云南省昆明市2018 2019高一数学下学期期末考试试题含解析

1、 1 云南省昆明市2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合1,2,3,4A?，2,3,4,5B?，则A B中元素的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 求出AB即得解. 【详解】由题得AB=2,3,4,所以AB中元素的个数是3. 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的交集的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 2.已知向量(3,4)a ?，(1,2)b ?，则2ba? ?（ ） A. (1,0)?

2、 B. (1,0) C. (2,2) D. (5,6) 【答案】A 【解析】 【分析】 利用数乘向量和向量的减法法则计算得解. 【详解】由题得2(2,4),2(1,0)bba? ?. 故选：A 【点睛】本题主要考查数乘向量和向量的减法的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 3.下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ） 2 A. 21yx? B. 1yx? C. 22xxy? D. exy? 【答案】D 【解析】 【分析】 利用奇函数偶函数的判定方法逐一判断得解. 【详解】A.函数的定义域为R,关于原点对称，2()1()fxxfx?,所以函数是偶函数； B.函数的定

3、义域为|0xx?，关于原点对称. 1()()fxfxx?,所以函数是奇函数； C.函数的定义域为R,关于原点对称，()22()xxfxfx?,所以函数是偶函数； D. 函数的定义域为R,关于原点对称，()()xfxefx?，()()xfxefx?，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数. 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 4.在等差数列?na中，11a?，513a?，则数列?na的前5项和为（ ） A. 13 B. 16 C. 32 D. 35 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用等差数列的前n项和公式求解. 【详解】数列?na

4、的前5 项和为1555)(113)3522aa?（. 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 5.已知直线l经过点(1,0)，且与直线2 0xy?垂直，则l的方程为（ ） A. 2 10xy? B. 210xy? 3 C. 220xy? D. 220xy? 【答案】D 【解析】 【分析】 设直线的方程为20xyc?，代入点（1,0）的坐标即得解. 【详解】设直线的方程为20xyc?， 由题得2002cc?，. 所以直线的方程为220xy?. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基

5、础题. 6. 若直线3yxb?与圆221xy?相切，则b?（ ） A. 233? B. 2? C. 2? D. 5? 【答案】C 【解析】 【分析】 利用圆心到直线的距离等于圆的半径即可求解. 【详解】由题得圆的圆心坐标为（0,0）， 所以|1,231bb?. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 7.己知某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的体积为（ ） 4 A. 223 B. 233 C. 22 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】 先找到三视图对应的几何体原图，再求几何体的体积

6、. 【详解】由题得三视图对应的几何体原图是如图所示的三棱锥A-BCD， 所以几何体的体积为1122233323V?. 故选：B 【点睛】本题主要考查三视图找到几何体原图，考查三棱锥体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 5 8.已知函数()tanfxx?，则下列结论不正确的是（ ） A. 2?是()fx的一个周期 B. 33()()44ff? C. ()fx的值域为R D. ()fx 的图象关于点(,0)2?对称 【答案】B 【解析】 【分析】 利用正切函数的图像和性质对每一个选项逐一分析得解. 【详解】A()tanfxx?的最小正周期为?，所以2?是()fx的一个周期

7、，所以该选项正确； B. 33()1,()1,44ff?所以该选项是错误的； C. ()tanfxx?的值域为R，所以该选项是正确的； D. ()tanfxx? 的图象关于点(,0)2?对称,所以该选项是正确的. 故选：B 【点睛】本题主要考查正切函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 9.已知0a?，且1a?，把底数相同的指数函数()xfxa?与对数函数()logagxx?图象的公共点称为()fx（或()gx）的“亮点” 当116a?时，在下列四点1(1,1)P，211,2()2P，311,2()4P，411,4()2P中，能成为()fx的“亮点”有（ ） A.

8、0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】 利用“亮点”的定义对每一个点逐一分析得解. 【详解】由题得1()16xfx?（） ，116()loggxx?， 6 由于1(1)116f?，所以点1(1,1)P不在函数f(x)的图像上，所以点1(1,1)P不是“亮点”； 由于111()242f?，所以点211,2()2P不在函数f(x) 的图像上，所以点211,2()2P不是“亮点”； 由于1111()()2424fg?，所以点311,2()4P在函数f(x)和g(x)的图像上， 所以点311,2()4P是“亮点”； 由于1111()()4242fg?， 所以点411,

9、4()2P在函数f(x)和g(x)的图像上，所以点411,4()2P是“亮点”. 故选：C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查指数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 10.把函数()sinfxx? 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移6?个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（ ） A. 12x? B. 12x? C. 3x? D. 712x? 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程. 【详解】由题得图像变换最后得到的解析式为sin2()sin(2)63yxx

10、?， 令52,32212kxkkZx?， 令k=-1, 所以12x?. 故选：A 【点睛】本题主要考查三角函数图像变换和三角函数图像对称轴的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 7 11. 已知函数2,0,()2,0,xxfxxxx?若函数()()gxfxa?有4个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. 0a? B. 01a? C. 1a? D. 1a? 【答案】B 【解析】 【分析】 令g(x)=0得f(x)=a,再利用函数的图像分析解答得到a的取值范围. 【详解】令g(x)=0得f(x)=a, 函数f(x)的图像如图所示， 当直线y=a在x轴和直线x=1之间时，函数y=

11、f(x)的图像与直线y=a有四个零点， 所以0a1. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题. 12.在ABC?中，6AB?，8BC?，ABBC?，M是ABC?外接圆上一动点，若AMABAC? ?，则?的最大值是（ ） A. 1 B. 54 C. 43 D. 2 【答案】C 8 【解析】 【分析】 以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M的坐标为(5cos?，5sin)?， 求出点B的坐标，得到51sin()62?，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案. 【详解】 以AC的中点O为原点，以AC为x轴，建

12、立如图所示的平面直角坐标系， 则ABC?外接圆的方程为2225xy?， 设M的坐标为(5cos?，5sin)?， 过点B作BD垂直x轴， 4sin5A ?，6A24sin5BDAB A?， 318cos 655ADABA?187555ODAOAD? ?， 7(5 B?，24)5， (5A?， 0)， (5C，0) ?18 (5AB?，24 )5，(10,0)AC ?，(5cos5AP? ?，5sin)? AMABAC? 9 (5cos5? ，185sin)(5? ，24)(105? ，180)(105xy? ，24)5? ?185cos5105? ，245sin5?， 131cossin282

13、? ，25sin24?， 12151cossinsin()23262?，其中3sin5?，4cos5?， 当sin()1?时，xy?有最大值，最大值为514623?， 故选：C 【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的 问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.在长方体1111ABCDABCD?中，12AA?，4?AD，6AB?，如图，建立空间直角坐标系Dxyz?，则该长方体的中心M的坐标为_ 【答案】(2,3,1) 【解析】 【分析】 先求出点B的坐标，再求出M的坐标. 【详解】由题得

14、B(4,6,0),1(0,0,2)D, 因为M点是1BD中点， 所以点M坐标为(2,3,1). 10 故答案为：(2,3,1) 【点睛】本题主要考查空间坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 14.设?为第二象限角，若3sin5?，则sin2?_ 【答案】2425? 【解析】 【分析】 先求出cos?，再利用二倍角公式求sin2?的值. 【详解】因?为第二象限角，若3sin5?， 所以4cos=5?. 所以24sin2=2sincos=-25?. 故答案 ：2425? 【点睛】本题主要考查同角三角函数的平方关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，

15、属于基础题. 15.数列?na 满足111nnaa?，112a?，则11a?_ 【答案】2 【解析】 【分析】 利用递推公式求解即可. 【详解】由题得23451112,1,a2,22aaaa? ?. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查利用递推公式求数列中的项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 11 16.一条河的两岸平行，河的宽度为560m，一艘船从一岸出发到河对岸，已知船的静水速度16km/hv?，水流速度22km/hv?，则行驶航程最短时，所用时间是_min（精确到1min） 【答案】6 【解析】 【分析】 先确定船的方向，再求出船的速度和时间. 【详解】 因为行程最短，

16、所以船应该朝上游的方向行驶， 所以船 的速度为222+6=210km/h, 所以所用时间是0.56606210?. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查平面向量的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 三、解答题：共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 己知函数()sin3cosfxxx? （1）若(0,)x?，()0fx?，求x； （2）当x为何值时，()fx取得最大值，并求出最大值 【答案】（1）3?；（2）52()6xkk?Z，2. 【解析】 【分析】 12 （1 ）由题得tan3x?，再求出x的值；（2 ）先化简得到()2sin()3fxx?，再利用三

17、角函数的性质求函数的最大值及此时x的值. 【详解】（1 ）令sicos0x? ，则ta3x， 因为(0,)x? ，所以3x? （2 ）13()2(sincos)2sin()223fxxxx?， 当232xk? ，即52()6xkk?Z时，()fx的最大值为2 【点睛】本题主要考查解简单的三角方程，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 18.在公差不为零的等差数列?na中，11a?，且125aaa，成等比数列. （1）求?na的通项公式； （2）设2nanb?，求数列?nb的前n项和nS 【答案】（1）21nan?；（2 ）2(41)3nnS?. 【解析】 【分

18、析】 (1)先根据已知求出公差d,即得?na的通项公式；（2）先证明数列?nb是等比数列，再利用等比数列的前n项和公式求nS 【详解】（1）设等差数列?na的公差为d，由已知得1225aaa?， 则2111()(4)adaad?， 将11a?代入并化简得220dd?，解得2d?，0d?（舍去） 所以1(1)221nann? （2）由（1）知212nnb?，所以2112nnb?， 13 所以21(21)124nnnnbb?， 所以数列?nb是首项为2，公比为4的等比数列 所以2(14)2(41)143nnnS? 【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法，考查等比数列性质的证明和前n项和的求法，意在

19、考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 19.ABC?的内角ABC，所对边分别为abc，已知sincoscBbC? （1）求C； （2 ）若13c? ，22b?，求ABC?的面积 【答案】（1 ）4?；（2）5. 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理得sinsinsincosCBBC?，化简即得C的值；（2）先利用余弦定理求出a的值，再求ABC?的面积 【详解】（1）因为sincoscBbC?，根据正弦定理得sinsinsincosCBBC?， 又sin0B?，从而tan1C?， 由于0C? ，所以4C?= （2）根据余弦定理2222coscababC? ，而13c? ，22b? ，

20、4C?=， 代入整理得2450aa?，解得5a?或1a?（舍去） 故ABC? 的面积为112sin5225222abC? 【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 20.如图，在三棱柱111ABCABC?中，ABC?为正三角形，D为11AB的中点， 14 12ABAA? ，16CA?，160BAA? （1）证明：1/CA平1BDC； （2）证明：平面ABC?平面11ABBA 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）连结1CB交1BC于E，连结DE，先证明1/DECA，再证明1/CA平1BD

21、C；（2）取AB的中点为O，连结OC，1OA，1BA，先证明OC?平面11ABBA，再证明平面ABC?平面11ABBA 【详解】证明：（1）连结1CB交1BC于E，连结DE， 由于棱柱的侧面是平行四边形，故E为1BC的中点， 又D为11AB的中点，故DE是11CAB?的中位线，所以1/DECA， 又DE?平面1BDC，1AC?平面1BDC，所以1/CA平面1BDC （2）取AB的中点为O，连结OC，1OA，1BA，在ABC?中，OCAB?， 由12ABAA?，160BAA?知1ABA? 为正三角形，故13OA?， 又3OC? ，16CA?，故22211OCOACA?，所以1OCOA?， 15

22、又1ABOAO ?，所以OC?平面11ABBA， 又OC?平面ABC，所以平面ABC?平面11ABBA 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题. 21.已知直线:(0)lykxk?与圆22:230Cxyx?相交于A，B两点 （1 ）若|14AB?，求k； （2）在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由 【答案】（1）?；（2）存在?3,0M?. 【解析】 【分析】 （1）由题得C到AB 的距离为22，即得2|221kk?，解方程即得解；（2）设11(,)Ax

23、y，22(,)Bxy，存在点(,0)Mm满足题意，即0AMBMkk?，把韦达定理代入方程化简即得解. 【详解】（1）因为圆22:(1)4Cxy?，所以圆心坐标为(1,0)C，半径为 2， 因为|14AB ?，所以C到AB的距离为22， 由点到直线的距离公式可得：2|221kk?， 解得1k? （2）设11(,)Axy，22(,)Bxy， 则22,230,ykxxyx?得22(1)230kxx?，因为24121()0k?， 所以12221xxk?，12231xxk?， 16 设存在点(,0)Mm满足题意，即0AMBMkk?， 所以121212120AMBMyykxkxkkxmxmxmxm?， 因

24、为0k?，所以12211212()(2()0xxmxxmxxmxx?， 所以2262011mkk?，解得3m? 所以存在点(3,0)M?符合题意 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆的探究性问题的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题. 22.某校为创建“绿色校园”，在校园内种植树木，有A、B、C三种树木可供选择，已知这三种树木6年内的生长规律如下： A树木：种植前树木高0.84米，第一年能长高0.1米，以后每年比上一年多长高0.2米； B树木：种植前树木高0.84米，第一年能长高0.04米，以后每年生长的高度是上一年生长高度的2倍； C树木：树木的高度()ft（单位：米）与生长年限t（单位：年，t?N ）满足如下函数：0.527()1etft?（(0)f表示种植前树木的高度，取e2.7?） （1）若要求6年内树木的高度超过5米，你会选择哪种树木？为什么？ （2）若选C树木，从种植起的6年内，第几年内生长最快？ 【答案】（1）选择C；（2）第4或第