的个数为（）a 1 个 b 2 个 c 3 个 d 4 个3在abcd 中，设 ab（）a, adb, acc, bdd ，就以下等式中不正确选项a abcb abdc badd cab4已知向量a与b 反向，以下等式中成立的是（）学习必备欢迎下载a | a | b | | ab | b | ab | | ab |c | a | b | | ab |d | a | b | | ab |5已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（1，0），（ 3，0），（ 1， 5），就第四个点的坐标为（）a （ 1， 5）或（ 5， 5）b （ 1，5）或（ 3， 5）c（ 5， 5）或（ 3， 5）d（ 1， 5

22、）或（ 3， 5）或（ 5， 5）6与向量 d12,5 平行的单位向量为（）12 ,5a 1312 ,5 b 131312 , 5 c1313或12 ,5 131312 ,5 d13137如 | ab |41203 ，| a |4, | b |5 ，就 a与b 的数量积为（）a 103b 103c 102d 108如将向量 a 2,1 环绕原点按逆时针旋转4 得到向量 b ,就 b 的坐标为）232,a 222 , 32 b22322,c22 3 2 ,2 d 229设 k r，以下向量中，与向量q1,1 肯定不平行的向量是（）2222a bk ,k b ck,k c dk1, k1d ek1

23、, k110已知| a |10,| b |312 ， 且1ab36 5，就 a与b的夹角为（）a 60°b 120°c 135°d 150°11非零向量a,b满意| a | b | | ab |，就a,b 的夹角为.12在四边形abcd中，如 ab外形是a, adb,且 | ab | | ab | ,就四边形abcd 的学习必备欢迎下载13已知 a3,2 ， b2,1 ，如ab与ab 平行，就 =.14 已知e 为单位向量，为.| a | =4 ，a与e2的夹角为3，就 a在e 方向上的投影15已知非零向量a, b 满意 | ab | | ab |,求证

24、 :ab16已知在 abc 中， ab2,3， ac1, k , 且 abc 中 c 为直角， 求 k 的值 .17、设e1 ,e2是两个不共线的向量，ab2e1ke2 , cbe13e2 ,cd2e1e2 ，如 a、 b、 d 三点共线，求k 的值 .18已知| a |2| b |3 , a与b 的夹角为 60o, c5a3b, d3akb ,当当实数 k 为何值时，c d cd学习必备欢迎下载19如图， abcd 为正方形， p 是对角线db 上一点， pecf 为矩形，求证： pa=ef； pa ef.20如图，矩形abcd 内接于半径为r 的圆 o，点 p 是圆周上任意一点，求证： p

25、a2+pb2+pc2+pd2=8r2.学习必备欢迎下载参考答案第 2 章 平面对量§ 2.1 向量的概念及其表示经典例题：解：由于零向量与任一向量都共线，所以a 不正确；由于数学中讨论的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同始终线上，而此时就构不成四边形，根本不行能是一个平行四边形的四个顶点，所以 b 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于 c，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假如与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与 都是非零向量，所以应选c.当堂

26、练习：1.c;2.c;3.d;4.c;5.b;6.1ad2oa, oc,od, bo, ao,co, do3ad, bc, cb.;7. ;8. （ 1 ）bf（ 2 ）de ,co, bf（ 3 ）ae, de , do, bo, co, bf , cf（ 4）不相等 ; 9. （ 1） do, cboc, ed ;（ 2）eo, dc（ 3）10. （1） a, d（2） a, d（3）不存在（ 4） a, d ， c ;11. （ 1） bd, db, dc ,cd, bc, cb（ 2）ae, ea, ec,ce（ 3） fb, af ;12. 3 种， 8 种，可以（转化为相邻两个中

27、的互跳）;§ 2.2 向量的线性运算经典例题：证明：连结de, ef , fd 由于d , e , f 分别是abc 三边的中点， 所以四边形adef为平行四边形由向量加法的平行四边形法就，得edefea （ 1），同理在平行学习必备欢迎下载四 边 形befd中 ，f df ef2b ， 在 平 行 四 边 形 c f d e在 中 ，d fd ed3c将（ 1） 2 3 相加，得eafb efdcfe ed edefde fd fdfedf dedf0当堂练习：1.c; 2.d; 3.a; 4.c; 5.d; 6.a; 7. 3; 8.（ 3）不存在（ 4） a,d ， c ;|

28、a | b |; 9.， ; 10. （ 1） a, d（ 2） a, d11. 北偏东 30°方向，大小为33 km12. bcaoabboabafab ；cdafb ；ad2bc2 ab ；be2 af2b§ 2.3 平面对量的基本定理及坐标表示经典例题：解 （ 1） ab x,1 ， cd4,x ab / cd ，x24, x2（ 2）由已知得bc22 x, x1 当 x2 时， bc2,1 ， ab2,1 ，ab 和bc 不平行， 此时a, b , c , d 不在一条直线上；当 x2 时， bc6,3 ， ab2,1ab / bc ，此时a, b ,c 三点共线又

29、ab / cd ，a, b, c, d 四点在一条直线上综上当 x2 时，a, b , c , d 四点在一条直线上学习必备欢迎下载当堂练习：1.b; 2.b; 3.a; 4.b; 5.d; 6.a; 7. -4; 8. 310 ,58 ; 9. -3 ， 15; 10. 8,-4;11解析： 1bd = bc + cd =2e1-8e2+3e1+e2 e1-5e2 ab bd 与 ab又直线 bd 与 ab 有公共点b ， a 、b 、d2 e1-e2 与 e1- e2存在实数k，使 e1 e2（ e1 e2 ） e1+k e2 0 e1、 e2由平面对量的基本定理可知： 且 解得 

30、7;，故 12解法一： a 、b 、c 三点共线即ab 、 bc存在实数 使得 ab bc即 i-2j= （ i+mj ）1于是m2即 m= 2 时， a 、b 、c 三点共线 .解法二：依题意知：i=1,0,j=0,1就 ab =1,0-20,1=1,-2,bc =1,0+m0,1=1,m而 ab 、 bc故当 m=2 时， a、 b、 c 三点共线 .§ 2.4 平面对量的数量积经典例题：解：如ka900 ,ab就2ac ，于是 213k0解得3 ；学习必备欢迎下载0如b90, 就 ab故得bc ，又 bcacab1, k3 ,213k30 ，k11解得3 ；就如c900 ,ac

31、bc ，故k k30 ，31321131311k解得2所求 k 的值为3 或 3 或2当堂练习：151.c; 2.b; 3.c; 4.a; 5.d; 6.b; 7. 450; 8.211.a =-1,2b =-2,-1a · b =0; 9.2; 10. - 63;12. 令 c0,y, 就 ac =-1,y-2cb4, 1y由于acb=900, 所以 accb =0,即 -4+y-2-1-y=0y2-y+2=0, 此方程无实数解,所以这样的点不存在.§ 2.5 平面对量的应用经典例题：解：设oa,ob ,oc 三根绳子所受力分别是a, b, c ，就abc0 ， a ,b 的合力为c 'ab,| c ' | | c |， 如 上 右 图