选修含绝对值不等式

1、选修 4-5 含绝对值不等式【 2013年高考会这样考】 1考查含绝对值不等式的解法2考查有关不等式的证明 3利用不等式的性质求最值【复习指导】本讲复习时， 紧紧抓住含绝对值不等式的解法， 以及利用重要不等式对一些简单 的不等式进行证明 该部分的复习以基础知识、 基本方法为主， 不要刻意提高难 度，以课本难度为宜，关键是理解有关内容本质 .基础梳理1含有绝对值的不等式的解法(1) |f(x)|>a(a>0)? f(x)>a 或 f(x)<a；(2) |f(x)|<a(a> 0)? a<f(x)<a；(3) 对形如 |xa|xb|c，|xa|xb|

2、c 的不等式，可利用绝对值不等式的 几何意义求解2含有绝对值的不等式的性质 |a|b|a±b|a|b|.3基本不等式定理 1：设 a，bR，则 a2b22ab.当且仅当 ab 时，等号成立定理 2：如果 a、b 为正数，则 a2b ab，当且仅当 ab 时，等号成立a b c 3定理 3：如果 a、b、c 为正数，则 3 3 abc，当且仅当 abc 时，等号 成立定理 4：(一般形式的算术几何平均值不等式 )如果 a1、a2、 an 为 n 个正数，a1 a2 an n则 n a1a2an，当且仅当 a1a2 an时，等号成立4 柯西不等式(1) 柯西不等式的代数形式： 设 a，b

3、，c，d 为实数， 则(a2b2) ·(c2 d2)(ac bd )2，当且仅当 ad bc 时等号成立nnn(2) 若 ai， bi(iN*)为实数，则 ( ai2)( bi2)( aibi)2，当且仅当i 1 i1i 1bi 0(i 1,2 ， n)或存在一个数 k，使得 ai kbi(i1,2， n) 时，等号成立(3) 柯西不等式的向量形式：设， 为平面上的两个向量，则| |·| |·|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立 5不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等双基自测1不等式 1<|x1|<3的

4、解集为 答案 (4， 2) (0,2)2不等式 |x8|x4|>2的解集为 4，x4，解析 令： f(x)|x8|x4| 2x12，4<x8，4，x>8，当 x4 时， f(x) 4>2；当 4<x8 时，f(x)2x12>2，得 x<5，4<x<5；当 x>8 时，f(x)4>2 不成立故原不等式的解集为： x|x<5答案 x|x<53已知关于 x的不等式 |x1|x|k无解，则实数 k的取值范围是 解析 |x1|x|x1x|1，当k<1 时，不等式 |x1|x|k无解，故 k<1.答案 k<14

5、若不等式 |3x b|<4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3，则 b 的取值范围为解析b4由 |3xb|< 4，得 3 < x<b43，b40 3 <1， 即解得 5<b< 7.b43< 3 4，答案 (5,7)5(2011 ·南京模拟 )如果关于 x 的不等式 |xa|x4|1的解集是全体实数，则 实数a的取值范围是 解析 在数轴上，结合实数绝对值的几何意义可知 a 5 或 a3.答案 (， 5 3， )考向一 含绝对值不等式的解法【例 1】?设函数 f(x) |2x1|x4|.(1) 解不等式 f(x)> 2；(2) 求函数

6、 yf(x)的最小值审题视点 第(1)问：采用分段函数解不等式；第 (2)问：画出函数 f(x)的图象可 求 f(x) 的最小值1 x 5 x < 2 ，解 (1)f(x)|2x1|x 4| 3x3 21x< 4 ， x5 x 4 .1 当 x< 2时，由 f(x) x5>2 得， x< 7.x< 7；15当 2x<4 时，由 f(x) 3x 3> 2，得 x>3，53<x<4； 当 x4 时，由 f(x)x5>2，得 x> 3， x4.故原不等式的解集为x x< 7或x>53 .(2)画出 f(x)的图

7、象如图： f(x)min 2.(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式； 取每个结果的并集， 注意在分段时不 要遗漏区间的端点值(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法 【训练 1】 设函数 f(x) |x 1|xa|.(1)若 a 1，解不等式 f(x)3；(2)如果? xR，f(x)2，求 a 的取值范围解 (1)当 a1 时，f(x)|x1|x1|， 2x ， x< 1，f(x) 2， 1x1，2x， x>1.作出函数 f(x)|x1|x 1|的图象33

8、由图象可知，不等式的解集为 x|x32或x23 .(2)若 a1，f(x) 2|x 1|，不满足题设条件；2x a 1， xa，若 a<1，f(x) 1 a， a<x<1，2x a1 ， x 1，f(x)的最小值为 1a.2xa1，x1，若 a>1，f(x) a1，1<x< a，2x a1 ，xa，f(x)的最小值为 a1.对于? xR，f(x)2的充要条件是 |a1|2，a的取值范围是 (，13，)考向二 不等式的证明【例 2】?证明下列不等式：(1)设 ab>0，求证： 3a32b33a2b2ab2；(2)a24b29c22ab3ac6bc；(3)

9、 a68b6217c62a2b2c2.审题视点 (1)作差比较； (2)综合法； (3)利用柯西不等式证明 (1)3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab) 2b2(ab) (ab)(3a22b2)ab> 0，a b 0,3a2 2b2> 0.(ab)(3a22b2)0.3a(1)作差法应该是证明不等式的常用方法作差法证明不等式的一般步骤是：作差；分解因式；与 0 比较；结论关键是代数式的变形能力(2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明 训练 2】(2010·辽宁)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2b2c2 26 3， abc并确定 a，b，c

10、为何值时，等号成立2 证明 法一 因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得， a2 b2c23(abc)23， 2 2 1 1 1 2222b故 a2b2 c2 23(abc) 9(abc) .3aa b c33b2ab2.(2)a24b22 a2·4b24ab，a2 9c2 2 a又 3(abc)239(abc) 322 276 3，·9c26ac，4b29c22 4b2·9c212bc，2 2 2 2a28b218c24ab6ac12bc，a24b2 9c2 2ab 3ac 6bc.(3)a所以原不等式成立 8b6217c6 3287a6b6c63×

11、;32a2b2c22a2b2c2，a1b1c13(abc)abc1，3，a68b6217c62a2b2c2.1 1 1 2 所以 a bc 2 9(abc)3，当且仅当 abc 时，式和式等号成立22当且仅当 3（abc）239（abc）23时，式等号成立故当且仅当 ab c341时，原不等式等号成立法二 因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得 a2b22ab， b2c22bc，c2 a22ac.所以 a2 b2c2abbcac.1 同理 12 a111 故 a2b2c2 a1 1b c12abbcaca3bb3ca3c6 3.所以原不等式成立当且仅当 ab c 时，式和式等号成立，当且仅

12、当 abc，（ab）2（bc）2 （ac）23 时，式等号成立故当且仅当 a b c 341时，原不等式等号成立考向三 利用基本不等式或柯西不等式求最值【例 3】?已知 a，b，cR，且 a b c1，求 3a1 3b1 3c 1的 最大值审题视点 先将（ 3a1 3b1 3c1）平方后利用基本不等式；还可以利用柯西不等式求解解 法一 利用基本不等式 （ 3a 1 3b1 3c1 ）2 （3a 1） （3b 1） （3c 1） 2 3a1·3b12 3b1·3c12 3a1· 3c1（3a1）（3b1） （3c1）（3a1）（3b1）（3b1）（3c1）（3a1）

13、（3c1） 3（3a1）（3b1）（3c1）18， 3a1 3b1 3c 13 2， （ 3a 1 3b1 3c1） max 3 2.法二 利用柯西不等式 （12 12 12）（ 3a1） 2 （ 3b 1）2 （ 3c1）2（1 ·3a1 1· 3b1 1·3c1)2（ 3a1 3b1 3c1）2 33（ab c）3又 abc1， （ 3a1 3b1 3c1）218， 3a1 3b1 3c 13 2.当且仅当 3a 1 3b 1 3c 1时，等号成立 （ 3a 1 3b1 3c1）max 3 2.(2)若不等式 f(x) 0的解集为 x|x 1 ，求 a的值第(

14、2)问解不等式 |xa|3x0 的解集，结果用 a 表示，再由 x|x1 求 a.解答示范 (1)当 a1时，f(x)3x2可化为|x1|2. 由此可得 x3或 x1.(3分)故不等式 f(x)3x2的解集为x|x3或 x 1(5分)(2)由 f(x)0 得，|xa|3x0.此不等式化为不等式组xa，xa3x0xa，ax3x0，xa，xa，分8a.即 x a4因为 a>0，所以不等式组的解集为 x x a2 .由题设可得 2a 1，故 a2.(10 分)当 2<x<5 时，3<2x7<3.所以3f(x)3.(2)由(1)可知，当 x2时，f(x)x28x15的解集

15、为空集 ；当 2<x<5时，f(x)x2 8x15 的解集为 x|5 3x<5 ；当 x5 时，f(x)x28x15 的解集为 x|5 x6 综上，不等式 f(x)x28x15 的解集为 x|5 3x6.利用基本不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立 【训练 3】 已知 abc1，ma2b2c2，求 m 的最小值解 法一 abc 1， a2b2c22ab2bc2ac1， 又 a2b22ab，a2c22ac，b2c22bc， 2（a2b2c2）2ab2ac2bc， 1 a2b2c2 2ab2bc2

16、ac3（a2b2c2） a2b2c2* 1.31当且仅当 abc 时，取等号， mmin3.法二 利用柯西不等式 （121212）（a2b2c2）（1 ·a1·b1·c）abc1.1a2b2c213，当且仅当 abc 时，等号成立1 mmin 3如何求解含绝对值不等式的综合问题 从近两年的新课标高考试题可以看出， 高考对 不等式选讲 的考查难度要求有 所降低，重点考查含绝对值不等式的解法 （可能含参 ） 或以函数为背景证明不等 式，题型为填空题或解答题【示例】? （本题满分 10分）（2011新·课标全国）设函数 f（x）|xa|3x，其中 a> 0.（1）当 a1 时，求不等式 f（x）3x2的解集；本题综合考查了含绝对值不等式的解法，属于