全国初中数学联合竞赛试卷

1、1992 全国中学数学联合竞赛试卷第一试一、挑选题此题共有8 个题 , 每道题都给出了a, b, c, d四个结论 , 其中只有一个是正确的. 请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1. 满意 abab1的非负整数a ,b 的个数是 a1b2c3d42. 如x0 是一元二次方程ax2bxc0a0 的根 , 就判别式b 24ac与平方式2m 2ax0b的关系是 a> mb= mc< md 不确定3. 如 x213 x10 , 就 x 4x4 的个位数字是 a1b3c5d74. 在半径为 1 的圆中有一内接多边形, 如它的边长皆大于1 且小于2 , 就这个多边形的边数必为 a7b6

2、c5d45. 如图 , 正比例函数yx和yaxa0 的图像与反比例函数yk k0 x的图像分别相交于a点和 c点. 如 rt就 s1 与 s2 的关系是 aob和 rtcod 的面积分别为s1 和 s2,a s1s2bs1s2cs1s2d不确定6.在一个由 88 个方格组成的边长为8 的正方形棋盘内放一个半径为4 的圆 , 如把圆周经过的全部小方格的圆内部分的面积之和记为s1 , 把圆周经过的全部小方格的圆内部分的面积之和记为s1s2 , 就s2的整数部分是a0b1c2d37. 如图 , 在等腰梯形abcd中, ab/cd,ab=2cd,a一点 , 且 fe=fb=ac, fa=ab.就 ae

3、:eb 等于 a1:2b1:3c2:5d3:1060, 又 e 是底边 ab上8. 设x1 , x2 , x3 , x9 均为正整数 , 且 x1x2x9 , x1x2x9220 , 就当x1x2x3x4x5 的值最大时 ,x9x1 的最小值是 a8b9c10d11二、填空题1. 如一等腰三角形的底边上的高等于18cm, 腰上的中线等15cm, 就这个等腰三角形的面积等于 .2. 如 x0 , 就1 x 2x 4x1x 4的最大值是 .3. 在abc 中 ,c90 ,a和b 的 平 分 线 相 交 于 p 点 ， 又 peab 于 e 点 ， 如bc2, ac3 ，就 aeeb.4. 如a,

4、b 都是正实数，且1a11bab0 ，就 b 3a a 3.b其次试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x 26 xa只有一个时，求a 的取值范畴 .0 的两根，当这样的三角形二、如图，在abc 中 ， abac, d是底边bc 上一点，e 是线段ad 上一点，且bed2ceda .求证：bd2cd .三、某个信封上的两个邮政编码m和 n 均由 0，1， 2， 3， 5， 6 这六个不同数字组成，现有四个编码如下：a： 320651b： 105263c： 612305d： 316250已知编码a、b、 c、d 各恰有两个数字的位置与m和 n 相同 .d 恰有三个数字的位置与m和 n相同

5、. 试求： m和 n.第一试一、挑选题1.c1992 全国中学数学联合竞赛试卷答案ab1由ab01,00,1.ab0,又由ab11,1.共有 3 对. 2.b2设 x 是方程的根 , 就 axbxc0 .00022220所以 2ax0b4a x4abx0b24aax0bx0cb24acb24 ac .3.d由 x213x1 0 知 x0 . 所以 xx 113 ,x 2x 21322167 .44xx4.c216722 , 从而 xx4的个位数字为9-2=7.如满意条件的多边形的边数大于或等于6, 就至少有一边所对的圆心角不大于60° . 由余弦定理知该边长必不大于1; 同理 , 如

6、存在满意条件的四边形, 就它至少有一边长不小于2 .5.b设 a 点的坐标为 x1 , y1 ,c 点的坐标为 x2 , y2 ,就 x1 y1x2 y2k . s16.b1 obab21x1 y121 x y2221 odcd2s2 .据正方形的对称性, 只需考虑它的1 部分即可 . 记圆周经过的全部小方格的圆内部分的面积4之和为s '1 ，圆周经过的全部小方格的圆外部分的面积之和为s' 2 ，就s'148 ， s ' 2154.s'1s' 24s14s 2481544.56 .2.44故 s1 s2的整数部分是1.7.b设 cd1, 就 fa

7、ab2 , 易证 bc1 ab1,2abc90 ,fefbac3 .uc- ab fg是等腰三角形bfd 顶角平分线，因而也是底边bd 上的中线即bg=gd所以 bd=2bg=2dc三、对于编码m，考虑编码a 中恰有两个数位上的数字与m中相应数位上的数字相同设这两位是 x1，x2 数位 由于 b、c 中该两数位上的数字均与a 在这两数位上的数字不同，因此b， c 中这两数位上的数字必与m中这两数位上的数字不同，于是b 中与 m 中数字相同的数位必异于x1， x2 不妨设为x3， x4；同理 c 中与 m 中数字相同的数位只能是异于x1， x2， x3， x4 的 x5 ，x6 两位关于n 也有类似的结论这就是说，在每个数位上，a，b，c 分别在该数位上的数字中，必有一个与m在该数位上的数字相同；同样地， 也必有一个与n在该 数位上的数字相同由此知， d 中的 6， 0 两数字必不是m， n 在相应数位上的数字于是d 的 3， 1， 2， 5 中只有一个数字与m在相应数位上的数字不同；与相比较也有类似的结果a如 3 不对，就有610253， 013256；b如 1 不对，就有36025