高数-隐函数偏导数的求法及其应用

1、0),(. 1 yxF一、一个方程的情形一、一个方程的情形隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),( yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隐函数的求导公式隐函数的求导公式例例 2 2 已已知知xyyxarctanln22 ，求

2、求dxdy.解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 例例 3 3 设设04222 zzyx，求求22xz .解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy .思路：思路：把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz ，把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导

3、导数数得得yx ，把把y看看成成zx,的的函函数数对对z求求偏偏导导数数得得zy .解解令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz 把把z看看成成yx,的的函函数数对对x求求偏偏导导数数得得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看看成成zx,的的函函数数对对z求求偏偏导导数数得得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 设函数设函数),

4、(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内的某邻域内有定义，对于该邻域内异于有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf ，则称函数，则称函数在在),(00yx有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),(00yx有极有极小值；小值；1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值. .使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点. .定理定理 1 1（必要条件）（必要条件

5、）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件例例如如, 点点)0 , 0(是是函函数数xyz 的的驻驻点点，但但不不是是极极值值点点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定定理

6、理 2 2（充充分分条条件件）设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内连连续续，有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数，注意：注意：例例 4 4 求求由由方方程程yxzyx22222 0104 z确确定定的的函函数数),(yxfz 的的极极值值将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1, 1( P,将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,解解即即边边界界上上的的值值为为零零.,21)21,21( z,21)21,21(

7、z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21 .因为因为01lim22 yxyxyx无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数),(yxfz 在条件在条件0),( yx 下的下的可能极值点，可能极值点，先构造函数先构造函数),(),(),(yxyxfyxF ，其中其中 为某一常数，可由为某一常数，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标.条件极值条

8、件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值例例 7 7 将将正正数数 12分分成成三三个个正正数数zyx,之之和和 使使得得zyxu23 为为最最大大.解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(，.691224623max u则则故故最最大大值值为为多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）四、小结四、小结思考题思考题 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx点均取得点均取得极值， 则极值， 则),(yxf在点在点),(00yx是否也取得极值？是否也取得极值？思考题解答思考