数列通项及用归纳法证明不等式

1、精品资料欢迎下载数列通项及用归纳法证明不等式例一、在 1 与 2 间插入 n 个正数 a1, a2 , a3 , an ，使这 n+2个数成等比数列；又在1、 2 间插入 n 个正数b1 ,b2 ,b3 , bn ，使这 n+2 个数成等差数列记 Ana1 a2 a3 an , Bnb1 b2bn . 求：（ 1）数列 An 和 Bn 的通项；（ 2）当 n 7 时，比较 A n 与 B n 的大小，并证明你的结论分析： 考查等差数列，等比数列的知识，以及观察、分析、归纳的能力和数学归纳法解：（ 1）1, a1, a2 , a3 , , an ,2 成等比数列，a1ana2 an 1a3 an

2、 2ak an k 112 2,nAn2(a1an )(a2an 1)( a3an 2 ) ( an 1a2 )(an a1 )(1 2)n2n , An.221, b1 ,b2, b3 , bn ,2 成等差数列，b1bn123,Bn(b1bn )n3 n.22n3 n.所以数列 An 的通项 An2 2 ，数列 Bn 的通项 Bn2n3 n,An22n ,Bn29 n2, 要比较 An 与 Bn 的大小，只需比较2与Bn2（ 2）An2 2 , BnAn的大小，也就是比24较当 n7 时， 2n 与9 n2的大小4当 n=7 时， 2n128, 9 n2949110 1 ，知 2n9 n2

3、.449 n244经验证， n=8,n=9 时，均有2n成立，猜想，当n7 时有 2n9 n2 ,下面用数学归纳法证明：9 n244（） n=7 时已证 2n49 k 2（）假设n k (k 7)时不等式成立，即2k， 好 么9 k 29 ( k9 (k42k 12 2k21) 2k 22k11)2k (k2)1.444k7,k (k2)35,k (k2)1 0,9 ( k 1)2k (k2)19 (k 1)2 , 故2k 19 , (k 1)2 即444n k 1 时不等式也成立根据（）和（）当n 7 时， 2n9 n2 成立，即 An2Bn2 , An Bn .4说明： 开放题求解要注意观

4、察题目的特点，可以先通过特殊数尝试可能的结果，然后总结归纳出一般规律，利用归纳法证明结论精品资料欢迎下载猜想数列通项、利用归纳法证明不等式例一、 设数列 an 满足 an 1an2na n 1,n1,2,3,（ 1）当 a12 时，求 a2 ,a3, a4 ，并由此猜想出an 的一个通项公式；（ 2）当 a13时，证明对所有的n1 ，有（） ann 2;（）1111 .1a11 a21 an2分析： 本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力解：（ 1）由 a12 得 a2a12a113,由a23, 得 a3a22a14,22由 a34 ，得 a4a32

5、3a31 5.由此猜想 an 的一个通项公式：ann1(n 1).（ 2）（）用数学归纳法证明：当 n1, a1 312，不等式成立假设当 n=k 时不等式成立，即akk2 ，那么， ak 1ak ( ak k)1 ( k2)(k2 k) 1k3,也就是说，当 nk1 时， ak1(k1) 2.根据和，对于所有n 1，有 ann2.（）由an 1an (ann) 1及（） ，对k 2，有kkak 1(ak 1k 1) 1 ak 1 (k 1 2 k 1) 1 2ak 11, ak2k 1 a2k 22 1 2k 1(a 1) 1.11于是1111,k2,ak1a12k1n111k 1 1 ak

6、1 a11 a1n11k 2 2k11 a1n1221 .k 1 2k 11 a11 3 2说明：证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，在由 n=k 成立，推导 n=k+1 不等式也成立时，精品资料欢迎下载过去讲的证明不等式的方法再次都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考证与原不等式的等价的命题数列与归纳法的综合题例一、设 a0 为常数，且an3n 12an 1 (nN )（）证明对任意n1, an1 3n( 1)n 1 2n ( 1)n 2n a0;5（）假设对任意n1 有 anan 1 ，求 a0 的取值范围分析： 本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查

7、数学归纳法，考考灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力证明：（ ）证法一： （ 1）当 n1 时，由已知 a112a0 ，等式成立（）假设当 nk (k1) 等式成立，即 ak1 3k(1) k 1 2k( 1) k aka0 .2 k5那么kkk1kkk 1ak 132ak3 3(1)2 (1)2 .5a1 3k 1( 1) k 2k 1( 1) k 1 a0 .5也就是说，当 nk 1时，等式也成立根据（）和（）可知证法二：如果设an3n2(an13n 1 ).用 an3n12an 1 代入，可解出 a1.5所以 an3n 是公比的2，首项为 a13的等比数列55an3n(1 2a03)

8、( 2) n 1( n N ).55即 an3n( 1)n 2 2n( 1) n 2n a0 .5（）解法一：由an 通项公式anan 12 3n 1( 1)n 13 2n 1( 1) n 3 2n 1 a0 .5anan 1(nN )（）当 n2k1,k1,2, 时，式即为 (1)2 k 2 (5a0 1) ( 3)2k 3 .1 ( 3 )2 k 31.2即为 a05251(3) 111 .式对 k1,2,都成立，有 a05253精品资料欢迎下载（）当 n2k, K1,2,时， (1)2k1 (5a0 1)( 3) 2k 2 .1( 3)2 k 21.2即为 a05251(3)2 1 21式对 k1,2,都成立，有 a00.525综上，式对任意nN成立，有 0a01 .3故 a0 的取值范围为 ( 0, 1 ) 3解法二：如果anan 1( nN ) 成立，特别取 n1,2 有 a1a013a0 0.a2 a16a00.因此0 a01 .3下面证明当 0a01an 10.时，对任意 n N ，有 an3由 an 通项公式5(anan 1 )2k1, k1