幂函数导学案

1、学习必备欢迎下载§2.3幂函数学习目标1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质；2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.学习过程任务一、课前准备（预习教材P77 P79，找出疑惑之处）复习 1：求证 yx3 在 R 上为奇函数且为增函数.复习 2：1992 年底世界人口达到54.8 亿，若人口年平均增长率为出：（ 1） 1993 年底、 1994 年底、 2000 年底世界人口数；（ 2） 2008 年底的世界人口数y 与 x 的函数解析式x%，2008 年底世界人口数为y（亿），写任务二、新课导学探究任务一 ：幂函数的概念问题：分析以下五个函数，它们有什么共

2、同特征？（ 1）边长为 a 的正方形面积Sa2 ， S 是 a 的函数；1（ 2）面积为 S 的正方形边长 a S2 ， a 是 S 的函数；（ 3）边长为 a 的立方体体积 V a3 ， V 是 a 的函数；（ 4）某人 ts 内骑车行进了 1km ，则他骑车的平均速度 v t1是 t 的函数；km / s，这里 v（ 5）购买每本 1 元的练习本w 本，则需支付 p w元，这里p 是 w 的函数 .新知1、幂函数的概念 ：一般地，形如 yx(a R) 的函数称为 幂函数 ，其中为常数 .试一试 ：判断下列函数哪些是幂函数 . y1 ； y 2x2 ； y x3x ； y 1 .x探究任务二

3、 ：幂函数的图象与性质1213问题：作出下列函数的图象： （ 1）yx ；（ 2） yx2；（ 3） yx ；（4） yx ；（ 5） yx 学习必备欢迎下载从图象分析出幂函数所具有的性质.观察图象，总结填写下表：常见幂函数的性质说明：1 除函数 yx2 外，其余四个幂函数具有奇偶性在第一象限内，函数 yx 1的图像向上与 y 轴无限接近，我们称x 轴 y 轴为渐近线结合以上特殊幂函数的图像得出一般幂函数的性质（ 1）所有幂函数在 (0,) 上都有定义，并且图像都通过点 (1,1)0 ，则幂函数的图像都过原点，并且（ 2）若在区间 0,) 上为增函数（ 3）若0, 则幂函数的图像在区间 (0,

4、) 上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图像在 y 轴右方无限地逼近y 轴，当 x 趋向于时，图像在 x 轴上方无限地逼近x 轴（ 4）当 为奇数时， 幂函数为奇函数； 当为偶数时，幂函数为偶函数1例 1、已知幂函数 y ( m22m 2) xm2 12n 3 ，求 m, n 的值例 2、已知函数 f ( x) (m22m)xm2 m 1 , m为何值时， f ( x) 是：（ 1）正比例函数（ 2）反比例函数（3）二次函数（ 4）幂函数学习必备欢迎下载例 3 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.3121（ 1） yx 2 ；（ 2） yx 3 ；（

5、3） yx 3 ；（ 4） yx 2 ；（ 5） yx 3 ；（ 6） y x 2 2、幂函数的定义域和值域所有幂函数y x的定义域和值域的求法分为五种情况（ 1）0 时， yx0 的定义域为x x 0 ，值域为 1（ 2） 为正整数时， y x（ 3） 为负整数时， y x的定义域为 R ，为偶数时，值域为0,) ,为奇数时，值域为R的定义域为x x0 ，为偶数时，值域为(0,) ，为奇数时，值域为y y0（ 4）当为正分数n 时，化为 ym xn ，根据 m, n 的奇偶性求解m（ 5）当为负分数ny1时，化为，根据 m, n 的的奇偶性求解mm xn2例 4、（ 1）函数 yx 3 的定

6、义域是，值域是；2（ 2）函数 yx 3 的定义域是，值域是；3练 1（ 1）函数 yx 2的定义域是，值域是；3（ 2）函数 yx 2的定义域是，值域是；x 24524练 2、幂函数 y， y x5， y x4， yx3， yx 5，其中定义域为R 的是（）A B CD 1例 5设 1,1，2， 3，则使函数y x 的定义域为 R，且为奇函数的所有 值为 ()A 1,3B 1,1C 1,3D 1,1,3学习必备欢迎下载3、 幂函数的单调性和奇偶性（ 1）幂函数的单调性 ：在区间 (0,) 上，当0 时， y x是增函数；当0时， yx 是减函数（ 2）幂函数的奇偶性：令qN ）（其中 p 、

7、 q 互质， p 、 qppp当 q 为奇数，则 yx q 的奇偶性取决于p 是奇数还是偶数 .当 p 是奇数时，则y x q是奇函数；当pp 是偶数时，则yx q 是偶函数p当 q 为偶数，则p 必是奇数，此时yx q 既不是奇函数，也不是偶函数例 6、若当 x (0,) 时，幂函数 y(m2m1) x 5m 3 为减函数，则实数m 的值为（）A m 2B m1C m1或 m 2D m152例 7、已知函数f ( x) x 2 m2m 3( m Z) 为偶函数，且 f (3) f (5)（ 1）求 m 的值，并确定 f(x) 的解析式（ 2）若 g( x)log a ( f ( x)ax)(

8、 a 0, a 1) 在 2,3 上为增函数，求实数a 的取值范围例 8、已知幂函数 f ( x)xm2 2 m 3 (mZ ) 为偶函数，且在区间 (0,) 上市减函数（ 1）求函数 f ( x) 的解析式（ 2）讨论 F (x) af ( x)b的奇偶性xf (x)练 3、下列说法正确的是（）1x3 是奇函数A yx2 是奇函数B y1C yx 2 是非奇非偶函数D yx3是非奇非偶函数学习必备欢迎下载构造幂函数比较两个幂值得大小比较两个幂值的大小，关键是构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同而底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函

9、数、指数函数的单调性或借助于函数的图像来比较例 9、比较下列各组数大小：1.51.52211（ 2） (2 a2 ) 32 3（3） 1.1 20.9 2（ 1） ( a 1)a (a 0)练 4、比较下列各组数大小：7(1)87（1）( 2) 3( 2. 53)（2）( 8) 82239（ 3） (4.1)5 ， (3.8) 3 ， ( 1.9)5练5、若0a b1，则下列不等式成立的是（）1a) bA (1a) b(1B (1a) a(1b) ba)bba)ab)bC (1(1a) 2D (1(1任务三、课后作业第一题、选择题1在函数 y 2x3， y x2，yx2x， y x0 中，幂函

10、数有 ()A1个B2 个C3个D4 个解析： 选 B. y x2 与 y x0 是幂函数2 若幂函数 f ( x)x 在 (0,) 上是增函数，则（） .A >0B<0C=0D不能确定2m22m 3是幂函数，且在x (0， )上是减函数，则实数m ()3函数 f(x) (m m 1)xA 2B 3C 4D 532 4使 (3 2x x ) 4有意义的x 的取值范围是()A RC 3 x1解析： 选 C.(3 2x x2) 34 4B x 1 且 x 3D x 3 或 x 11，2 332x x2要使上式有意义，需3 2x x 0，解析： 选 A. m2 m 1 1，得 m 1 或

11、m 2，再把 m 1 和 m 2 分别代入 m22m 3 0，经检验得 m 2.115. 若 a 1.12,b0.9 2，那么下列不等式成立的是（） .A a <l< bB 1< a < b学习必备欢迎下载Cb <l<aD 1< b <a46函数yx3 的图象是（）.A.B.C.D.7函数 y (x 4)2 的递减区间是 ()A (， 4)B(4， )C (4， )D (， 4)解析： 选 A. y (x 4)2 开口向上，关于x 4 对称，在 ( ， 4)递减8给出四个说法：n当 n 0 时， y x 的图象是一个点；幂函数的图象都经过点(0,

12、0)， (1,1)；幂函数y xn 在第一象限为减函数，则其中正确的说法个数是()A 1B2C3n0.D 4解析： 选 B.显然错误；中如y x 1的图象就不过点 (0,0)根据幂函数的图象可知、正确，故 2选 B.第二题、填空题9. 已知幂函数yf ( x) 的图象过点(2,2) ，则它的解析式为.10比较下列两组数的大小：11（ 1） 1.32 _1.5 2 ； （2） 5.1 2 _ 5.09 2 .11已知 2.4 2.5，则 的取值范围是 _解析： 0 2.42.5，而 2.4 2.5，y x 在 (0， )为减函数答案： 0第三题、解答题212求函数 y (x 1)3的单调区间解：

13、 y (x 1)21123，定义域为 x 1.令 tx 1，则 yt3， t 0为偶函数2x 1 3 3x 1222因为 0，所以 y t3在(0 ， )上单调递减，在 ( ， 0)上单调递增又t x 1 单调递增，32故 y (x 1)3 在(1 ， )上单调递减，在( ， 1)上单调递增1113已知 (m 4) 2 (3 2m) 2，求 m 的取值范围1解： y x2 的定义域为 (0， )，且为减函数m 40原不等式化为3 2m0，m 43 2m学习必备欢迎下载1 3解得 3 m 2.1 3m 的取值范围是 ( 3， 2)14已知幂函数 y xm22m 3( m Z)在 (0， )上是减

14、函数，求 y 的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性解： 由幂函数的性质可知2m 2m 3 0? (m 1)(m3) 0? 3m1，当 m 0 或 m 2 时， y x 3，定义域是 ( ，0)(0， )3 0，y x3 在 ( ， 0)和 (0， ) 上都是减函数，33y x3 是奇函数当 m 1 时， y x4，定义域是 ( ， 0)(0， )4114f( x) ( x) x4 x4 x f(x)，函数 y x4 是偶函数4 0，yx4 在 (0， )上是减函数，4 yx 4 在( ， 0) 上是增函数任务四、巩固训练第一题、选择题21已知幂函数 f(x) 的图象经过点 (2， 2)，则

15、f(4) 的值为 ()11A 16B.16C.2D 2nn21解析： 选 C.设 f(x) x，则有2 2 ，解得 n2，111即 f(x) x2，所以 f(4)42 .22下列幂函数中，定义域为 x|x 0 的是 (1)323A y x3B y x2C y x 3D y x 42313解析： 选 D.A. y x33x2， xR ；B. y x2 x3， x 0；C.yx31 ， x 0；D. y x41， x 0.343xx13函数 yx3 和 yx3 图象满足（）A 关于原点对称B 关于 x 轴对称C关于 y 轴对称D 关于直线 yx 对称4函数 yx2在区间 1,2 上的最大值是（）A

16、 12B1C 4D44学习必备欢迎下载1212，T 115设 T13， T 33，则下列关系式正确的是()22532A T1<T 2<T 3B T3<T 1<T 2CT2<T 3<T 1D T2<T 1<T 3116. 幂函数 y x 2 , y x 1 , y x 3, yx 2在第一象限内的图象依次是图中的曲线（）A.C2 , C1 ,C 3 ,C 4B.C4 ,C1, C3, C2C. C ,C ,C,CD.C, C4, C2, C3214137. 下列函数在,0上为减函数的是（）1A. y x3B. y x2C. y x3D. y x 2

17、答案：8幂函数f(x) x满足 x 1 时 f(x) 1，则 满足条件 ()A 1B 0 1C 0D 0 且 1解析： 选 A. 当 x 1 时 f(x) 1，即 f( x) f(1)， f(x) x为增函数，且 1.23x2，其定义域为解析： 选 D.y x3R，值域为 0， )，故定义域与值域不同9. 当x （ 1 ， ） 时 ， 函 数 ） y xa 的 图 象 恒 在 直 线y x 的 下 方 ， 则 a 的 取 值 范 围 是（A ）A、 a1B、 0a 1C、 a0D、 a0nQ 的图象上，则下列结论中不能成立的是( B )10若点 A a, b 在幂函数 y x na0a0a0a

18、0A 0B b0D0bb0b第二题、填空题11函数 f ( x) (1 x)01(1 x) 2的定义域为 _学习必备欢迎下载1 x0解析：，x<1.1 x0答案 ：(， 1)1n1n12已知 n 2， 1,0,1,2,3，若>，则 n_ 1,2_.2313 y xa2 4a9 是偶函数，且在 (0,) 是减函数，则整数 a 的值是5.14设 x (0,1)时， y xp(p R )的图象在直线y x 的上方，则 p 的取值范围是 _解析： 结合幂函数的图象性质可知p<1.答案 ：p<115已知函数 f(x) x(0 1),对于下列命题： 若 x 1,则 f(x) 1；

19、若 0 x 1,则 0 f(x) 1; 若 f(x 1) f(x 2), 则 x1 x2； 若 0 x1 x2,则 f (x1 )f (x2 ) .x1x2其中正确的命题序号是_ _.第三题、解答题16已知幂函数1 p2p3) 上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p 的值，f（ x） x 22 （ p Z）在 (0,并写出相应的函数f（ x）17函数 f(x) (m2 m 5)xm 1 是幂函数，且当 x(0， )时， f(x) 是增函数，试确定m 的值解： 根据幂函数的定义得：m2m 5 1，解得 m3或 m 2，当 m 3 时， f(x) x2 在(0， )上是增函数；当 m 2时， f

20、(x)x3 在 (0， )上是减函数，不符合要求故m 3.18已知幂函数2m22m 3y (m m1)x，当 x (0 ， ) 时为减函数，则该幂函数的解析式是什么？奇偶性如何？单调性如何？2解：由于 y ( m2 m 1)xm 2m 3 为幂函数，所以 m2 m 1 1，解得 m 2，或 m 1. 当 m 2 时， m2 2m 3 3， y x 3，在 (0， )上为减函数；当 m 1 时， m2 2m3 0， y x0 1(x0)在 (0， )上为常函数，不合题意，舍去 3故所求幂函数为 y x .这个函数是奇函数，其定义域是 ( ， 0) (0， )，根据函数在 x (0， )上为减函数，推知函数在 ( ， 0)上也为减函数。19已知点 ( 2, 2) 在幂函数 f ( x) 的图象上，点 (2,1) 在幂函数 g ( x) 的图象上，当x 为何值时：2(1) f ( x) g(x) ； (2) f (x) g( x) ；( 3 )fx( ) g x()学习必备欢迎下载解 : 根据幂函数的概念， 利用待定系数法求出幂函数的解析式， 再结合图象确定满足条件的 x 的取值范围设 f(x) x ，则 ( 2) 2，得 2，所以 f(x)x2；同理可得 g(x) x 1.在同一直角坐标系内作出函数f (