2020版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数2第2讲函数的单调性与最值新题培优练文含解析新

1、 - 1 - 第2讲 函数的单调性与最值 基础题组练 1下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是( ) Af(x)3x Bf(x)x23x Cf(x)1x 1 Df(x)|x| 解析：选C.对于A，当x>0时，f(x)3x为减函数； 对于B，当x?0，32时，f(x)x23x为减函数， 当x?32，时，f(x)x23x为增函数；对于C，当x(0，)时，f(x)1x 1为增函数； 对于D，当x(0，)时，f(x)|x|为减函数 2函数f(x)|x2|x的单调减区间是( ) A1，2 B1，0 C0，2 D2，) 解析：选A.由于f(x)|x2|x?x22x，x2，x22x，x<2.结

2、合图象可知函数的单调减区间是1，2 3已知函数f(x)x3 xa(a>0)的最小值为8，则实数a( ) A1 B2 C4 D8 解析：选B.由xa0，得xa，故函数的定义域为a，)因为函数f(x)在a，)上单调递增，所以f(x)minf(a)a38，解得a2.故选B. 4定义新运算“”：当ab时，aba；当a<b时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2，2的最大值等于( ) A1 B1 C6 D12 解析：选C.由已知得，当2x1时，f(x)x2； 当1<x2时，f(x)x32. 因为f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数， 所以f(x)的最大值为f(2

3、)2326. - 2 - 5函数f(x)?1x，x1，x22，x<1的最大值为_ 解析：当x1时，函数f(x)1x为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x<1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2. 答案：2 6设函数f(x)?1，x>0，0，x0，1，x<0，g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是_ 解析：由题意知g(x)?x2，x>1，0，x1，x2，x<1.函数图象如图所示，其递减区间是0，1) 答案：0，1) 7已知函数f(x)1a1x(a>0，x>0) (1

4、)求证：f(x)在(0，)上是增函数； (2)若f(x)在?12，2上的值域是?12，2，求a的值 解：(1)证明：任取x1>x2>0， 则f(x1)f(x2)1a1x 11a1x 2 x1x2x1x 2，因为x1>x2>0， 所以x1x2>0，x1x2>0， 所以f(x1)f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在(0，)上是增函数 (2)由(1)可知，f(x)在?12，2上为增函数， 所以f?121a212， f(2)1a1 22， - 3 - 解得a25. 8已知f(x)xx a(xa) (1)若a2，试证明f(x)在(，

5、2)上单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围 解：(1)证明：设x1<x2<2， 则f(x1)f(x2)x1x1 2x2x2 22（x1x2）（x12）（x22 ）. 因为(x12)(x22)>0，x1x2<0，所以f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(，2)上单调递增 (2)设1<x1<x2，则f(x1)f(x2)x1x1 ax2x2 a a（x2x1）（x1a）（x2a ）. 因为a>0，x2x1>0， 所以要使f(x1)f(x2)>0， 只需(x1a)(x2a)>0恒成立， 所以

6、a1. 综上所述，a的取值范围为(0，1 综合题组练 1已知函数f(x)?3（a3）x2，x1，4aln x，x>1对任意的x1x2都有(x1x2)f(x2)f(x1)>0成立，则实数a的取值范围是( ) A(，3 B(，3) C(3，) D1，3) 解析：选D.由(x1x2)f(x2)f(x1)>0，得(x1x2)·f(x1)f(x2)<0，所以函数f(x)在R上单调递减，所以?a3<0，3（a3）24a，解得1a3.故选D. 2(应用型)已知函数f(x)在0，)上为增函数，g(x)f(|x|)，若g(lg x)>g(1)，则x的取值范围是( )

7、 A(0，10) B(10，) C.?1 10，10 D.?0，1 10(10，) 解析：选C.因为g(lg x)>g(1)，g(x)f(|x|)， 所以f(|lg x|)>f(1)，所以f(|lg x|)<f(1) - 4 - 又因为f(x)在0，)上是增函数， 所以|lg x|<1，所以1<lg x<1， 所以1 10<x<10. 3已知函数y2xx 1，x(m，n的最小值为0，则m的取值范围是_ 解析：函数y2xx 13x1x 13x 11，且在x(1，)时单调递减，在x2时，y0；根据题意x(m，n时y的最小值为0，所以1m2. 答案：1

8、，2) 4(创新型)对于任意实数a，b，定义mina，b?a，ab，b，a>b.设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_ 解析：依题意，h(x)?log2x，0<x2，x3，x>2. 当0<x2时，h(x)log2x是增函数， 当x>2时，h(x)3x是减函数， 所以h(x)在x2时，取得最大值h(2)1. 答案：1 5已知函数f(x)ax1a(1x)(a>0)，且f(x)在0，1上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值 解：f(x)?a1ax1a， 当a>1时，a1a>0，此时f(x)在0，1上

9、为增函数， 所以g(a)f(0)1a； 当0<a<1时，a1a<0，此时f(x)在0，1上为减函数， 所以g(a)f(1)a； 当a1时，f(x)1，此时g(a)1. 所以g(a)?a，0<a<11a，a1，所以g(a)在(0，1)上为增函数，在1，)上为减函数，又a1时，有a1 a1， - 5 - 所以当a1时，g(a)取最大值1. 6已知二次函数f(x)ax2bx1(a>0)，F(x)?f（x），x>0，f（x），x<0.若f(1)0，且对任意实数x均有f(x)0成立 (1)求F(x)的表达式； (2)当x2，2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求k的取值范围 解：(1)因为f(1)0，所以ab10， 所以ba1，所以f(x)ax2(a1)x1. 因为对任意实数x均有f(x)0恒成立， 所以?a>0，（a1）24a0， 所以?a>0，