八年级数学第十四章教案

1、学习必备欢迎下载14.1.1直角三角形三边的关系（1）教学目标： 1. 探究并把握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2会应用勾股定懂得决实际问题教学重点： 探究勾股定理的证明过程教学难点： 运用勾股定懂得决实际问题教学过程：一；探究勾股定理试一试测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：三角尺直角边 a直角边 b斜边 c关系12依据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、 b 、 c 之间的关系由图 14.1.1得出等腰直角三角形的三边关系图 14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观看图中用阴影画出的三个正方形，很明显，两个小正方形p、 q 的面积之和等于大正方形

2、r 的面积即ac2 2 2 ，图 14.1.1这说明， 在等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢.试一试观看图 14.1.2，假如每一小方格表示1 平方厘米，那么可以得到：正方形p 的面积平方厘米；正方形 q的面积平方厘米；（每一小方格表示1 平方厘米）图 14.1.2正方形 r 的面积平方厘米我们发现，正方形p 、q 、r的面积之间的关系是学习必备欢迎下载由 此 ， 我 们 得 出 直 角 三 角 形 的 三 边 的 长 度 之 间 存 在 关系由图 14.1.2得出一般直角三角形的三边关系. 如 c=90°,

3、 就 a2b 2c 2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方abc中， c=90°,就 a 2b 2c2 a 、b 表示两直角边，c 表示斜边 变式： a 2c 2b2 ,b 2c 2a 22介绍勾股定理的历史背景；二例题分析：例 1.rt abc中， ab=c,bc=a,ac=b, b=90°（1）已知 a=8,b=10, 求 c.c=6（2）已 知 a=5,c=12, 求 bb=13留意：“ b 为直角”这个条件；三、引申提高：例 2 如图 14.1.4 ，将长为5.41 米的梯子ac斜靠在墙上，长为2.16 米，求梯子上端a到墙的底边的垂直距离（精确到0.

4、01 米）22解如图 14.1.4 ，在 rt 中， . 米， . 米，依据勾股定理可得ac 2 22 . . . （米）答：梯子上端a 到墙的底边的垂直距离约为 4.96 米四巩固练习：1 书本 p51.1.2五课时小结：1. 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方2. 已知直角三角形两边的长或知道两边关系和第三边的长，可以利用勾股定理求出三角形未知边长，并可运用面积关系式求斜边上的高；六课堂作业：p55 2.314.1.1 直角三角形三边的关系（2） 教学目标： 1. 用拼图的方法说明勾股定理的结论正确；2会应用勾股定懂得决实际问题教学重点： 利用勾股定懂得决实际问题教学

5、难点： 构造直角三角形求解；教学过程：一复习引入：1. 勾股定理的内容是什么？2. 始终角三角形中有两条边的长为1 和 2，求第三边；二体验勾股定理的几种探求方法：学习必备欢迎下载试一试剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图14.1.6所示的图形大正方形的面积可以表示为，又可以表示为对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论图 14.1.5图 14.1.6用上面得到的完全相同的四个直角三角形，仍可以拼成如图14.1.7所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的由下面几种拼图方法，试一试，能否得出a2b2c2 的结论；a ab cbcc caabcbba（

6、 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）探究点拔： 1. 将这四个全等的直角三角形拼成图（1），（ 2），（ 3）中所示的正方形，利用正方形的面积等于各部分面积的和可以得出a 2b2c 2 ；2. 将两个直角三角形拼成图（4）中的梯形，由梯形面积等于三个直角三角形面积的和可以222得到 a 2b 2c2 ；3. 通过剪接的方法构成如图（5）的正方形，可以证得三应用：abc ；例 1.如图 , 为了求出湖两岸的ab 两点之间的距离，一个观测者在点c 设桩，使 abc恰好为 rt，通过测量， 得到 ac长 160 米， bc长 128 米， 问从 a 点穿过湖到点b 有多远？解： rt abc中，

7、ac=100， bc=128，依据勾股定理得: abac2bc21602128296 米 答：从 a 点穿过湖到点b 有 96 米；说明： 运用勾股定理的前提是三角形必需是直角三角形；如已知条件中没有直角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理；b例 2 . 在一棵树的10 米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘；假如两只猴子经过的距离ca相等，问这棵树有多高？解：设 bdx米，就 adac102030米, bc30x 米 .rt abc中， x10 2202 30x 2四引申提高：解之得： x 树高x105 .15米例 3有一个棱长为1 米且封闭

8、的正方形盒子（如图），一只蚂蚁从顶点a 向顶点b爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？学习必备欢迎下载分析：最短路程为绽开图中的baab1225 米ba五小结： 1. 说明勾股定理成立时要有肯定的拼图才能；2. 构造直角三角形， 将实际问题转化为数学问题，运用勾股定理建立方程求解；六课堂作业：p53 练习 1.214.1.2 直角三角形的判定教学目标： 1. 把握直角三角形的判别条件；2.熟记一些勾股数；能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用；教学 重点：直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判定一个三角形是否是直角三角形；教学 难点：直角三角形的判别条件判定一个三角形是否是直角三

9、角形及综合应用直角三角形的学问解题；教学过程：一 . 复习引入：1、 复习直角三角形的性质：角的性质、边的性质；2、 我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？二、叙述新课：1、 古代埃及人作直角：古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用 13 个等距的结把一根绳子分成等长的12 段，一个工匠同时握住绳子的第1 个结和第 13 个结，两个助手分别握住第4 个结和第8 个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形；其直角在第4 个结处；他们真的能够得到直角三角形吗？2、做一做下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b， c：5， 12， 13；7， 24，25；8 ， 15，

10、17；（ 1）这三组数都满意a 2b 2c 2吗？（ 2）分别以这三组树为三边长作出三角形，用量角器量一量， 它们都是直角三角形吗？3、从做一做中，你能猜想到什么结论？勾股定理的逆定理假如三角形的三边长a， b， c 有关系 a 2b 2c 2 ，那么这个三角形是直角三角形.例 1设三角形三边长分别为以下各组数，试判定各三角形是否是直角三角形：（1） 7 ， 24 ， 25 ； （ 2） 12 ， 35 ， 37 ； （ 3） 13 ， 11 ， 9 解由于252 2 2 ， 2 2 2 ，学习必备欢迎下载 2 2 2 ，所以依据前面的判定方法可知，以（1）、（ 2）两组数为边长的三角形是直角

11、三角形，而以组（ 3）的数为边长的三角形不是直角三角形4、勾股数：能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）；请你与你的同伴合作， 看看可以找出多少组勾股数； 练习： 在一根长为 180 个单位的绳子上，分别标出 a， b， c，d 四个点，它们将绳子分为长为 60 个单位、 45 个单位和 75 个单位的三段线段；自己握住绳子的两个端点（ a 点和 d点），两名同伴分别握住 b 点和 c 点， 一起将绳子拉直，会得到一根什么外形？为什么？记住常用的勾股数能成为直角三角形三边的三个正整数叫做勾股数，2223 +4 =5 3、4、 5 是一组勾股数同理6 、8、10 是一组勾

12、股数，5、12、 13 也是一组勾股数；此外，仍可用下面的方法产生很多组勾股数：由例222a=n -1b=2nc=n +1n=2a=3b=4c=5n=3a=8b=6c=10n=4a=15b=8c=17三、随堂练习：1、p54 练习 1.2 题四、小结：（ 1）只要有两边的平方和等到于第三边的平方，这样的三角形是直角三角形，简记为：2220a +b =c c=90（2）应用勾股定理的逆定理时，先运算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较；（3）常用的勾股数有3、4、5、； 6、 8、10； 5、12、 13 等；（4）判定一个直角三角形，我们除了可依据定义去证明它有一个直角外，仍可以采纳今日的

13、勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用；（5）在定理中显现的a、b、c 并不是固定的，要懂得其实质；五、布置作业：p55 5.6勾股定理的应用（一）一、教学目标1、会用勾股定懂得决简洁的实际问题；2、树立数形结合的思想；二、重点、难点1、重点：勾股定理的应用；2、难点：实际问题向数学问题的转化；3、难点的突破方法：学习必备欢迎下载数形结合， 从实际问题中抽象出几何图形，让同学画好图后标图；在实际问题向数学问 题的转化过程中， 留意勾股定理的使用条件，老师要向同学交代清晰，说明明白； 优化训练，在不条件、 不同环境中反复运用定理，使同学达到

14、娴熟使用，敏捷运用的程度；让同学深化 探讨，积极参加到课堂中，发挥同学的积极性和主动性；勾股定理能解决直角三角形的很多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用三. 举例例 1 如图 14.2.1 ，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点a 动身，沿着圆柱的侧面爬行到点c，试求出爬行的最短路程图 14.2.1分析蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，假如将这半个侧面绽开（如图14.2.2 ），得到矩形 d，依据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面绽开图矩形对角线 ac之长（精确到. cm）图 14.2.2解如图 14.2.2 ，在 rt中，底面周长的一半c

15、m， acab 2bc 2 4 2102229（cm）（勾股定理）答： 最短路程约为cm例 2 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门外形如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门.图 14.2.3分析 由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 ch如图 . . 所示，点d 在离厂门中线0.8 米处，且cd，与地面交于h 解在 rt ocd中，由勾股定理得oc 2od 2 120.82 . 米，c . . . （米）. （米）学习必备欢迎下载因此高度上有0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门四. 随堂练习： 1、 p

16、58练习 1.2 题五、作业课本 p60 习题第 1 2 3题勾股定理的应用（二）一、教学目标1、会用勾股定懂得决较综合的问题；2、树立数形结合的思想；二、重点、难点1、重点：勾股定理的综合应用；2、 难点：勾股定理的综合应用；教学过程：一. 举例例 3 如图 14.2.5 ，在×的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按以下要求画出图形：（1） 从点 a 动身画一条线段，使它的另一个端点在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2） 画出全部的以（1）中的为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数分析 只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满

17、意要求图 14.2.5图 14.2.6解（ 1） 图 14.2.6中长度为22（2） 图 14.2.6中、 d 就是所要画的等腰三角形例 4 如图 14.2.7 ，已知 cd m，ad m， adc°， bc m， m求图中阴影部分的面积图 14.2.7解在 rt adc中，ac2 2 2 2 2 （勾股定理）， ac m 2 2 2 2 2 ， acb为直角三角形（假如三角形的三边长a、 b 、 c 有关系：a 2 b 2 c 2 ，那么这学习必备欢迎下载个三角形是直角三角形）， s 阴影部分acb acd 1/2 ××1/2 ××（m2 ）

18、二、随堂练习p60 练习 1 2题三 作业p60习题 4 5 6题回忆与摸索教学目标1学问目标 ：把握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，娴熟地运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题；2才能目标 ：正确使用勾股定理的逆定理，精确地判定三角形的外形；3德育目标 ：熟识勾股定理的历史，进一步明白我国古代数学的宏大成就，激发同学的爱国热忱，培育探究学问的良好习惯；教学重点： 把握勾股定理及其逆定理；教学难点： 精确应用勾股定理及其逆定理；教具预备： 投影仪，胶片，彩色水笔，三角板等教学方法： 启示式训练教学过程一、回忆与摸索1 直角三角形的边存在着什么关系？2 直角三角形的角存在着什么关

19、系？3 直角三角形仍有哪些性质？4如何判定一个三角形是直角三角形？5你知道勾股定理的历史吗？三、讲例问题： 如图，一个3m长的梯子 ab，斜靠在一竖直的墙ao上，这时ao的距离为a假如梯子的顶端a 沿墙下滑 0.5m，那么梯子底端b 也外移 0.5m 吗？（留几分钟的时间给同学摸索）2.5m ，分析： 1、求梯子的底端b 距墙角 o多少米？c2、假如梯子的顶端a 沿墙下滑0.5m 至 c，请同学们猜一猜：o（ 1）底端也将滑动0.5 米吗？bd（2）能否求出od的长？解：依据勾股定理，在rt oab中， ab=3m， oa=2.5m， ob2=ab2-oa2= 3 2-2.5 2=2.75 ；

20、22222ob 1.658m；在 rt ocd中，oc=oa-ac=2，mcd=ab=3m，od=cd-oc = 3 -2bd=od-ob=2.236-1.658 0.58m假如梯子的顶端a 沿墙下滑0.5m，那么梯子底端b 也外移 0.58m；例 2 议一议 p19 拼图与勾股定理=5； od 2.236m；a222观看图2验证： c a b2证明：大正方形面积可表示为c ，也可以表示为1 ab· 4（ b a） 22所以 c 2ob1 ab· 4（ b a）22学习必备欢迎下载222ab b 2ab a2222故 c aa b2十 b例 3.一个零件的外形如图，按规定这

21、个零件中a 与 bdc都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸： ad 4， ab 3，db 5，dc 12，bc 13，这个零件符合要求吗？分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判定abc和 dbc是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了；22222解：在 abc中， ab ad 3 4 9 16 25 bd所以 abc为直角三角形，a 90°c在 dbc中， bd2 dc2 52 122 25 144 169 132212bc13所以 dbc是直角三角形，cdb 90°d因此这个零件符合要求；5四、随堂练习4一、判定题；1由于 0.3 ， 0.4 ， 0.5 不

22、是勾股数，所以以0.3 ， 0.4 ，a3b0.5 为边长的三角形不是直角三角形（）2由于以0.5 ， 1.2 ， 1.3 为边长的三角形是直角三角形，所以0.5 ，1.2 ， 1.3 是勾股数（）二、填空题；1 已知三角形的三边长分别为5cm， 12cm，13cm，就这个三角形是222 abc中， c 90°， b 30°， ac1，以 bc为边的正方形面积为23 三条线段m、n、 p 满意 m 一 n三、挑选题； p ，以这三条线段为边组成的三角形为1分别以以下四组数为一个三角形的边长：（ 1）6、8、10；（ 2）5、12、13；（3） 8、15、 17；（ 4） 4

23、、 5、6 其中能构成的直角三角形的有（）；a 4 组b 3 组c 2 组d l 组22222三角形的三边长分别为a（）b 、2ab、a b （a、b 都是正整数），就这个三角形是a直角三角形b钝角三角形c锐角三角形d不能确定三 作业221已知a 、b、c 是三角形的三边长，a 2n 2n， b2n 1，c 2n 2n 1（ n 为大于 1的自然数）；试说明labc为直角三角形；2222 如三角形abc的三边 a、b、c 满意 a b c 十 338 10a 24b 26c试判定 abc的外形；23 在等腰 abc中， bac 90°， p 为 abc内一点， pa l ，pb 3，

24、pc 7，求 cpa的大小；4 四边形abcd中 a90°， ab 4cm， ad 3cm，cd 12cm， bc 13cc，求 s 四边形 abcd学习必备欢迎下载教学目标：第 14 章 勾股定理单元复习1 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；2.假如三角形的三边长a、b、c 有 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；3、勾股定理能解决直角三角形的很多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用；教学重点：勾股定理的应用教学难点：实际问题向数学问题的转化教学过程：一、创设情境引入新课想一想：1 直角三角形有那些特点？ 同学分组探讨 （1）一般三角形具有的特点它

25、都有；（2） 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；2 直角三角形有那些识别方法？ 同学分组探讨（1）有一个角是直角的三角形；（2） 两个角互余的三角形；222（3） 假如三角形的三边长a、b、c 有关系 a +b =c , 那么这个三角形是直角三角形；3 你能说几组勾股数呢？ 同学相互沟通 3、4、5；5、 12、13; 7 、24、25； 8 、15、 17; 9 、40、41.二、合作沟通自主探究如图， 以 rt abc 的三边为边向外作正方形，其面积分别为s1， s2， s3 ，请同学们想一想s1， s2， s3 之间有何关系呢？as联想3（1）如以 rt abc 的三边

26、为直径作半s2圆，其面积分别为s1， s2， s3 ，请同学bcs1们想一想s1， s2， s3 之间有何关系呢？（2）如以 rt abc 的三边为边作等边三角形，其面积分别为s1， s2， s3 ，请同学们想一想 s1， s2， s3 之间有何关系呢？ 探究 2如图， 一个 3m长的梯子 ab，斜靠在一竖直的墙ao上，这时 ao的距离为2.5m，假如梯子的顶端 a 沿墙下滑0.5m，那么梯子底端b 也外移 0.5m 吗？a解：依据勾股定理，在rt oab中， ab=3m， oa=2.5m， ob2=ab2-oa2=32-2.5 2=2.75 ；222ob 1.658m；在 rt ocd中，o

27、c=oa-ac=2，mcd=ab=3m，od=cd-oc =223 -2 =5； od2.236m ；bd=od-ob=2.236-1.658 0.58mc obd学习必备欢迎下载假如梯子的顶端a 沿墙下滑0.5m，那么梯子底端b 也外移 0.58m；探究 3. 如图沿 ae折叠矩形，点d 恰好落在bc 边上的点f 处，已知ab =8cm， bc = 10cm ，求 ec的长 .d解：a点 f、d 关于 ae对称 afe ad e af=ad ，ef =ed afe = adee四边形abcd是矩形bc=ad ab=cd c = ade =900又 ab =8cm bc =10cmaf=10cm cd =8cm在rt abf 中bf=bfcaf 2ab2102826fc =4cm设 ec =xcm 就 de=ef=（ 8-x