文科高考数学试卷中的经典数列题透析

1、高考文科数学试卷中的数列题浅析数列，在高中数学教学大纲中只有12 课时，在考纲中也只是要求，理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项；理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题；理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题，等等但是，在历年的高考中，都把数列当作重要的内容来考查，题目有一定的难度、深度和综合程度，在考查演绎推理能力中发挥着越来越重要的作用纵观 2008 年全国各省的高考文科数学试卷，涉及数列的题目大都是“一小一大”，分值17 分左右，

2、约占试卷总分值的1 ，难度大都为中低档，但也有少数省份将数列题作为把关、压轴题，如安徽卷、上海卷的第21 题，重庆卷的9第 22 题等下面，我们仅对其中的一些题目进行简要的分析例1 设 an 是等差数列，若a2=3， a 7 =13，则数列 an 前 8 项的和为（）A 128B 80C 64D 56 （福建卷第 3 题）略解： a2 +a 7 = a 1 +a 8 = 16， an 前 8 项的和为64，故应选 C例2 已知等比数列 an 满足 a1a23， a2a36，则 a7（）A 64B 81C 128D 243（全国卷第7 题）答案： A例3 已知等差数列an 中， a26， a51

3、5，若 bna2 n ，则数列bn的前 5 项和等于（）A 30B 45C 90D 186 （北京卷第7 题）略解： a 5 -a 2 =3d=9， d=3 ， b 1 =a26 ， b 5 =a 10 =30 ， bn 的前 5 项和等于90，故答案是 C例4 记等差数列的前n 项和为 Sn ，若 S24, S420 ，则该数列的公差d（）A 2B 3C 6D 7 （广东卷第4 题）略解： S4S2 S2 4d12,d3,故选 B.例5 在数列 an 中， an4n5， a1a2anan2bn ， nN * ,其中 a,b 为常数， 则 ab（安2徽卷第15 题）答案： 1例6 在数列 an

4、 中， a12 ， an 1anln(11 ) ，则 an（）nA 2ln nB 2(n1)ln nC 2n ln nD 1nln n （江西卷第5 题）答案： A例7 设数列an 中， a12,an1ann1，则通项 an_ （四川卷第16 题）此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住an 1ann1中 an 1 , an 系数相同是找到方法的突破口略解： a12, an 1ann1 anan 1n11 ， an 1an 2n21， an 2 an3n31，a3 a22 1，a2a1 1 1，a12 1 1将以上各式相加，得ann1n2n 321nn1 nn1n n11，故应填n(

5、n 1)122+12例 8 若 ( x+1nx4 项的系数为 ()的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中A 62xB 7C 8D 9 ( 重庆卷第 10题)答案： B使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用 为主，如，例 4以前的例题例 5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例 6、例 7 考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8 则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用重庆卷第1 题，浙江卷第 4 题，陕西卷第 4

6、 题，天津卷第4 题，上海卷第14 题，全国卷第 19 题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习例 9 已知 an是正数组成的数列，a1=1，且点（an , an1 ）（ nN* ）在函数 y=x2+1 的图象上 . ( )求数列 an的通项公式； ( )若数列 bn满足 b1=1， bn+1=bn+ 2an ，求证： bn·bn+2 b2n+1. （福建卷第20 题）略解：（）由已知，得an+1-an=1 ，又 a1=1,所以数列 an是以1 为首项，公差为1 的等差数列故an=1+( n-1)× 1=n.( ) 由（）知，从而bn+1-bn=2n， bn=(bn-b

7、n-1 )+(bn-1 -bn-2 )+ +（ b2-b1） +b1=2n-1+2n-2+ +2+1=2n-1 . bn?an=nbn+2-b n21 =(2 n-1)(2 n+2-1)-(2 n+ 1-1) 2= -2 n 0, bn· bn+2 b n21 对于第（）小题，我们也可以作如下的证明： b2=1,bn· bn+2- b n21 =(bn+1-2n)( bn+1+2n+1)- b n21 =2n+1· bn+1-2n· bn+1 -2n· 2n+1 2n（ bn+1-2n+1） =2n（ bn+2 n -2n+1） =2nnnn2

8、（ bn-2）=2（b1 -2）=-2 <0， bn-bn+2<b n+1.例 10在数列 an中， a11，an2annan证明：数列 bn是等差数列；（）求数列 an12 （）设 bn2n1的前 n 项和 Sn （全国卷第19 题）略解：（） bn 1bn= an1an= an 12an= 2n =1，则bn为等差数列， b11， bnn ， ann2n1 2n2n 12n2n（） Sn1 202 21( n1) 2n2n 2n 1 ，2Sn1 212 22(n1) 2n1n 2n 两式相减，得Sn n 2n1 20212n1n 2n2n1 = (n 1)2n1对于例10 第（

9、）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数可以用迭代法，但不可由b2-b1=1， b 3 -b 2 =1 等有限个的验证归纳得到bn为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误第（）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前n 项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示例 9、例 10 是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第18 题，江苏卷第19 题，辽宁卷第 20 题等，其共同特征就是以等差

10、数列或等比数列为依托构造新的数列主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主例 11等 差 数 列 a 的 各 项 均 为 正 数 ， a3 ， 前n项 和 为S， b 为等比数列,b 1 ， 且n1nn1b2 S264, b3S3960 ( )求 an 与 bn ； ( )求和：111（江西卷第 19 题）S1S2Sn略解： ( ) 设 an 的公差为d ， bn 的公比

11、为q ，依题意有S2b2(6d )q 64,d2,S3b3(93d) q2解之，得q8;或960.d6 ,5( 舍去，为什么？) 故 an3 2(n1) 2n1,bn 8n 1 q40 .3（）Sn35n， n n11111111 (11111111)S1S2Sn132435n(n 2)232435n n 21(1 111 )32n 322n 1n 24 2( n 1)(n2)“裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前 n 项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他内容相综合，以体现出对解决综合问题的考

12、查力度数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用例 12 设数列 an的前 n 项和为 Sn2an2n ，（）求 a1, a4 ；（）证明：an 12an是等比数列；（）求an 的通项公式 （四川卷第21 题）略解：（） a1S1,2 a1S12 ，所以 a12, S12 由 2anSn2n 知，2an 1Sn 12n 1an 1Sn2n 1得， an 1 Sn 2n 1 a2S1222 226, S28 ， a3S2238 2316, S324 ， a4S32440 （） 由题设和式知，an 12anSn2n 1Sn 2n2n 12n2n ，an 12

13、an 是首项为2，公比为 2 的等比数列（）anan2an 12 an 12an 22n 2 a22a12n 1 a1n12n 1此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等推移脚标，两式相减是解决含有Sn的递推公式的重要手段，使其转化为不含Sn 的递推公式，从而有针对性地解决问题在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向例 13 数列 an 满足 a10, a22, an 2 (1cos2n )an4sin 2 n , n1,2,3,（, I ）求 a3 ,a4 ，并求数列

14、 an22的通项公式；（ II ）设 Sk a1a3a2 k 1 ， Tka2a4a2 k ， Wk2Sk ( kN ) ，求使 Wk 1 的所有 k2 Tk的值，并说明理由 （湖南卷第20 题）略解：（ I）a3(1cos2)a14sin 22a144,a4(1 cos2)a24sin 22a24,一般地,当2n = 2k1(kN )时，a2 k 11cos2 (2 k1)a2k 1 4sin 2 (2 k1)a2 k 14, 即 a2k 1 a2 k 14.22所以数列a2k1 是首项为0、公差为4 的 等 差 数 列 ， 因 此 a2 k 14(k1). 当 n = 2k(kN)时，a2

15、 k 2(1cos22k )a2k4sin 22k2a2k , 所以数列a2 k 是首项为2、公比为2 的等比数列，因此a2 k2k.故数22列 an的通项公式为 an2(n 1), n2k1(kN),n22 , n2k (kN ).（ II ）由（ I）知，Sk a1 a3a2k 1=0 44( k 1) 2k (k 1),Tka2 a4a2 k2 222k2k 12,Wk2Skk(k 1) .2 Tk2k1于是， W0, W1, W33,W43, W55,W615.1222416(k1)kk(k1)k (3k)下面证明:当 k 6时 ，Wk1.事实上,当k 6 时 ，即Wk 1Wk2k2k 12k0,Wk 1Wk . 又 W61,所以当 k6 时， Wk1. 故满足 Wk1的所有 k 的值为 3,4,5.例 12、例 13 代表了另一种重要的题型，从比较抽象的数列入手，给定数列的一些性质，要求考生进行严格的逻辑推证，找到数列的通项公式，或证明数列的其他一些性质这些试题对恒等证明能力提出了很高的要求，要求考生首先明确变