那么称为矩阵的最高阶非零子式PPT课件

1、4.3 4.3 矩阵的秩矩阵的秩第1页/共22页一、子式一、子式定义 在 矩阵 中，任取 行与 列 ，位于这些行列交叉处的 个元素，不改变它们在 中所处的位置次序而得到的 阶行列式，称为矩阵 的 阶子式.nm AAkk),(nkmk 2kkAk例如 11178424633542A11826 D 是 的一个2阶子式， 的2阶子式共有 个.DAA182423 CC一般地， 矩阵 的 阶子式共有 个.nm AkknkmCC第2页/共22页二、矩阵的秩定义 设在矩阵 中有一个不等于零的 阶子式 ，且所有 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 称为矩阵的秩，记作 或 .A

2、rD1 rDAr)(AR)(Ar规定：零矩阵的秩等于0.例1 求矩阵 和 的秩.AB,174532321 A 00000340005213023012B第3页/共22页,174532321 A在 中，容易看出一个2阶子式A, 013221 D 的3阶子式只有一个A, 0 A因此. 2)( AR在 中，B 由于它是行阶梯形矩阵，容易看出它的4阶子式全为零，而以三个非零行的首非零元为对角元的3阶子式不等于零，024400230312 因此. 3)( BR 00000340005213023012B这里的两个行列式分别是 和 的最高阶非零子式AB第4页/共22页说明根据行列式的展开法则知，在 中当所

3、有 阶子式全为零时，所有高于 阶的子式也全为0，因此把 阶非零子式称为最高阶非零子式；A1 r1 rr矩阵 的秩就是 中不等于零的子式的最高阶数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；AA当矩阵 中有某个 阶子式不为0，则As;)(sAR 当矩阵 中所有 阶子式都为0，则At;)(tAR 第5页/共22页矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行数，这也可以作为矩阵的秩定义，但是这样定义矩阵的秩不能清楚表明矩阵的特征.对于 阶矩阵 ，当 时， 称为满秩矩阵；否则称为降秩矩阵.nnAR )(AA 由于 阶矩阵 的 阶子式只有一个 ，当 时， 所以可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵

4、又称降秩矩阵.nn.)(nAR | 0A A|A第6页/共22页三、三、矩阵的秩的计算定理 若 ，则BA ).()(BRAR 即两个等价矩阵的秩相等.说明根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用 初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩 阵中非零行的行数即是矩阵的秩.证明第7页/共22页 1281216011791201134041461233rr 244rr 8400084000113404146134rr 00000840001134041461所以. 3)( AR大多情况下只用初等行变换，不用初等列变换第8页/共22页例2 设,41461351021632305023 A求矩阵 的秩，并求

5、的一个最高阶非零子式.AA解析：根据定理，为求 的秩，只需将 化为行阶梯形矩阵.AA 41461351021632305023A41rr 42rr 132rr 143rr 1281216011791201134041461第9页/共22页再求 的一个最高阶非零子式.Ar 1615026235230A 000400140161r因此, 3)(0 AR 41461351021632305023A 00000840001134041461 在 中,找一个3阶非零子式是比较容易的，另外注意到， 的子式都是 的子式，所以易求得的一个最高阶非零子式0A0AA第10页/共22页502623523 . 052

6、1162)1(502110652321 说明最高阶非零子式一般是不唯一的.上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外 观察法也是常用的方法. 41461351021632305023A312133003 . 0 第11页/共22页例3 设,6352132111 A已知 ，求 与 的值.2)( AR 解 析：这是一道已知矩阵的秩，讨论其中参数的值的题目.一般有两个途径，一是利用行列式，二是用初等变换.当 时， 的3阶子式全为零，从而可以计算出参数的值.下面用初等变换解答此题.2)( ARA 6352132111 A123rr 135rr 458044302111 第12页/共22页 4580443

7、02111 23rr 018044302111 因为 ，故2)( AR , 01, 05 即 . 1, 5 说明此方法就是，用初等变换，将矩阵化为比较简 单的矩阵，然后根据矩阵的秩进行讨论.第13页/共22页例4 设,6063324208421221 A 4321b求矩阵 及矩阵 的秩.A),(bAB 解 析：此题中矩阵 的前4列与 的列相同，如果用初等行变换将 化为行阶梯形 ，则 就是 的行阶梯形，故从 中可同时看出 及BAB),(bAB AAB)(AR).(BR第14页/共22页122rr 132rr 143rr 22 r23rr 243rr 53 r34rr 46063332422084

8、211221),(bAB 13600512000240011221 10000500000120011221 00000100000120011221由此可见，, 2)( AR. 3)( BR第15页/共22页注： 00000100000120011221rB把此题中的 看作方程组的系数矩阵， 看作 常数项列，则 就是增广矩阵，由 的行阶梯 形矩阵知，这个方程组 无解，因为行 阶梯形的第3行对应的方程为矛盾方程AbBBbAx . 10 第16页/共22页四、矩阵的秩的性四、矩阵的秩的性质质若 为 矩阵，则Anm ;,min)(0nmAR );0)()(),()( kARkARARART 若 ，

9、则BA ).()(BRAR QP、 若 可逆，则);()(ARPAQR ),()(),()(),(maxBRARBARBRAR 特别地，当b为列矩阵时，有; 1)(),()( ARbARAR即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不超过所有子块的秩之和.证明第17页/共22页 );()()(BRARBAR ,OBAlnnm 若 则.)()(nBRAR );(),(min)(BRARABR 第18页/共22页例5 设 为 阶矩阵，证明An.)()(nEAREAR 证因为,2)()(EAEEA 由性质，有)()(AEREAR 而),()(EARAER 所以.)()(nEAREAR ,)2()()(nERAEE