余弦函数的图像与性质教学设计

1、学习必备欢迎下载余弦函数的图像与性质【教学目标】1.能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像.2.能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质.3.能懂得余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义.4.会求简洁函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.【学问梳理】问题 1:余弦函数的图像的作法(1) 平移法 :余弦函数y= cos x 的图像可以通过将正弦曲线y= sin x 的图像向平移个单位长度得到如图 .(2) 五点法 :余弦曲线在 0,2 上起作用的五个关键点分别为.问题 2:余弦函数的定义域、值域和单调区间1 定义域为;2 值域为;3 单调增区间为,减区间为.问题 3:余弦函数

2、的周期、奇偶性、对称轴和对称中心1 周期 t=;2 偶函数 ;3对称轴为4 对称中心为.问题 4:余弦函数的复合函数fx=a cosx+a> 0,>0的对称轴、对称中心和单调区间(1) 当 x+ =+k 时,即为对称中心 ;(2) 当 x+ =k时,即为对称轴 ;学习必备欢迎下载(3) 当 x+ -+ 2k ,k2时,求得 x 属于的区间为区间 ;当 x+ 2 k ,+2k时,求得 x 属于的区间为区间 .注:以上 k z【典型例题】要点一余弦函数的图像及应用例 1 画出 y cos xx r的简图，并依据图像写出：1y1时 x 的集合；22 1y 3时 x 的集合22解：用 “五

3、点法 ”作出 y cos x 的简图1 过 0， 12点作 x 轴的平行线，从图像中看出：在 ，区间与余弦曲线交于 1 1，3232点，在 1， 区间内， y 时， x 的集合为x|2x . 33当 x r 时，如 y 1，23就 x 的集合为x 3 2kx 2k， k z13 212 过 0， 2 ，0，点分别作x 轴的平行线， 从图像中看出它们分别与余弦曲线交于2 2k，322133k z ，3 2k， 2 ， k z 点和 2k， 62， k z ，6 2k， 2， kz 点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当1 y 3x 的集合为：2时2学习必备欢迎下载 22

4、x2kx 2k或36 2kx 2k，k z.63规律方法：利用三角函数的图像或三角函数线，可解简洁的三角函数不等式，但需留意解的完整性跟踪演练1求函数 fx lg cos x25 x2的定义域解由题意， x 满意不等式组cos x>02 5x5，即，作出 y cos x 的图像25 x 0cos x>0结合图像可得：，x 5， 33， 5 .2222要点二：余弦函数单调性的应用例 2 求函数 y logcos 2x的增区间解：由题意得cos 2x>0 且 y cos 2x 递减 x 只须满意： 2k <2x<2k， k z. 2 k<x<k， k z.

5、 41 y log 2cos 2x的增区间为k ， k 4 ，k z.规律方法：用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小跟踪演练2：比较以下各组数的大小(1) sin 462317与°cos 221 ；°2cos 与 cos .54解： 1 sin 46 ° cos 44 ° cos136°，cos 221° cos 41°cos 139 .° 180°>139°>136°>

6、0°， cos 139 °<cos 136 °，即 sin 46 >°cos 221 °.学习必备欢迎下载(2) cos 232333cos 4 ，5cos 5cos55 1717.cos4 cos 4 cos 44cos4< 0< 3 <，且 y cos x 在 0， 上递减，4 53 23 17cos5<cos4，即 cos5 <cos4 要点三：余弦函数值域最值 例 3：求以下函数的值域22 sin x(1) y cos x cos x； 2y 2 sin x.1解： 1y cos x 22 1.

7、4 1 cosx1，当 cos x11时， ymax . 24当 cos x 1 时， ymin 2.函数 y cos2x cos x 的值域是 2， 1 .44 sin x42 y 1.2 sin x2 sin x 1sinx1， 12 sin x3， 111，32 sin x 4434，2 sin x 14 13，即 1y 3.32 sin x3，函数 y2 sin x的值域为13 .2 sin x3学习必备欢迎下载规律方法：求值域或最大值、最小值问题，一般依据为： sin x，cos x 的有界性；sin x， cos x 的单调性；化为sin x fy 或 cos x fy利用 |fy

8、| 1来确定；通过换元转化为二次函数跟踪演练3 求函数 y cos2x 4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合 提示： sin2 cos2 1解： y cos2x 4sin x 1sin2x 4sin x sin2x 4sin x 1 sin x 22 5.，当 sin x 1，即 x 2k 2k z 时， ymax 4；当 sin x 1 时，即 x 2k k z 时， y 4. ，2min所以 ymax 4，此时 x 的取值集合是x x 2k2， k z；y min 4，此时 x 的取值集合是x x 2k 2，k z.一、挑选题1函数 y cosx0 x 的值域是 31a

9、1,1b 2， 1c 0 ，1d 1,02 答案 b 解析 函数 y cosx 在0 ，3 上是减函数，函数的值域为cos3cos0，即 1， 1 22函数 y cos2x3cosx 2 的最小值为 a 2b 0学习必备欢迎下载1c 4d 6 答案 b3 21 解析 y cosx2 ，当 cosx1 时， y 最小 0.43函数 y cosx |cosx|， x 0,2的大致图像为 答案 d 解析 y cosx |cosx|2cosxx 0 ， 2 32 ，2，应选 d. 3 0x 2， 2 4方程 |x|cosx 在， 内 a 没有根b有且仅有一个根c有且仅有两个根d 有无穷多个根 答案 c

10、 解析 在同一坐标系中作函数y|x |及函数 y cosx 的图像，如下列图学习必备欢迎下载发觉有 2 个交点，所以方程|x | cosx 有 2 个根5已知函数f x sinx 1，就以下命题正确选项 2a fx是周期为1 的奇函数b fx 是周期为2 的偶函数c fx 是周期为1 的非奇非偶函数 d fx是周期为2 的非奇非偶函数 答案 b 解析 由 fx 2 fx可知 t 2，再 f x sin x2 1 cos x 1， f x cos x 1 cosx1 fx 6函数 ycosx的定义域是 3 cosxa rb x|x2k，k z c x|x2k， k z kd x|x2 ， kz

11、答案 a 解析 要使函数有意义，就需3cosx>0，又由于 1cosx1，明显 3 cosx>0，所以 x r.学习必备欢迎下载二、填空题7函数 y cosx 在区间 ， a上为增函数，就a 的取值范畴是 答案 ， 0 解析 y cosx 在， 0 上是增函数，在0， 上是减函数，只有 <a0时，满意已知条件，a ， 0 47448比较大小：cos cos109 答案 > 解析 cos 47 cos 5 3 cos 3 ，cos 44 cos 5 y cosx 在 0 ，10上是单调递减的，所以cos 3 1010<cos，所以910cos 4710 >co

12、s9 44.9cos ，由99三、解答题9如函数fx a bsinx 的最大值为3，最小值为21，求函数y 1acosbx 的最值和周期23 解析 1 当 b>0 时，如 sinx 1， fx max 2；如 sinx1， fx 1min，23a b 2，即a b 1.21a ，解得2b 1.此时 b 1>0 符合题意，所以y 1 1cosx.231(2) 当 b 0 时， fx a，这与 f x有最大值，最小值b 0 不成立冲突，故22(3) 当 b<0 时，明显有3a b2，a b 1.2学习必备欢迎下载a1，解得2b 1，符合题意所以 y 1 1cos x 1 1cos

13、x.22综上可知，函数y 1 1cosx 的最大值为 31，周期为 2.，最小值为222一、挑选题1将以下各式按大小次序排列，其中正确选项a 1°cos0<cos <cos1<cos30 <cos21b cos0<cos<cos2<cos30 °<cos11c cos0>cos2>cos1>cos30>°cosd 1°>cos1>coscos0>cos >cos302 答案 d11 解析 在0 ， 上， 0< < <1，又余弦函数在0 ， 上

14、是削减的，所以cos0>cos >cos >cos1>0.226226又 cos<0，所以1cos0>cos>cos>cos1>cos.262函数 fx xcosx 的部分图像是 答案 d学习必备欢迎下载2 解析 由 fx xcosx 是奇函数，可排除a ，c.令 x 4，就 f4 4cos 8 <0. 故答案选d.4二、填空题2m 13如 cosx3m，且 xr ，就 m 的取 值范畴是 2 答案 ， 3 1， 5 解析 2m 1 |cosx| ，13m 2 |2m1| |m3 2|.5. 2m 12 m3 22. m3，或 m 1

15、 m ， 3 1， . 54设 fx的定义域为r ，最小正周期为32 . 如 fxcosxx<0 ，215就 f 4 .sinxx， 答案 2233 解析 t， ktk·22 k z 都是 yfx的周期，153 33 f4 f f244 sin 32. sin 442三、解答题5利用余弦函数的单调性，比较cos235 与 cos174 的大小 分析 利用诱导公式化为0 ， 上的余弦值，再比较大小23233 解析 cos5 coscos，55学习必备欢迎下载1717cos4 cos cos .44 33由于 0<4<<，且函数y cosx， x 0， 是减函数，

16、所以cos54>cos 5 ，即 cos235 <cos17 4 6求以下函数的定义域(1) yx；(2) y1 2cosxlg2sin x 1 解析 1要使 yx有意义，需有cossin x ，0又 1sinx1，而 y cosx 在 1,1 上满意 cosx>0， x r. yx的定义域为r.2 要使函数有意义，只要1 2cosx0， 2sinx 1>0 ，cosx即1，21sinx>2.由下图可得1的解集为515cosx2 x| 352kx3 2k，k z sinx>2的解集为 x|2k<x< 66 2k，k z 它们的交集为 x| 2kx< 3 2k，k z ，即为函数的定义域6学习必备欢迎下载1a227函数 fx 2 4 acosx cos x0 x 的最大值为2，求实数a 的值21aa