第三章随机变量的数字特征介绍PPT课件

1、1随机变量的数字特征概述 与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征的重要特征. . 本章将介绍随机变量的常用数字特征：本章将介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、协方差与相关系数数学期望、方差、协方差与相关系数. .第1页/共133页2第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第2页/共133页3引例有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出：有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出： 射手甲射手甲击中环数击中环数8910概率概率0.30.10.6

2、射手乙射手乙击中环数击中环数8910概率概率0.20.50.3试问哪个射手本领较好？试问哪个射手本领较好？第3页/共133页4击中环数击中环数8910概率概率0.30.10.6 若两个选手各射N枪，则 甲的平均环数为： (80.3N90.1N100.6N)/N=9.3， 乙的平均环数为： （80.2N90.5N100.3N)/N=9.1.击中环数击中环数8910概率概率0.20.50.3第4页/共133页5 甲平均射中甲平均射中9.39.3环，乙平均射中环，乙平均射中9.19.1环，因环，因此甲射手的本领好些此甲射手的本领好些. . 在这一问题中，以平均值的大小为准则，来在这一问题中，以平均值

3、的大小为准则，来判定射手的射击水平的高低判定射手的射击水平的高低. . 由此产生了随机变由此产生了随机变量的数学期望量的数学期望E(X)的概念的概念. . 仅利用平均值这一指标，来判定射手的射击仅利用平均值这一指标，来判定射手的射击水平的高低还不够水平的高低还不够. . 例如，例如，第5页/共133页6 射手甲射手甲击中环数击中环数8910概率概率0.40.1 0.5 射手乙射手乙击中环数击中环数8910概率概率0.2 0.5 0.3试问哪个射手本领好一些？试问哪个射手本领好一些？ 若两个选手各射若两个选手各射N枪，则枪，则甲的平均环数为：甲的平均环数为： (8(80.40.4N9 90.10

4、.1N10100.50.5N)/N=9.1=9.1，乙的平均环数为：乙的平均环数为： （8 80.20.2N9 90.50.5N10100.30.3N)/N=9.1=9.1.第6页/共133页7 这时，可用量这时，可用量 来衡量来衡量射手的射击水平的高低射手的射击水平的高低. . D(X)它它表示射击环数表示射击环数对平均值的离散程度对平均值的离散程度. .D(X)的值越小，表示射击的值越小，表示射击环数环数x越集中在平均环数越集中在平均环数E(X)的附近，这意味着的附近，这意味着射手的射击水平越稳定射手的射击水平越稳定. 由此便产生了方差的由此便产生了方差的概念概念. .2iiD XxE X

5、第7页/共133页8v 随机变量的数学期望随机变量的数学期望第8页/共133页9数学期望的定义离散型设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为若级数若级数绝对收敛，则称绝对收敛，则称 的和为随机变量的和为随机变量X的的数学期望数学期望（或均值），记为（或均值），记为 . .即即1kkkx p,1,2,kkP Xxp k1kkkx pE X1.kkkE Xx p第9页/共133页10数学期望的定义连续型设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 f(x)，若积分若积分绝对收敛，则称绝对收敛，则称 的值为随机的值为随机变量变量X的的数学期望数学期望（或均值），记为（或均

6、值），记为E( (X).). xfx dx xfx dx 即即 .EXxfx dx 第10页/共133页11例1 求二项分布求二项分布 的数学的数学期望期望. .nkqpCpknkknk, 2 , 1 , 0,111(1) (1)111111(1)(1)!(1)(1)(1) 1(1)!().nnkkn kkn knkknknkknkkn knknn nnkkC p qkp qknnknppqknpCpqnp pqnpE X0nkkkp解解第11页/共133页12例2 求泊松分布求泊松分布 的的数学期望数学期望. .,2 , 1 ,0,! kekpkk 解解E X0nkkkp111!(1)!.k

7、kkkkekekee第12页/共133页13例3 随机变量随机变量X取值取值 对应的对应的2( 1),1,2,kkkxkk 概率为概率为1,1,2,2kkpk 求数学期望求数学期望. .()ln .11112kkkkkx pk 解解 尽管尽管 111,kkkkxpkXE X 因因此此的的期期望望不不存存在在. .但由于但由于第13页/共133页14例4随机变量随机变量X服从指数分布服从指数分布解解 E X xfx dx 求数学期望求数学期望. .0,0,0,1)(xxexfx01xxedx第14页/共133页15.0)(10/0/0/0/0 xxxxxedxexeexddxex第15页/共13

8、3页16例5 101101,150012,200023,25003,3000,0;0,0.xXXXXXXexf xxY某商店对某种家用电器的销售采用先试用后付款的方式.记使用寿命为（以年计），规定：一台付款元；一台付款元；一台付款元；一台付款元.设寿命 服从指数分布，概率密度为求该商店一台家用电器收费 的数学期望.第16页/共133页17 11101100150010.0952.xP YP Xf x dxedx解 21011012000120.0861.xP YPXedx25000.0779,30000.7048.P YP Y同理可得第17页/共133页18Y故一台收费 的分布列为 Y 150

9、0 2000 2500 3000 P0.09520.08610.07790.7408 2732.15,E Y计算可得：即平均一台家电收费2732.15元.第18页/共133页19随机变量函数的数学期望() (YXYg Xg设 是随机变量 的函数：是连续函数). 11, 1,2,().kkkkkXP XxpkE YE g Xg xp（） 是离散型随机变量，它的分布律为，则(2)( )( ) ( )( ) ()( ) ( ).Xf xg x f x dxE YE g Xg x f x dx是连续型随机变量，它的概率密度为，若绝对收敛，则有第19页/共133页20P64例4.5改为X1 0 2 pk

10、 1/4 1/2 1/4 ).12(),(2 XEXE求第20页/共133页21P64例4.62000,4000XU., 04000,2000,2000/1)(其它xxf3 ,()3(),.y Xyg XXyXXy第21页/共133页22例4.7 若将这两个电子装置串联连接组成整机，若将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命求整机寿命( (以小时计以小时计) )N的数学期望的数学期望. ./1,0;( )0.0,0;xexf xx 由两个相互独立工作的电子装置，它们由两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命的寿命 服从同一指数分布，其服从同一指数分布，其概率密度为概率密度为 kX(1,2)k

11、 第22页/共133页23/(1,2)1,0;( )0,0.kxXkexF xx 解的分布函数为122 /2minmin(,)1,0;( )1 1( )0,0.xNXXexFxF xx 所以，的分布函数为第23页/共133页242 /min2,0;( )0,0.xNexfxx因而 的概率密度为min2 /()( )2.2xNE Nxfx dxxedx于是 的数学期望为第24页/共133页25例7 2222001 ,0;0,(0,.1.3aVaavaf vWkVkWkE Wkv f v dvv dvkaa 设风速 在 ，上服从均匀分布，即有概率密度函数其它.又设飞机机翼受到的正压力常数）,求 的

12、数学期望解第25页/共133页26(1, ),();XBpE Xp ( , ),( );XB n pE Xnp ( ),();XPE X ( , ),();2abXU a bE X ( ),();XEE X 2( ,),().XNE X 第26页/共133页27作业P80 1求E(X),2求E(X),3.第27页/共133页28离散型设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为若级数若级数绝对收敛，则称绝对收敛，则称 的和为随机变量的和为随机变量X的的数学期望数学期望（或均值），记为（或均值），记为 . .即即1kkkx p,1,2,kkP Xxp k1kkkx pE X1.kkkE

13、 Xx p第28页/共133页29连续型连续型设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 f(x)，若积分若积分绝对收敛，则称绝对收敛，则称 的值为随机的值为随机变量变量X的的数学期望数学期望（或均值），记为（或均值），记为E( (X).). xfx dx xfx dx 即即 .EXxfx dx 第29页/共133页30随机变量函数的数学期望() (YXYg Xg设 是随机变量 的函数：是连续函数). 11, 1,2,()().kkkkkkkkXP Xxpkg xpE YE g Xg xp（） 是离散型随机变量，它的分布律为，且绝对收敛,则(2)( )( ) ( )( ) ()

14、( ) ( ).Xf xg x f x dxE YE g Xg x f x dx是连续型随机变量，它的概率密度为，若绝对收敛，则有第30页/共133页31随机向量函数的数学期望(, )(, )X YZg X Y设Z是随机向量的函数：是连续函数.(2) (, )( , )( , ) ( , )( )( , ) ( , ).X Yf x yg x y f x y dxdyE Zg x y f x y dxdy 设是连续型随机向量，它的概率密度为，若绝对收敛，则 1 (, )(,)( ,)( ,).ijijijijijijijijX YP Xx Yypg x ypE Zg x yp（） 若离散型随机

15、向量的分布律为，且绝对收敛,则第31页/共133页32随机向量函数的数学期望11(,)(,)nnYXXYg XX设 是随机向量的函数：是连续函数.11111111(2) (,)( ,)( ,) ( ,)( )( ,) ( ,).nnnnnnnnXXf xxg xxf xx dxdxE Yg xxf xx dxdx设是连续型随机向量，它的概率密度为，若绝对收敛，则 111111111 (,)( ,)( ,) ( ,)( ,) ( ,).nnnnnnxxnnxxXXp xxg xxp xxE Yg xxp xx （） 若是离散型随机向量,分布律为，且绝对收敛,，则第32页/共133页33随机向量的

16、分量的数学期望()( , )( ),( )( , )( ).XYE Xxf x y dxdyxfx dxE Yyf x y dxdyyfy dy ,设随机向量的密度函数为X Yfx y则有则有第33页/共133页34随机向量的分量的数学期望11()( ,)( ),1,2, .iiinniXiiE Xx f xx dxdxx fx dxin1212,nnXXXfxxx设随机向量的密度函数为则有则有第34页/共133页35 32,31,1;2,0,1.X Yyx xx yxfx yE YEXY设随机变量的概率密度为其它.求第35页/共133页361( ,) :1,Gx yxyxx Gyo11yxy

17、xx ,1.E YEXY求第36页/共133页37 1313231113,2ln3ln3133.224xxE Yyf x y dxdydydxx yxxdxdxxxx 解第37页/共133页38143111,323.5xxEfx y dxdyXYxydxdyx y 第38页/共133页39例,X Y点数,求U=max(X,Y),V=min(X,Y),Z=X+Y的期望.1357911161( ) 123456.36363636363636E U 119753191( ) 123456.36363636363636E V 第39页/共133页40123456( )23456736363636363

18、654321891011123636363636E Z 2 6 12 20 30 42 40 36 30 22 12 2527.3636 第40页/共133页411( )(2 3 4 5 6 7) (3 4 5 6 7 8)36(4 5 6 7 8 9) (5 6 7 8 9 10)(6 7 8 9 10 11) (7 8 9 1) 11 12)1252(27 33 39 45 51 57)73636E Z 第41页/共133页42(,)(),1,2(),(),()X YUGyGxyxEXE YEXY由轴轴 及 直 线围 成 求第42页/共133页43( , ):01,02(1)Gx yxyx

19、y1xOG2第43页/共133页44,E Xxf x y dxdy 解102 (1)xx dx12(1)00 xxdy dx1112().233第44页/共133页45 ,E Yyf x y dxdy 1202(1)xdx12(1)00 xydy dx 13022(1).33x 第45页/共133页46,E XYxyf x y dxdy 解1202 (1)xxdx12(1)00 xxydy dx12302(2)11112().2346xxx dx第46页/共133页47数学期望的性质11111(1)().(2)()(), ,()()( ).,()()().nnnnnCE CCE CXC E X

20、CX YE XYE XE YnXXE c Xc Xc E Xc E X设为常数，则线性性是常数；(3)对任意两个随机变量有一般地，对任意 个随机变量有第47页/共133页48数学期望的性质121212(4),()()( ),()()()().nnnX YE XYE XE YnXXXE X XXE XE XE X设是相互独立的随机变量，有一般地，对任意 个相互独立的随机变量，有第48页/共133页49随机变量随机变量X服从正态分布服从正态分布求X的数学期望.22()21( ),2xf xex 第49页/共133页502221(0,1), ( ),2( )( )0,( )()( )( ).( ,)

21、, ( ).xXZNxexE Zxx dxXZE XEZEE ZXNE X 第50页/共133页51(1, ),();XBpE Xp ( , ),( );XB n pE Xnp ( ),();XPE X ( , ),();2abXU a bE X ( ),();XEE X 2( ,),().XNE X 第51页/共133页52P67例10,.np设对某一目标进行射击,命中 次才能彻底推倒该目标.假定各次射击是独立的,并且每次射击命中目标的概率为 试求彻底推倒这一目标平均消耗的炮弹数第52页/共133页53111,?mkmE Xmpqp12121()()()()()().nnE XE XXXE

22、XE XE XnnE Xp12.knXXXXXX解第53页/共133页54例10 20.XE X一民航送客车载有位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车 如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以表示停车的次数,求（设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车是相互独立的）12101,1210.0.iiXiiXXXX解定义在第 个车站有人下车；， ， ，在第 个车站没有人下车；于是有第54页/共133页55202092010iii9由题意知:任一旅客在第 站不下车的概率是，10因此位旅客都不在第 站下车的概率是，9而在第 站有人下车的概率是1-，102020990,11.1010iiP

23、 XP X即第55页/共133页5620121012091,1,2,10.1010910 1.10iEXiEXEXXXEX因此，第56页/共133页57例11 22 ,01;9,03;0,.0,.I ARiirrg ih rVIR 设一电路中电流与电阻是两个相互独立的随机变量，其概率密度为其它其他求电压的均值. 31320032.92E VE IRE I E Rig i dirh r drri didr解 第57页/共133页58矩的概念(),1,2,()() ,1,2,kkkkXE XkXkE XEXE XkXk设为随机变量，则称的 阶.如果存在，则称的 阶数学期望是一阶原点矩.方差是原点矩

24、二阶中心矩.中心矩.第58页/共133页59练习P80 1310 011130 0000:,11122,1224xxxf x y dxdykdxdykkE XYxyf x y dxdyxydxdyxydy dxx dx 解第59页/共133页60作业P80 10，19第60页/共133页61v随机变量的方差第61页/共133页62()()( ()()()0E XE XE XE E XE XE X()E XE X2() EXE X()D X 第62页/共133页63随机变量方差的定义2()()() ()()XD XVar XEXE XXD XX设 是一个随机变量，则称为方差均方的. 称为(差 标

25、准差).21()().kkkXD XxE Xp若 是离散型随机变量，则2( )()()( ).Xf xD XxE Xf x dx若 是连续型随机变量，概率密度为，则第63页/共133页64方差与数学期望的关系2()() .D XEXE X证明222() () E XXE XE X22()2 () () ()E XE X E XE X22D XE XE X22() () .E XE X第64页/共133页65例12 2,0.,.XEXXDXYD Y设随机变量具有数学期望方差记求22222210,11,1.XE YEEXXE YEEXD YE YE YYX解称为的标准化变量第65页/共133页66

26、例13 .XD X设随机变量服从 0-1 分布，求2221,01,1.XPXp PXpEXpEXpDXEXEXpp解的分布列为故所以有第66页/共133页67例14 ,.XPD X设随机变量求 222022,0,1,2,0.!.111!2 !.kkkkkXeP XkkkE XE XE X XXE X XE Xek kekk解的分布律为易知第67页/共133页68 22.D XE XE X所以.泊松分布的数学期望或方差能完全确定它的概率分布第68页/共133页69例15 ,.XU a bD X设求 222221,;0,.2,1.212baXbaaxbfxE XbaD XE XE Xbabaxdx

27、ba解的概率密度为其他易知所以有第69页/共133页70例16 1,0.0,0.xXexfxxD X设随机变量 的概率密度为求2220222,2,.xE XeE XxdxD XE XE X解易知所以有从而，第70页/共133页71P69例13 X 28 29 30 31 32 p 0.10 0.150.500.15 0.10 Y 28 29 30 31 32 p 0.13 0.170.400.17 0.13第71页/共133页72P69例4.141,10,1, 01,0,.XxxfxxxDX设 随 机 变 量的 概 率 密 度 为其 它 .求第72页/共133页73方差的性质,()()()(

28、).X YD XYD XYD XD Y特别地，若是相互独立的随机变量，有(1)( )0;CD C 设 为常数，则2(2) ()(),D CXC D X C是常数；(3),()()( )2 ()( ).X YD XYD XD YEXE XYE Y设是两个随机变量，则有这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况.第73页/共133页74例17 2222,()()( )2 ()( ).,()()()( ).()()() ()( ) () ( ) 2 ()( )X YD XYD XD YEXE XYE YX YD XYD XYD XD YD XYEXYE XYEXE XYE YEXE

29、XE YE YEXE XYE Y设是两个随机变量，证明特别，若是相互独立的随机变量，有证明第74页/共133页75()( )2 ( )()() ( )()( )2 ()() ( ).,()()( ).D XD YE XYXE YE X YE X E YD XD YE XYE X E YX YD XYD XD Y若相互独立，则有第75页/共133页76P70例1522(,)(),().XNE XD X 设证明第76页/共133页77例4.16 ,.XB n pE XD X设求.XnAAp解 由二项分布的定义知，随机变量 是 重贝努里试验中事件 发生的次数，且在每次试验中 发生的概率为1,1,2,

30、 .0,kAkXknAk定义在第 次试验中发生；在第 次试验中不发生.1212,(1,2, )01nnkXXXXXXXXkn易知且相互独立,服从分布.第77页/共133页78,1,1, .kkE Xp D Xppkn计算可得：1,nkkE XEXnp因此111.nkkD XDXnD Xnpp第78页/共133页79P70例4.17第79页/共133页80P71例4.18第80页/共133页81(1, ),(),()(1);XBpE Xp D Xpp ( , ),(),()(1);XB n pE Xnp D Xnpp (),(),();XPEXD X 2()( , ),(),();212abba

31、XU a bE XD X 2(),(),();XEEXD X 22( ,),(),();XNE XD X 第81页/共133页82练习P807132213131232( )0.1,()( ) ( )0.89 0.01 0.9.0.4,0.5.10.1.E XppE XppD XE Xpppppp 第82页/共133页83作业P806,8,14第83页/共133页84v协方差与相关系数定义定义性质性质不相关与独立不相关与独立第84页/共133页85协方差与相关系数的定义,()( )( )2 ( )( ).,()()( )( ).X YD XYD XD YE XE XYE YX YD XYD XY

32、D XD Y设是两个随机变量，则特别，若是相互独立的随机变量，有2222()()() ()() () () 2()()D XYEXYEXYEXEXYE YEXEXEYE YEXEXYE Y证 明第85页/共133页86()( )2 ( )()() ( )()( )2 ()() ( ).,()()( ).D XD YE XYXE YE X YE X E YD XD YE XYE X E YX YD XYD XD Y若相互独立，则有第86页/共133页87协方差与相关系数的定义( )( )( , )( , )( )( ).E XE XYE YXYCov X YCov X YE XE XYE Y协量

33、称为随机变量 与 的.记为，即方差( , )( )( )XYCov X YD XD YXY数被称为随机变量 与 的相关系数.第87页/共133页88协方差与期望、方差的关系1( ,)(),Cov X XD X（ ）3()()( )2(, ).D XYD XD YCov X Y（ ）2(, )()() ( ).Cov X YE XYE X E Y（ ）( , )( ).Cov Y YD Y第88页/共133页89P72例4.19,X Y设随机变量的密度函数为4,01,01;,0,.,.xyxyf x yCov X Y其它求yo1x1第89页/共133页90,E Xxf x y dxdy 解112

34、004 xydxdy 1120042/3,x dxydy ,E Yyf x y dxdy 112004 xy dxdy 1120042/3,xdxy dy,E XYxyf x y dxdy 1122004 xy dxdy 11220044/9,x dxy dy第90页/共133页91(, )Cov X Y()()()EX YEXE Y24/9(2/3)0第91页/共133页92例4.20 ,X Y设随机变量的密度函数为2xy1,12yxx1oy223,;,0,.,.XYx yGf x yx yGGyxxyCov X YD XY其中区域 由曲线与围成，求和 2109,33,20 xxGE Xxf

35、 x y dxdyxdxdydxxdy 解第92页/共133页93,E Xxf x y dxdy 解21033xxGxdxdydxxdy311232002193 ()3()3().5420 xxx dxxx dx ,E Yyf x y dxdy 21033xxGydxdydxydy14033 119()().22 2520 xxdx第93页/共133页942221220,93335xxGE Xx f x y dxdyx dxdydxx dy 22153 2800.D XE XE X2221220,93335xxGE Yy f x y dxdyy dxdydxy dy 22153 2800.D

36、YE YE Y第94页/共133页952101,3.4xxE XYxyf x y dxdyxdxydy (, )Cov X Y()()()EX YEXE Y21919().420400 ,133,153XYCov X YD XD Y 2,143 700.D X YD XD YCov X Y第95页/共133页96协方差、相关系数的性质,.Cov X YCov Y X对称性1212(,)(, )(, )(, )(, ).Cov aX bYabCov X YCov XX YCov X YCov X Y线性性，1.XY第96页/共133页97例4.21 1122(, )Cov c Xc X Y证证明

37、证明11221122()( )E c Xc XE c Xc XYE Y11112222()( )()( )E c Xc E XYE YE c Xc E XYE Y111222()( )()( )c EXE XYE Yc EXE XYE Y1122(, )(, ).cCov X Yc Cov X Y11221122(, )(, )(, ).Cov c Xc X YcCov X Yc Cov X Y第97页/共133页981.,XYt往证:事实上 对任意的实数22222( ) 2( , )( )( , ) ( , )( , )( )2( )( ) ( )( )t D XtCov X YDYCov

38、X YCov X YCov X YD X ttDYD XD XD X22(, )(, )()( )()()Cov X YCov X YD XtD YD XD X22222()() ( )() ( ) 2( )()() D YtXEYtXE YtXEYE Yt XE XEYE YtEYE YXE Xt EXE X第98页/共133页9922(, )(, )()()( )()()Cov X YCov X YD YtXD XtD YD XD X2(, )( )1() ( )Cov X YD YD X D Y(, ),()Cov X YtD X令有2(, )( )()Cov X YD YD X()D

39、YbX2()1XYD Y2,101 .X YX Y因 为 方 差 不 能 为 负所 以第99页/共133页100不相关与独立0XYXY若，则称和不相关.4.6,0,XYX YX Y定理若随机变量相互独立，则即不相关.,(,)()()( )0.0,XYX YCov X YE XYE X E YX Y证若独立，则从而，不相关.第100页/共133页101例21 20 1 2,0, 2;0,0, 2.1()coscos0,2fEXfdd解的 密 度 函 数 为于 是 有0,2 cos,cos(),.XYXY 设服从均匀分布，令这里 是定数，求既不相关、也不独立之例第101页/共133页102 222

40、202211()coscos,221 2.E XfddD XE XE X 所以 220( )0() 1 21 211()cos cos()cos .22E YE YD YE XYa d同理可得：，第102页/共133页103 ,cos .XYCov X YE XYE X E YD XD YD XD Y因此01;XYXYYX当时， 与 存在线性关系.这时,显然有1;XYXYYX 当时， 与 存在线性关系.这时,显然有22201.XYXYXYXY当时， 与 不相关.随机变量 与 不独立,显然有第103页/共133页104例22,X Y设（）的分布律为 X Y -2 -1 1 2PY=i 1 0 1

41、/4 1/4 0 1/2 4 1/4 0 0 1/4 1/2PX=j 1/4 1/4 1/4 1/4,X Y则既不相关、也不独立. 0,5 2.E XE Y易知第104页/共133页1051111111 1242 20,44440.ijijijXYE XYx y p 于是,X YX Y这表明不相关，即表明之间不存在线性关系. 22,121,.P XYP XP YX YYX 然而，由知：不独立，事实上，第105页/共133页106设(X,Y)服从二维正态分布,它的密度函数为2122211221222122()11( , )exp2(1)21()()()2,xf x yxyy 221212(, )

42、(, ).X YN 2121()211( ),2xXfxex 2222()221( ),2yYfyey 第106页/共133页10712(, ),Cov X Y ,.XYCov X YD XD Y221212(,)(,)X YN0.XY则 和 相互独立的充要条件是第107页/共133页108练习P811215121141012;282828282E X 解 10153213012;282828284E Y 323 ()2 ( )EXYE XE Y13323;2463();2814E XY 第108页/共133页109cov(, )()() ( )X YE XYE X E Y3131221914

43、245656222215121164012;282828287E X22221015327012;28282828E Y2241927345()( ),( )( );7228284112D XD Y第109页/共133页110cov(, )5;5()( )XYX YD XD Y 2263min(, )012 0.282814EX Y 第110页/共133页111作业P8111,16第111页/共133页112v大数定律马尔可夫与切比雪夫不等式马尔可夫与切比雪夫不等式依概率收敛与大数定律依概率收敛与大数定律几个常用的大数定律几个常用的大数定律第112页/共133页113马尔可夫与切比雪夫不等式马

44、尔可夫不等式马尔可夫不等式 0.XExPX设(1)是只取非负值的随机变量,(2)且具有数学期望.则对于任意正数，有第113页/共133页114马尔可夫与切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式22222()()1.XE XD XP XP X设随机变量具有数学期望，方差，则对于任意正数 ，有，或第114页/共133页115例23 1/4.12200300.AXAXE XA设在每次试验中，事件 发生的概率为（ ）进行 300次重复独立试验，以 记 发生的次数，用切比雪夫不等式估计 与的偏差小于50的概率.（ ）问是否可用0.925的概率，确信在1000次试验中，事件 发生的次数在到之间第115页

45、/共133页1162501/500.9775.P XE XD X 于是300,1/475,1225/4.XbE XnpD Xnpp解(1)由知，第116页/共133页1172(2)1000,1/ 4250,1375/ 2,200300501/500.925.1000200300XbE XnpD XnppPXPXE XD XA 由知，所以故，在次试验中，可以确信 发生的次数在到之间的概率大于0.925.第117页/共133页118例24 X设随机变量 的概率分布为 X 0.3 0.6 P 0.2 0.80.2 .P XE X试求2220.3 0.20.6 0.80.54.0.30.20.60.80.306,E XE X解于是有第118页/共133页1192220.0144.160.21.0.225D XE XE XD XP XE X 故0.20.540.20.340.740.60.8.P XE XP XPXP X事实上，第119页/共133页120依概率收敛与大数定律依概率收敛依概率收敛1212,lim1.,.nnnnpnY YYaP YaY YYaYa设是一个随机变量序列， 是一个常数，若对于任意正数 ，有则称序列依概率收敛于 ，记为第120页/共133页121依概率收敛与大数定律依概率收敛的意义依概率收敛的意义101,nnnXanxaxa依概率收敛即依概率 收敛. 随机变