2020年河南省郑州市高考数学一模试卷答案解析

1、2020年河南省郑州市高考数学一模试卷答案解析（理科）一.选择题（共12题，每题5分）1 .（ 2020?关 B 州一模）设集合 A=xCN|x|w 2 ,B=y|y=1-x2,则 APB 的子集个数为（）A. 2B .4C. 8D. 16【解答】 解：. A=xCN| -2W xW2 = 0, 1, 2, B=y|y< 1,，AnB=0, 1,. A n B的子集个数为22=4个.故选：B.2. （2020?郑州一模）若复数 z满足z=13 （其中i为虚数单位），则z在复平面的对应点 1在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】 解：z=4=（L",尸）,

2、 .z在复平面的对应点的坐标为（1, -1）,在第四象限.故选：D .3. （2017?新课标出）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.0 I 2 3 1 3 6 7 S 9 1011 12 1 1 3 4 5 5 7 3 9 1011 1Z 1 2 3 4 3 6 7 3 9 10 11 12264年现15年2016年根据该折线图，下列结论错误的是（）A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7, 8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对

3、于 7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得:月接待游客量逐月有增有减，故A错误;年接待游客量逐年增加，故 B正确;各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月，故C正确;各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故 D正确;4. （2020?关B州一模）定义在 R上的函数f（K）=（占JJ£-Jl-2为偶函数，&=仪1口g2），），c= f (m),则()B . a< c< bC. avbvcD. bvav c【解答】解：定义在R上的函数£

4、;（工）=则 f ( x) = f (x),即i IT合)-2;所以m= 0,所以f (x)=-2,且在0, +8）上是单调减函数;又 lOg2-= -1,0Vm= 0;所以f （lvf (尸)Vf (0),即 av bv c.5. （2020?咸阳二模）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（185C. 10D.325【解答】解：根据题意，设阴影部分的面积为S,则正方形的面积为 9,向正方形内随机

5、投掷 2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分内，则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P=型L=；2000 5而P=二，则=，99 5解可得，S=回； 旧故选：B.6. （2020?郑州一模）已知向量，E的夹角为多，且而=1, |£-E|=右，则而=（）A. 1B. V2C. V3D. 2【解答】解：由|21-石=6,得摩4|2 =（2；4）2=鼐|2-委却后产=&又向量我，b的夹角为60° ,且|a|= 1,4X12 4X IX |b|eos60Q H-lb |2，整理得：E | 2-2 |1|+1=0，解得 |b|= 1 故选：A.7. （2020

6、?郑州一模）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题，松长 三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程 序框图，若输入的a, b分别为3, 1,则输出的n等于（）D. 2【解答】解：模拟程序的运行，可得a= 3, b= 1n= 1/b=2故选：B.2十18. （2020?关B州一模）函数 七口叁戈的图象大致是（2X-1A .B.不满足条件a<b,执行循环体,此时，满足条件a<b,退出循环，输出n的值为4.A . 5B. 4C.3n= 2,27 .a=, b = 44不满足条件a<b,执行循环体,不满足条件a<b,执行循环体,n

7、= 3,Q1 a=, b=8 8n= 4,b= 16a243a =a-a制="1b=2b结束y一工【解答】解：由题意，f ( - x) =Z_iL?cos ( - x) = -f (x),函数是奇函数，排除 A,r -IB；x-0+, f (x) 一+8,排除 d.9. (2020?关B州一模)第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种()A. 60B. 90C. 120D. 150【解答】解：根据题意，分2步进行分析A2D.【解答】解:抛物线C: y2=2x的焦点为

8、F , 0),准线为 l: x=-,设 M ( x1, y1 ),则将5项工作分成3组，有10+15 = 25种分组方法;、将分好的三组全排列，对应 3名志愿者，有 A33=6种情况;所以不同的安排方式则有 25X 6 = 150种,10. (2020?关B州一模)已知抛物线 y2=2x的焦点为F,准线为l, P是l上一点，直线 PF与抛物线交于M, N两点，若FF=WMF,则|MN|=()C. 2N (x2, y2), M, N到准线的距离分别为 dM, dN,由抛物线的定义可知 |MF|=dM = xi+-L, |NF|= dN=X2+，于是 |MN|= |MF|+|NF|= X1+X2+

9、I .直线MN的斜率为土 V3,，0),，直线PF的方程为y=±(x-将y=士煦(x-),代入方程y2=2x,并化简得12x2- 20x+3= 0, X1+ X2 =,于是 |MN|= |MF|+|NF|=xi+X2+1 =三+1 =故选：B.11. (2020?郑州一模)已知三棱锥 P-ABC内接于球 O, PAL平面ABC, ABC为等边三角形，且边长为右球O的表面积为16兀，则直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为dH10【解答】解：设三棱锥外接球的球心为O,半径为 R,则S球=4#2=16兀，故R=2,3, MC=1, 2设M为 ABC的中心，N为AB的中点，则 OM，平面

10、ABC,且OC = 2,由 ABC为等边三角形，且边长为 心，求得NC =. PA，平面 ABC,故 PA = 2OM = 273,且 PAXCN, PN = 等, 又 CNXAB, ABA PA = A,.CNL平面 PAB,则 PC = h/15,3_sin/ NPC =皿1=二PC 715 10故选：D.12. (2020?关B州一模)f (x)=J2x+l|, x<l1口g2(工-1),工1=f (g (x) - m有9个零点，则m的取值范围是()A. (0, AB. (0, 3)C. (1, y)D,得，3)【解答解：令 t= g (x) ,g(x) =S+m+2,g '

11、;(x) =-=-4442415 ,、=式其-2)，当xC (- 8, 0) , ( 2, +8)时，函数g (x)递增，当xC (0, 2)时，函数g (x)递减,函数g (x)有极大值g (0) = m+2,极小值g (2) = m- 3,若y = f (g (x) - m有9个零点，画出图象如下：观察函数 y=f (t)与y=m的交点，3个交点，故不成立,当 m=。时，ti= -y, t2=2, g (0) = 2, g (2) = - 3, g (x) = ti,有三个解，g (x)=2有2个解，共5个解不成立;当m>3时，显然不成立；故要使函数有9个零点，0V mv3,根据图象

12、，每个 y = t最多与y=g (x)有三个交点, 要有9个交点，只能每个t都要有3个交点，当 0vmv3, y=f (t)与 y=m 的交点，一2<七,<2，<1, 2Vt3<9, 1222g (0) = m+2c (2, 5), g =m-3C(- 3, 0),当 2Vt3<m+2 时，由 1口吕2 (t 3Thm t 产即 2v2m+1 vm+2 时，得 0vmv1 时，2Vt3<3 时(x) = t3,有三个解，g (x) =t2,要有三个解 m3v一/，即 m<y,g (x) = ti 有三个解 m3v 2,即 mvl,综上，m (0, 1)

13、,故选：A.二.填空题(共4题，每题5分)13. (2020?关B州一模)曲线 y=xex- 2x2+1在点(0, 1)处的切线方程为y=x+1 .【解答】解：求导函数可得，v' = ( 1+x) ex- 4x当 x=0 时，y' = 1，曲线y=xex- 2x2+1在点(0, 1)处的切线方程为 y- 1 = x,即y=x+1.故答案为：y=x+1.g14. （2019?新课标出）记Sn为等差数列an的前n项和.若ai w 0, a2= 3ai,贝=【解答】解：设等差数列an的公差为d,则d= 2ai,故答案为：4.15. （2020?关B州一模）已知双曲线C:=1 （a&g

14、t;0, b>0）的右顶点为 A,以A为圆心，b为半径做圆，圆A与双曲线C的一条渐近线相交于 M , N两点，若而旦而（O为坐标原点）,则双曲线C的离心率为叱型一 5 一【解答】解:22双曲线c： £_匚2 ,2 a b=1 (a>0, b>0)的右顶点为 A (a, 0),以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于 M、N两点.则点A到渐近线bx - ay = 0的距离为|AB|= . |OB|=5|BN| =. r= b, . |BN|=5 b2c |OA|=a,a225 b 4c.,a2c2=25b4+a2b2,a2 (c2 - b2) = 2

15、5b4, .a2=5b2=5c2-5a2, 即 6a2 = 5c2,即,r,a= . 7c, d0一、屈故答案为：返L5、，一.，、一一、,* TZj、，、16. (2020?郑州一模)已知数列an满足：对任意nCN均有an+1 = pan+2P - 2 (p为常数，pW0 且 pwi),若 a2, 33, a4, a5C-18, -6, -2,6, 11, 30,则 ai 的所有可能取值 的集合是 - 2, 0, - 66.【解答】解：由题意，对任意 nCN*,均有an+1+2=p (an+2),当 an+2= 0,即 a1+2 = 0,即 a1 = 2 时，a2 = a3= a4= a5=

16、 2.当 an+2W0 时，构造数列bn:令 bn=an+2,则 bn+1=pbn.故数列bn是一个以p为公比的等比数列. a2, a3, a4, a5C T8, - 6, -2, 6, 11, 30, .b2, b3, b4, b5CT6, -4, 0, 8, 13, 32.当 b2= 4, b3=8, b4= - 16, b5= 32 时，p = - 2.此时， b1 = 2, a1 = b1 2 = 2 2= 0;p -2当 b2 = 32, b3= - 16, b4 = 8, b5=-4 时，p=一卷.32_._此时，b1 = i =64, a1=b1 2= 642= - 66.P 2

17、a1的所有可能取值的集合是 - 2, 0, - 66.故答案为：-2, 0, - 66.三.解答题(17-21必考题，共计60分，22-23选考题，共计10分)17. (2020?关B州一模)已知 ABC外接圆半径为 R,其内角A, B, C的对边长分别为a, b, c,设 2R (sin2A sin2B) = ( a-c) sinC.(I )求角B;(n )若 b= 12, c= 8,求 sinA 的值.【解答】 解：(I) .1 2R (sin2A sin2B) = ( a c) sinC, .2R?2R (sin2A-sin2B) = (a c) sinC?2R,即：a2+c2-b2=a

18、c,因为 0V B v Tt,所以&义,(II)若 b= 12, c= 8,由正弦定理,由b>c,故/ C为锐角，,web©如母6亭44有国产5&$ S O18. (2020?关B州一模)已知三棱锥 M ABC 中，MA=MB = MC = AC = 2V, AB=BC=2,。为AC的中点，点N在线BC上，且丽筋.(1)证明：BOL平面AMC;(2)求二面角 N - AM - C的正弦值.【解答】解：(1)如图所示:连接OM, AC, OM相交于O,在 abc 中：AB=BC=2f 叱4叵 则/ABC=g（T ,obxac.在 amac 中：KA=HC=AC=2

19、V2,。为 AC 的中点，则 omac,且 OH*.在MOB 中：演二技 OH三在,MB=2加,满足:BO2+OM2=MB2根据勾股定理逆定理得到 OB，OM ,故OBL平面AMC ;（2）因为OB, OC, OM两两垂直，建立空间直角坐标系O-xyz如图所示.因为 HA=HB=HC =AC=2/, ab=bc = 2则0），o,% c。瓜 ©J3 o,近），由瓦所以,nN*,o）设 平 面 MAN 的 法 向 量 为 三=（右V，z） ， 则阿二除孚0）3,2多率=0,am 片（Ch V2 »）（心 力令尸右，得靛（-5右，西，-1），因为BO,平面AMC,所以币区。，Q

20、）为平面AMC的法向量,所以/（-5口如，T）与而，（五,。，。）所成角的余弦为已知椭圆E:"匕,且过点219. (2020?关B州一模)=1 （a>b>0）的离心率为C (1,（1）求椭圆E的方程;（2）若过点（-二，0）的任意直线与椭圆 E相交于A, B两点，线段 AB的中点为M, 3求证，恒有|AB|=2|CM|.【解答】解：（I）由题意知b=1, & JJL, a 21(D)勺十意,二1又因为a2=b2+c2解得，*叵得(9+18t2) y2- 12ty- 16=0,且4> 0.,（1）直线为工=上y一'，设 A（x1, y1），B （x2,

21、 y2） 412t十y广9+18 t16又 因 为 承“町T, *1）* h4 . .4 ,分4 16。卜比二（町-1）（工2-1）十¥了2 =（工¥二）豆了2二）十了/2二（1十七）t（ypy2 ）-y八 2、 -164t 12t16 K=(1 + t )n,9+lgd 3 9+18- g所以,：工 因为线段AB的中点为M,所以|AB|=2|CM|.20. （2020?郑州一模）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观,努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p （0

22、< p<1）.经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放.现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：四个样本混在一起化验.化验次数的期望值越小，则方案越“优（1）若/” 求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；

23、H 3（2）若图2,现有4个A级水样本需要化验， 请问：方案一、二、四中哪个最“优 3 |若“方案三”比“方案四"更“优”，求p的取值范围.【解答】解：（1）该混合样本达标的概率是 （2事）2弓，所以根据对立事件原理，不达标的概率为1-二二.1 9 9（2）方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1,概率为二；若不达标3则检测次数为3,概率为蒋.故方案二的检测次数记为 法的可能取值为2, 4, 6.其分布列如下，2246p G可求得方案二的期望为e（ &。=2/兽十4><黑十6><白书等 ci 131o JL

24、 s 1 y方案四：混在一起检测，记检测次数为4, 4可取1, 5.其分布列如下，415p_8181可求得方案四的期望为罄5父普知 ' 1 oL o1比较可得E (卬v E ( 2) < 4,故选择方案四最“优".方案三：设化验次数为r3,用可取2, 5.甲25PP31-p3氏 T /二2p45(l-p*)=5-3p*；方案四：设化验次数为 阴，用可取1, 5P P41 - P4Et T J二p"+5(l-p4)二5-4p"；由题意得口 m)<E( T 4> -5-3p3<5-4p4故当(Xp V时,方案三比方案四更“优”21. (

25、2020?关B州一模)已知函数 f (x) =xlnx.(1)求f (x)的最大值;(2)若f + e* bx> 1恒成立，求实数b的取值范围.【解答】解：(1) f (k) =xln,x,定义域(0, +°°),由 ex>x+1 >x, f (x)在(0, 1增，在(1 , +8)减，f (x) max= f ( 1) = 1 - e.(2) f (k) +(x J)-b£)l ? - lnx+x+xex- bx- 1 rxx> 0>b o (d 即詈士工),令一-，6, G)=2 jx e +lnxx令 h (x) = x2ex+inx, h (x)在(0,I+ 8）单调递增,x一0, h (x) -8, h(1)= e>0h (x)在(0, 1)存在零点 x0,即h町）三£口"十1口K 0二0，2克0口-*口- _ 1 n- 0_1 1 <'二1、x口 9x ae -（In JieJ,K0 町由于y=xex在（0, +8）单调递增，故 其产lrr=TnH力，即Jd=-L° z0