第21章 一元二次方程知识点

1、一元二次方程知识点知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：方程是整式方程 只含有一个未知数未知数的最高次数是2 （判断时，需将方程化成一般形式。）例 下列关于的方程，哪些是一元二次方程？；（3）；（4）；（5）知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，

2、常数项都包括它前面的符号。（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。（1）； （2）； （3）例2 已知关于的方程是一元二次方程时，则 知识点三 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当时，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。知识点四 建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）

3、设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。例 如图（1），有一个面积为150的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，若竹篱笆的长为35m，求鸡场的长和宽各为多少？鸡场（只设未知数，列出方程，并将它化成一般形式。）知识点五 解一元二次方程一 直接开平方法若方程可化为，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。例 用直接开平方法解下列一元二次方程（1）； （2）； （3）二 因式分解法（1）如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0

4、。用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）多项式因式分解的常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。（2）提公因式法把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。如：，将原方程变形为，由此可得出注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式

5、子，否则可能丢失原方程的根。例 用因式分解法解下列方程：（1）； （2）； （3）。（3）十字相乘法 形如“”的方程的解法。对于形如“”的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边分解因式，方程变形为，则，即。例 解下列方程：（1）； （2） （3）三 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程形如的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。（1）； （2）四 公式法公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通过配方推导出来的一元二次方程的求根公式是(b24ac0)。步骤：把方程转化为一般形式；确定a，b，c的值；求出b24a

6、c的值，当b24ac0时代入求根公式。例 用公式法解下列方程（1）； （2）； （3） 五配方法解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。例 用配方法解下列方程：（1）； （2）(1)用配方法解二次项系数为1的一元二次方程步骤：a.在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；b.把原方程变为的形式。c.若，用

7、直接开平方法求出的值，若n0，原方程无解。例 解下列方程：(2)用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为时，步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二次项的系数； (2) 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为的形式；（3）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。例 用配方法解下列方程：（1）； （2）知识点六选择适合的方法解一元二次方程a.直接开平方法-左边是含有未知数的平方式，右边是一个非负数或一个含未知数的平方式的方程b.因式分解-要求方程右边必须是0，左边能分解因式；c.公式法-是由配方法推导而来的，要比配方法

8、简单。注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。因此一般为 开平方法因式分解法公式法例 用适当的方法解下列一元二次方程：（1）；（2）；（3）知识点七 一元二次方程的注意事项： 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a0因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 应用求根公式解一元二次方程时应注意：先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；若b24ac0，则方程无解 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式如2(x4) =3（

9、x4）中，不能随便约去x4。知识点八一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 =，可以判定一元二次方程的根的情况：a.=0方程有两个不相等的实数根；b .=0方程有两个相等的实数根；c.=0方程没有实数根；步骤：把所有一元二次方程化为一般形式；确定的值；计算的值；根据的符号判定方程根的情况。例1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：（1）；（2）；（3）例2 为何值时，方程的根满足下列情况：（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根；知识点九 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若是一元二次方程的两个根，则有， 根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用

10、的转化关系：（1） （2）（3）； （4）=例 已知方程的两根为，不解方程，求下列各式的值。（1）； （2）。例 解方程： x22x3=0 x2 6x+8=0知识点十 一元二次方程的应用一、列一元二次方程解应用题的一般步骤（1） 审题，找出题中的等量关系（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。二、解与增长率（或降低率）有关的问题增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a，增长率为，则一次增长后的值为，两次增长后的值为；（2）若基数为a，降低率为，则一次降低后的值为，两次降低后的值为。例 某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为，列出关于的方程为 三、解与市场经济有关的问题与市场经济有关的问题：营销问题、水电问题、水利问题。常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价进货价）÷进货价&#