分式的知识点及典型例题分析

1、学习必备精品学问点1、分式的定义： 例：以下式子中，分式的学问点及典型例题分析15、8a2b、- 9a 、5ab3a 2、b221、2-、5 xy1xy232 xy4am6x、1x21、223 xy 、3、 a xy1 中分式的个数为（）m（a） 2（b） 3（c） 4d5练习题：（1）以下式子中，是分式的有.2x7x15a2x2x2b2xy； ； 2；22 .x523ab2 xy 以下式子，哪些是分式？a3y37 xxxy1b；2；.5x4y8x2 y452、分式有、无意义 ：（ 1）使分式有意义：令分母0 按解方程的方法去求解；（ 2）使分式无意义：令分母=0 按解方程的方法去求解；例 1

2、：当 x时，分式1有意义；x5例 2：分式 2 x21 中，当 xx 时，分式没有意义；例 3：当 x时，分式1 x2有意义；1例 4：当 x时，分式x有意义；x21例 5： x ， y 满意关系时，分式 xy xy无意义；例 6：无论 x 取什么数时，总是有意义的分式是（）2a2 xb.xc.3 xd.x532x12x1x1x例 7：使分式xx2有意义的 x 的取值范畴为（）a x2b x2 c x2d x2例 8：要是分式x2没有意义，就x 的值为（） x1 x3a. 2b.-1或-3c. -1d.3学习必备精品学问点3、分式的值为零：使分式值为零：令分子 =0 且分母 0，留意：当分子等

3、于0 使，看看是否使分母=0 了，假如使分母 =0 了，那么要舍去；例 1：当 x时，分式例 2：当 x时，分式12a 的值为 0；a12x1 的值为 0x1例 3：假如分式aa2 的值为为零 , 就 a 的值为 2a.2b.2c.2d.以上全不对2例 4：能使分式 xx2x 的值为零的全部 x 的值是（）1ax0bx1cxx290 或 x1dx0 或 x1例 5：要使分式2x5x6的值为 0，就 x 的值为（）a.3 或-3b.3c.-3d 2例 6：如 aa10 , 就 a 是a. 正数b.负数c.零d.任意有理数4、分式的基本性质的应用：分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘或除以一个不

4、等于0 的整式，分式的值不变；a acb bcc0a a cb b c例 1：xy；6x yz；假如53a15 成立, 就 a 的取值范aaby3 yz 2yz73a17围是 ；2ab1bcbc例 2：a 3b3a例 3：假如把分式a2b中的 a 和 b 都扩大 10 倍，那么分式的值（）aba、扩大 10 倍b、缩小 10 倍c、是原先的 20 倍d、不变例 4：假如把分式10x中的 x， y 都扩大 10 倍，就分式的值（）xya 扩大 100 倍b扩大 10 倍c不变d缩小到原先的110学习必备精品学问点例 5：如把分式x3 y2 x的 x、y 同时缩小 12 倍，就分式的值（）a扩大

5、12 倍b缩小 12 倍c不变d缩小 6 倍例 6：如 x、y 的值均扩大为原先的2 倍，就以下分式的值保持不变的是 （）a 、 3x2yb 、 3x 2 y23 x2c 、2 y3x3d 、2 y2例 7：依据分式的基本性质，分式a可变形为（）aba abacadaabababab例 8 ： 不 改 变 分 式的 值 ， 使 分 式 的 分 子 、 分 母 中 各 项 系 数 都 为 整 数 ，0.2 xx0.012；0.05例 9：不转变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，=；5、分式的约分及最简分式：约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分分式约分的依据：分

6、式的基本性质1x1xx 2分式约分的方法： 把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分；其次类： 分子分母是多项式的， 把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去；例 1：以下式子（ 1） xyx2y21；（ 2） ba xycaab ；（ 3） ba acab1 ；（ 4）xyxxyxy 中正确选项（）ya 、1 个b、2 个c、 3个d、 4个例 2：以下约分正确选项（）6a、 xx3 ；b、 xy x2xyxy0 ；c、xx

7、）x2xy1 ；d、x2xy214x 2 y2例 3：以下式子正确选项 a 2 xy2 xy0 b.ay ay1 c.yzyz d. cdcd xaacdcd0a例 4：以下运算正确选项（学习必备精品学问点a、aab 、 241a 2ac 、2d 、 111a babxx2bb2mmm例 5：以下式子正确选项（）b b 2abab0.1a0.3 ba3ba2b0c1daaabab0.2ab2abm 23m例 6：化简2的结果是（）9ma、mb、mc、md、mm3m34x2 ym33m3x例 7：约分：6xy 2；2=；x91 x1 y1；3xy2xy530.6 xy3x5 y；例 8：约分：a

8、242；a4a4aabbab；xy xy2ax ayx216x29x2y2；2x8x16；2x614a2bc321a3bc 9m 2m3x 29 ；x26 x9例 9：分式 a2 ，ab，4a，1 中，最简分式有 a 23a2b212 abx2a1 个b2 个c3 个d4 个6、分式的通分及最简公分母：通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；其次类：分母是多项式（要先把分母因式分解）分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型； “二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积；例如：2x2x最简公分母就是xx22 x2 ；“二、四”型：指其一个分母完全包括

9、另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母；例如：2x2xx24最简公分母就是x24x2 x2学习必备精品学问点“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有特殊的因式，最简公分母要有特殊的；相同的都要有；例如：x2 x22x x2最简公分母是：2x x2这些类型自己要在做题过程中认真地去明白和应用，认真的去发觉之间的区分与联系；例 1：分式11,2mnm2n 2 , m的最简公分母是（）namn m 2n 2 b m2n 2 2c mn 2 mnd m 2n 2例 2：对分式y ，x 2 x3 y 2，14 xy通分时，最简公分母是（）a x2yb x21xyx1x2y2例 3：下面各分式

10、：个；x2x,22 ,xyx1 , x2y2，其中最简分式有（）a. 4b. 3c. 2d. 1例 4：分式1a 2，a 42 a的最简公分母是.4例 5：分式 a 与 1 的最简公分母为 ；b例 6：分式1,222xyx1的最简公分母为；xy8、分式的加减：分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减；1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减；2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了；通分方法： 先观看分母是单项式仍是多项式， 假如是单项式那就连续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分； 假如是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，连续通分；分类：第一类：是分式之间

11、的加减，其次类：是整式与分式的加减；例 1：例 2：2m2 a 2a 22n =m3a24=1a 21例 3：yx=xyyx学习必备精品学问点例 4： x2 yx 2y 2yy 2x 22 x=x 2y2运算（ 1）ababba（ 2）a2ab2b2ba 2例 5：化简 1x1+ 1 + 12 x3x3等于（）115a 2 xb 2 xc 6 xd 6 x例 6： bcaabcxx61例 7：2a1a 24a2x2例 8：2例：x193abx3x3xxx1bab14x1b 2练习题：（ 1）22（2）2（ ）abba2xx42xa - b例 10：已知： x24 x30求x12x x2x24

12、x的值；4分式的乘法：乘法法测：a · c bd= ac .bdacadad分式的除法：除法法就：÷=·=例题：b dbc bc42运算：（1） 26x25x34（2） 16 xy456 x15x 639y 7125a10100 a13运算：（10）2x 25y3 y 26x10 y 21x2学习必备精品学问点求值题：（1）已知： x3 ，求xy2222xyy 22的值；y4x2xyyxxy求值题：（1）已知： x2yz求 xy34x2yzxzy 2z2的值；（2）已知： x 210x25y30 求x22 xyx的值；2 y9、分式的求值问题：一、所求问题向已知条

13、件转化例1已知 x+ 1xx2=3，就42xx的值；1例 2：如 ab=1，就1a11的值为；b1例 3：已知 x2，y 1 ，求2424÷11的值.2 xy2xy2xyxy二、由已知条件向所求问题转化例 4：已知 a13，那么 a 2a1；a 2例 5：已知 11xy3 ，就 5 xxxy5 y 的值为（）xyya7b7c2d22277例 6：假如a =2，就ba 2abb 2=a 2b 2学习必备精品学问点例 7：已知 y=3xy+x，求代数式 2 xx3xy 2 xy2 y 的值 y例 8：已知a与b的和等于4x，就 a=, b =；x2例 9：如 xyxyx2x 240 ，就

14、分式 11（）yxa、 1b、 y xyxc 、1 d 、 1练习1：已知 x 为整数，且222 x+2x33xx18 为整数，求全部符合条件的x 值的和 .92：已知实数 x 满意 4x2-4x+l=o ，就代数式 2x+ 12 x10、分式其他类型试题：的值为 例 1：观看下面一列有规律的数：2 ， 3 ， 4 ，38155， 6 ，24357，依据48其规律可知第 个数应是（ n 为正整数）例 2： 观看下面一列分式：1 , 2 ,4 , 8 ,16 ,.,依据你的发觉，它的第8 项xx2x3x4x5是，第 n 项是；例 3： 按图示的程序运算，如开头输入的n 值为 4，就最终输出的结果

15、m是（）输入 n运算n（ n+1）n>50noyes输出结果ma10b20c55d50例 4：当 x= 时, 分式1与5x10互为相反数 .23x例 5：在正数范畴内定义一种运算，其规章为a b 1a1 ，依据这个规章bx x13 的解为（）2a x23b x1c x2 或 1d x32 或13例 6：已知4xx24a bxxx2c ，就 a 4 , b , c ；学习必备精品学问点例 7：先填空后运算： 11=；1nn1n11=；11n2n2n3=；（3 分）（本小题4分）计算：1n n1解：1n1 n211n2 n3111n2007 n2 0081nn1n1 n2n2 n3n2007

16、 n2021=11、分式方程：（ 1）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程；（ 2）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程；解分式方程时， 方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程肯定要验根；（ 3）解分式方程的步骤：（ 1）能化简的先化简；2方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；3解整式方程；4验根例 1：假如分式x2 x1 的值为 1，就 x 的值是；1例 2：要使5与4的值相等，就 x= ；x1x2例 3：当 m= 时，方程 2mxmx1 =2 的根为 1 .2例 4：假如方程2a

17、 x13的解是 x 5，就 a；例 5：123xx122x11x33x例 6: 解方程： x2x216x2 x24x2例 7：已知：关于 x 的方程 1ax3x4 无解，求 a 的值；3x例 8：已知关于 x 的方程 xax21的根是正数，求a 的取值范畴；例 9：如分式1与 x x2x2 的 2 倍互为相反数，就所列方程为3 ；m例 10：当 m为何值时间？关于x 的方程2xx2xxx1x1 的解为负数？2例 11：解关于 x 的方程 bxa2 xb a0a学习必备精品学问点例 12：解关于 x 的方程 :x1x1abab2a a0 a 2b 2例 13：当 a 为何值时 ,x1x22xa的

18、解是负数 .x2x1x2 x1例 14 关于 x 的方程 x1x2xx1xm 2 x的解为负值，求m的取值范畴；112、分式方程的增根问题 ：（ 1）增根应满意两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根；（ 2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，假如最简公分母的值不为 0，就整式方程的解是原分式方程的解；否就，这个解不是原分式方程的解；例 1：分式方程x+1=m有增根，就 m=x3x3例 2：当 k 的值等于时，关于 x 的方程k24x 不会产生增根；x3x3例 3：如方程3a4有增根，就增根可能为（）x2xx x2a、0b、2c、0 或 2d、1

19、13、分式的应用题：（ 1）列方程应用题的步骤是什么？ 1 审； 2 设； 3 列； 4 解； 5 答（ 2）应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：a. 行程问题： 基本公式： 路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题b. 数字问题：在数字问题中要把握十进制数的表示法c. 工程问题：基本公式：工作量 =工时×工效d. 顺水逆水问题 :v顺水 =v 静水 +v 水 v逆水=v 静水 -v 水工程问题 ：例 1：一项工程，甲需 x 小时完成，乙需y 小时完成，就两人一起完成这项工程需要 小时；例 2：小明和小张两人练习电脑打字， 小明每分钟比小张少打 6 个

20、字，小明打 120 个字所用的时间和小张打 180 个字所用的时间相等；设小明打字速度为 x 个/ 分钟，就列方程正确选项（ ）a120180b120180c120180d120180x6xx6xxx6xx6学习必备精品学问点例 3：某工程需要在规定日期内完成, 假如甲工程队独做 , 恰好如期完成 ;假如乙工作队独做 , 就超过规定日期3 天, 现在甲、乙两队合作2 天, 剩下的由乙队独做, 恰好在规定日期完成 , 求规定日期 . 假如设规定日期为 x 天, 下面所列方程中正确选项 a. 2xxx31 ;b.23xx;c.113 xx32x2x31 ;d.1x1xx3例 4：赵强同学借了一本书

21、， 共 280 页，要在两周借期内读完， 当他读了一半时， 发觉平常每天要多读 21 页才能在借期内读完 . 他读了前一半时 , 平均每天读多少页.假如设读前一半时 , 平均每天读 x 页, 就以下方程中 , 正确选项（ ）a、 14014014b、 28028014xx21xx21c、 10101d、14014014xx21xx21例 5：某工程由甲、乙两队合做6 天完成，乙、丙两队合做10 天完成，甲、丙两队合做 5 天完成全部工程的天？2 ；求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少3价格价钱问题：例 1：“五一”江北水城文化旅行节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅行， 面包车的租价为18

22、0 元，动身时又增加了两名同学， 结果每个同学比原先少摊了3 元钱车费，设参与游玩的同学共x 人，就所列方程为（）a 1801803b 1801803c 1801803xx2x2xxx2d 1801803x2x例 2：为了帮忙遭受自然灾难的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款；已知第一次捐款总额为4800 元，其次次捐款总额为5000 元，其次次捐款人数比第一次捐款人数多20 人，而且两次人均捐款额恰好相等；那么这两次各有多少人 进行捐款？学习必备精品学问点顺水逆水问题 ：例 1：a、b 两地相距 48 千米，一艘轮船从a 地顺流航行至 b 地，又立刻从 b 地逆流返回 a 地，共用去 9

23、小时，已知水流速度为4 千米/ 时，如设该轮船在静水中的速度为 x 千米/ 时，就可列方程（）a、48x4489x4b、484x4894xc、 4849xd 、96x4969x4例 2：一只船顺流航行90km 与逆流航行60km 所用的时间相等，如水流速度是2km/h，求船在静水中的速度， 设船在静水中速度为xkm/h，就可列方程 （）9060906090606090a、 x2 = x2b 、 x2 = x2c 、 x+3= xd 、 x+3= x例 3：轮船顺流航行 66 千米所需时间和逆流航行48 千米所需时间相同，已知水流速度是每小时3 千米，求轮船在静水中的速度；行程问题：例 1：八年级 a、b 两班同学去