第二连续时间系统的时域分析修改PPT课件

1、2.1 引言第1页/共95页一、连续时间系统分析方法连续时间系统连续时间信号输出数学模型输入输出法或端口描述法输入激励信号（t的函数）连续时间信号输入输出响应信号（t的函数）高阶微分方程（t及t的导数）系统分析的任务系统分析的任务：对给定的系统模型和输入信号求系统的输出响应。第2页/共95页二、时域分析法时域法：不通过任何变换，直接求解求解系统的微分微分、积分方程方程。系统的分析与计算全部在时域时域内进行。时域分析法优点：直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析方法的基础。目前计算机技术的发展，各种算法软件的开发，使这一经典的方法重新重新得到广泛的关注和应用。第3页/共95页三、时域分析法手段

2、时域分析法有两种：一种经典法直接求解微分方程；另一种是卷积法；即已知系统的单位冲激响应，将冲激响应与输入激励信号进行卷积积分。第4页/共95页1、经典法经典法求微分方程：求齐次解齐次解和特解特解。经典法着重说明物理意义物理意义。建立自由响应自由响应和强迫响应强迫响应、零输入响应零输入响应和零状态响应零状态响应概念。它使线性系统分析在理论上更完善，为解决实际问题带来方便。第5页/共95页2、卷积法卷积法：用卷积积分只能求到只能求到系统的零状态响应零状态响应。零输入响应仍要用经典法求得。卷积法：物理概念明确，运算过程方便，是系统分析的基本基本方法。是近代计算分析系统的强有力工具。卷积法也是时域与变

3、换域分析线性系统的一条纽带纽带，通过它把变换域分析赋清晰的物理概念。第6页/共95页3、算子符号法微分方程的算子符号表示法：它使微分、积分方程的表示及某些运算简化。也是时域经典法向拉普拉斯变换法的一种过渡。第7页/共95页2.2微分方程式的建立与求解第8页/共95页一、微分方程的建立一、微分方程的建立线性时不变系统数学模型建立线性的常系数微分方程具体系统物理模型也即：按照元件的约束特性及系统结构的约束特性常系数微分方程建立第9页/共95页例2-1)(tvciLiRiRLC) (tisRLC并联电路如图所示RLC并联电路，求并联电路的端电压v(t)与激励源is(t)间的关系。解：把v(t)作为变

4、量，根据元件的电压电流关系有：电阻：)(1)(tvRtiR电感：tLdvLti)(1)(电容：)()(tvdtdCtic)()(1)(1)(22tidtdtvLtvdtdRtvdtdCS将上三式化简得：根据基尔霍夫电流定律有：)()()()(titititiSLRC第10页/共95页二、微分方程的求解二、微分方程的求解 1.微分方程表达式微分方程表达式( )( )e tr t设n阶复杂系统激励信号为，响应信号为1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmd r tdr tdr tCCCC r tdtdtdtd e tde tde tEEEE e

5、tdtdtdt其n阶微分方程为第11页/共95页 、微分方程的经典法全解形式:e(t)注自由项 为代入方程右端化简后的函数式则由时域经典法求解可得其完全解为)(tr)(trh)(trp其中齐次解即由齐次方程的特征方程求出特征根再列写解。由方程右端为零构成的齐次方程而定；)(trh其中特解)(trp根据方程右端激励构成的“自由项”而定。第12页/共95页101CCC0nnn即特征方程为 v、齐次方程的求解、齐次方程的求解0)()()()(11110trCtrdtdCtrdtdCtrdtdCnnnnnn齐次方程为：齐次方程的解为：tAetr)(tAe或函数的线性组合。将其解代入齐次方程：解得此方程

6、的n个根：n,21称为微分方程的特征根。v（1）特征根的求解）特征根的求解第13页/共95页v（2）特征根的情况分析）特征根的情况分析nititntthineAeAeAeAtr12121)(（）特征根各不相同（无重根）（无重根）的情况下，微分方程的齐次解为则相应于1的k阶重根，有k项：kitikitkkkketAeAtAtAtA11221111)()(其中常数A1,A2,An由初始条件决定。（）特征根（有重根）（有重根）的情况下，如1是方程的k阶重根，即：1210122110)()(kniiknnnnnCCCCCC第14页/共95页v例例2-2)()(12)(16)(7)(2233tetrtr

7、dtdtrdtdtrdtd求如下所示的微分方程的齐次解。ttheAeAtAtr33221)()(对应的齐次解为：特征根：3),(221重根解：系统的特征方程为012167230)3()2(2因式分解：其中A1，A2，A3为待定系数。第15页/共95页v4、微分方程的特解、微分方程的特解微分方程的特解特解rp(t)的函数形式与激励信号激励信号的形式有关有关。将激励激励e(t)代入方程式的右端，化简化简后右端函数式称为“自由自由项项”。通过观察自由项观察自由项的函数形式，试选特解函数式试选特解函数式。代入方程，求得特解函数式中的待定系数。即求出特解rp(t)。v（1）求特解的步骤）求特解的步骤第1

8、6页/共95页v（2）几种典型激励信号对应特解的形式）几种典型激励信号对应特解的形式激励函数e(t)响应函数r(t)的特解E（常数）B（常数）cos(t)sin( t)pt1121ppppBtBtBtBtetBe12cos()sin()BtBtcos()ptt etsin()ptt et1111()cos()()sin()ptppptppBtB tBetDtD tDet若表中的特解与齐次解重复特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项：t倍乘倍乘表中特解。表中特解。第17页/共95页v例子例子2-3给定微分方程式)()()(3)(2)(22tedttdetrtrdtdtrdtd;)()1(2tte

9、如果已知：;)()2(tete分别求两种情况下此方程的特解。3221)(BtBtBtrp为使等式两端平衡，设特解函数式：2)(ttett22代入方程右端，得到：解:(1)将321,BBB为待定系数，将此式代入方程：ttBBBtBBtB2)322()34(323212121第18页/共95页等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：032223413321211BBBBBB2710,92,31321BBB联立解得：27109231)(2tttrp特解为：第19页/共95页tpBetr)(tete)(时，设特解为：解:(2)当B为待定系数，将此式代入方程：3132BeeBeBeBettttt特解：t

10、petr31)(系统方程的完全解：titipheeAtrtrtri31)()()(21为待定系数，由边界条件决定。iA第20页/共95页2.3起始点的跳变从0-到0+状态的转换第21页/共95页 一、响应区间在系统分析中，定义：响应区间响应区间：确定激励信号e(t)加入后系统的状态变化区间。一般激励e(t)都是从t=0时刻加入，此时系统的响应区间定为：t0第22页/共95页 二、起始状态系统在激励信号加入前瞬间的一组状态：称为系统的起始状态起始状态，简称0-状态.)0(,)0( ),0( ),0( ),0(11rdtdrrrrnn起始状态包含了计算未来响应的全部“过去”信息。由于受激励的影响，

11、这组状态从t=0-到t=0+时刻可能发生变化。系统0-状态：就是系统中储能元件的储能情况。第23页/共95页 三、初始条件确定系统完全响应：)0(,)0( ),0( ),0( ),0(11rdtdrrrrnn通常为了确定系统的待定系数，须根据系统的0-状态和激励信号情况求出0+的状态。初始条件初始条件：（导出的起始状态）：由响应区间t=0+时刻组成的一组状态：)()()()(1treAtrtrtrpnitiphi式中为待定系数，是由响应区间内t=0+时刻的一组状态确定的。iA第24页/共95页0,C(0 )(,00 )(0 )(0 )(0 )(0 )cLccLLuiuiiLu 定定：储能元件的

12、储能情况或状态当无冲激电流或阶跃电压强迫作用于 时或当无冲激电压或阶跃电流强迫作用实际电路的初始条件于 时或状态00t 决定一般系统：微分方程右端自由项函数式中有无状态的初始条（）及状态件其导数有无跳变 四、初始条件的求取 第25页/共95页 五、冲激函数匹配法 冲激函数匹配法原理：根据t=0时刻微分方程左右两端的(t)及其各阶导数应该平衡相等。系统的0-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t) 及其各阶导数。如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0-到0+状态发生了跳变，即等等或)0( )0( )0()0(rrrr第26页/共95页冲激函数匹配法步骤：函数只匹配(t)

13、及其各阶导数项，使方程两端这些函数项对应相等。（1）先从最高阶项开始匹配；）先从最高阶项开始匹配； 匹配从方程左端r(k)(t)的最高阶项开始，首先使方程右端函数最高阶次项得到匹配。（2）最高阶项匹配好后对低阶项的影响；）最高阶项匹配好后对低阶项的影响； 每次匹配从方程低阶函数项时，如果方程左端所有同阶次函数各项系数之和不能和右端匹配，则由左端r(k)(t)最高阶项中补偿。（3）匹配低阶项。）匹配低阶项。已匹配好的高阶次函数项系数不变。第27页/共95页( )33()(dr tr tdtt设某系统方程(0 )(0 )9rr ( )13dr tdt（ ）法：由方程平衡知必含( )3 ( )r t

14、t含( )9 ( )dr ttdt 方程平衡还含 例子 第28页/共95页9)0()0(brr399abc 由方程平衡求得，则代入方程得)( 3)()()()3()( ttucbtbata)()()()()()( )(tubtatrtuctbtadttdr(2)法：可设第29页/共95页 举例举例2 24 4：v解：(0 )tv如图所示电路，t0时开关S处于1位置且达稳态，t=0时开关S由1位置转向2位置。建立i(t)微分方程并求解。)()()()()()(21tiRdttdiLtvtetvtiRLLcc列回路方程 11R Vte4)(Vte2)(12FC1)(ticHL41)(tiL232R

15、)(tis)()()(tidttdvCtiLc列结点方程第30页/共95页)(4)(6)( e)(10)(7)()(2222tedttdedttdtidttdidttidti的微分方程为整理得212710025 其特征方程为特征根为，eetthAAti5221)(得齐次解为58)()(164)( e0pptiBtiVtt，代入方程得可设特解为，即方程右端自由项为时58)()()(5221eettphAAtititi得完全解为第31页/共95页12(0 )40(0 )(0 )5(0 )(10LeiiRRdiSdt系统的状态为在 位且稳态） 11R Vte4)(Vte2)(12FC1)(ticHL

16、41)(tiL232R)(tis求待定系数。因为第32页/共95页2)0()0(1)0()0()0(1)0(1dtdvdtdeRdtdiiiCdtdvcLc514)0()0(1)0(1cveRi56)0()0()0()()(12LccLciRvvtitv不会发生突变和）法（0求系统的状态有两种方法:第33页/共95页220( )4 ( )( )( )( )710 ( )2( )12 ( )16 ( )te tu te td i tdi ti tttu tdtdt时刻，=2u(t)代入方程 得22( )( )( )( )( )( )( )( )( )d i tatbtc u tdtdi tatb

17、 u tdti ta u t 可设2222( )( )e( )( )2710 ( )64 ( )d i tdi tdtde ti te tdtdtdtdt（ ）法：原方程为用冲激函数匹配法V4V2)(te0t第34页/共95页)(16)(12)(2)()107()()7)(tutttuabctabta（代入方程得1022cba，由两端平衡解得2)0()0()0(514)0()0()0(dtdibdtdidtdiiaii第35页/共95页1212814(0 )55(0 )252-2t-5t128i(t)= Ae+ A e+5iAAdiAAdt 将初始条件代入全解得1523421AA，解得全解中系

18、数为5815234)(52eettti第36页/共95页自由响应：微分方程的齐次解表示系统的自由响应。它是由表示系统特性的特征方程根i决定。又称为系统的“固有频率”（或“自由频率”、“自然频率”）。从系统分析的角度，线性常系数微分方程描述的系统为线性时不变系统。回顾：线性常系数微分方程的经典解法。强迫响应：微分方程的特解表示系统的强迫响应。可见强迫响应只与激励函数的形式有关。v六、自由响应与强迫响应系统的完全响应：由系统自身特性决定的自由响应和与外加激励信号有关的强迫响应两部分组成。)()()(trtrtrph第37页/共95页2.4零输入响应和零状态响应第38页/共95页一、零输入响应与零状

19、态响应一、零输入响应与零状态响应 1.微分方程的求解微分方程的求解 ( )( )e tr t设n阶复杂系统激励信号为，响应信号为1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmd r tdr tdr tCCCC r tdtdtdtd e tde tde tEEEE e tdtdtdt其n阶微分方程为( )( )( )zszir trttr则由物理分解得其完全解为零输入响应零状态响应第39页/共95页101CCC0innnlk如和 分别为特征方程的 个单根和一个 次重根( )zir t其中由激励为零构成齐次方程零输入响应齐次方程的而定即由求出特征根特征

20、方程再列写解(无外加激励作用而仅考虑起始状态产生的响应)(k)(k)ziz1i1r(r ( )0 )r(0 )itkjjjlktiiziijtAB tBAee则其中系数 、 由初始条件而定 2.零输入响应 零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。第40页/共95页( )()( )zszzszspshrrtrttrt 其中由初始态为零时的方程求解而定即零状态响应(无起始状态作用而仅考虑外加激励产生的响应)1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )( ),(0( )()0nnzszszsnn zsnnmmmmmmkzshzsspz

21、d rtdrtdrtCCCC rtdtdtdtd e tde tde tEEEE e tdtdtdtrtrrt其中和分别为如下方程的齐次解和特解 3、零状态响应 零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号所产生的响应。第41页/共95页 4、系统全响应系统全响应的表达式：111( )( )( )kkkntkknnttzikzskkkr tA eB tAeAeB t 自由响强迫响应零状态响应应零输入响应第42页/共95页v 举例举例2.52.5 )()(2)(3)(4)( tftftytyty)()(, 1)0(, 2)0(2tutfyyet已知)(),()

22、,(tytytyzszi求系统的0)(3)(4)( tytytyzizizi解：1）求零输入响应1)0(, 2)0(ziziyy描述某LTI系统的微分方程为第43页/共95页(0 )(0 )2,(0 )(0 )1ziziziziyyyy1212231ziziziziCCCC27,2321ziziCCeettzity35 . 15 . 3)(eetzitziziCCty213)(2124303,1 特征方程为：第44页/共95页22( )4( )3( )2( )3( )ttzszszsytytyttu tee0)0(, 0)0(zszsyy( )2 ( )( )( )( )zszsyttBu t

23、ytBu t2）求零状态响应(0 )(0 )2(0 )2(0 )(0 )0zszszszszsyyyyy 00由起始状态求初始条件，即由求状态。第45页/共95页222( )( )2( )4tttzspzspzspytPytPytPeee 设1232( )3tttzszszsytCCeee22( )( )( )2( )( )ttf tu tftu ttee ( )4( )3 ( )2( )( )y ty ty tf tf t代入方程中：4833PPP 3P( )( )( )zszshzspytytyt又求特解：第46页/共95页121230,362zszszszsCCCC得21,2521zsz

24、sCCeeetttzsty2335 . 05 . 2)(eeetttzszitytyty32433)()()(0 )2(0 )0zszsyy 将：，初始条件代入方程3( )3.51.5ttziytee又第47页/共95页 5.瞬态响应和稳态响应瞬态响应和稳态响应0t 响应瞬态：时,的那部分响趋于应响应分量t 响应中保留下：时,的那部分稳态响应响应分量第48页/共95页 6.系统的线性时不变性系统的线性时不变性 ：描述的系统常系数线性微分方程起仅在时才为线线性时不性时不变变始态为零性且因果的( )r ( )( )r ( )(0 )zskzite ttr 线性线性：零输入响应零状态响应：起始态为零

25、时：激励为响应分解性零状态线性零输入线性线性:零展时扩第49页/共95页练习练习某线性时不变连续系统，其初始状态一定，已知当激励为f(t)时，其全响应为若初始状态不变，当激励为2f(t)时，其全响应为求初始状态不变而激励为3f(t)时系统的响应。1( )cos(),0ty tet t2( )2cos(),0y tt t第50页/共95页2.5 冲激响应与阶跃响应 第51页/共95页 1.冲激响应冲激响应( )h tt 产生（冲激响应：系统激）励零状态响应1011111( )011( )( )( )( )( )( )( )( )(0 )0)nnnnnnmmmmmkmh td h tdh tdh

26、tCCCC h tdtdtdtdtdtdtEEEEtdtdtthd设满足微分方程为第52页/共95页 2.冲激响应求解冲激响应求解 1( )( )nknkktkAunth tme当时， （设特征方程的根为 个单根）()(1)h( )( )( )( ),nmm nm nmttttE 当时，还须含、 、而各项系数由决定( )h t+则为t0 时满足起始态为零的微分齐次方程的解( )( )(0 )0(0 )kkkAhh其中用冲激匹配法由推出求得第53页/共95页( )gutt 产生阶跃响应零：系统激励状态响应( )( )( ),( )tg tg thdddth t可由单位冲激信号特性求阶跃响应即 1

27、0( )11110111( )( )( )( )( )( )( )( )(0 )0)nnnnnnmmmmmmkg td g tdg tdg tCCCC g tdtdtdtd u tdu tdu tEEEE u tdtdtdtg满足微分方程为 3.阶跃响应阶跃响应 第54页/共95页举例举例2.82.8：)(4)(6)( e)(10)(7)(2222tedttdedttdtidttdidttid解：系统的微分方程为： 11R Vte4)(Vte2)(12FC1)(ticHL41)(tiL232R)(tis求例2.4中系统的电流i(t)对激励e(t)=(t)的冲激电流响应h(t)和阶跃响应g(t)

28、.第55页/共95页它的齐次解形式为：22( )( )710 ( )( )6( )4 ( )(0 )(0 )0d h tdh th ttttdtdtdhhdt0)(10)(7)(0thththt时2512( )( )tth tAAu tee求系统的冲激响应h(t)其满足上方程：第56页/共95页)()()()()()()()()()()()( tubtathtuctbtathtudtctbtath可设 利用冲激函数匹配法求h(0+)及其导数h(0+)。由于方程右端自由项(t)的最高阶导数为(t)(4)(6)()()10()()107()()7)( ttttubcdtabctabta （代入方程

29、得第57页/共95页1119abcd 由两端平衡解得，1)0()0()0(1)0()0()0(dtdhcdtdhdtdhhbhh251212( )( )4133tth tAAu tAAee 将初始条件代入解得，）（还将含则，微分方程tEh(t), 1mn2)(3134)()(52tuttheett第58页/共95页tdhtg)()(tttdddee05023134)(2521( )11315( )( )ttu tuuttee)(521513252tueett求阶跃响求阶跃响应应第59页/共95页 举例举例2.9:2.9: 如图所示系统的e(t)、h(t)，求其零状态响应 -1 0 1 t -1

30、 e(t) 1 -1 0 1 2 t -1 h(t) 1 121)(tutute 221)(tututth第60页/共95页 解：微积分性）()()()()(tdhdttdethte121)(ttdttdettduudh)2()(21)(0212ttdd )2()2()(412tututut第61页/共95页21( )( )(1)21( )(2)(2)4e th ttttu tu tu t)2() 1()2()(41) 1()2(21)2()(412122tuttututttuttututt（卷积的分配律）第62页/共95页) 1()2() 1()2()(4121)2(21)2()(41)()

31、(22ttuttututttuttututthte（卷积的交换律）第63页/共95页)3()3() 1(1412323212141)()(22tutututtutututthte（卷积的冲激性）323141123141431212141)(22tttttttrzs第64页/共95页 举例举例2.10: 2.10: )2()()()()()()() 1 ()()()()()()(222111thtetrtrtrtrthtetrtrtrtrzizszizizszi解：)()()(r)()()(2)(r)()(2211trttttetuttuteLTIzite求系统的零输入响应系统已知产生产生)()

32、()()()(2)-(1)2121thtetetrtr得由)()()()()(2thttuttuet第65页/共95页2( )( )( )( )ttu tthdh te解：( )( )( )2( )2( )tth th tttu tee两边求导得etththt2)()(0时，)()(),()(tuthtuAtheetpth方程解为（卷积的阶跃、冲激性）第66页/共95页)()()(tutthmnet又22( )( )( )( )zir tr te th t)()()()(tuttuteett(0 )(0 )10hhA 解：由方程平衡得)()(tuthet即2( )( )r th t第67页/共

33、95页2.8 用算子符号用算子符号表示微分方程表示微分方程第68页/共95页一、算子符号一、算子符号 1.算子符号概念算子符号概念1()PPtdefdefddtd：微分算符，积分算符算符定义01101111( )( )r( )( )( )( )( )( )PnnnnmmmmnCr tCr tCtC r tEe tEe tEe tEPPPtPeP阶系统高阶微分方程的算符表示：第69页/共95页 2.算子符号基本规则算子符号基本规则( )( )D pN p：对算子多项式、可进行，但不能进因式行分解公规则一因子相消ddxyxycdtdtpxpyp 解得如，算子不可消去公因子：算子的不可随意颠倒，且“

34、先除规后乘除顺序则二乘”可相消11pxpxxpp 等于不相等如 算子多项式仅仅是一种运算符号，代数方程中的运算规则有的适用算子多项式，有的不适用，这里提出两条基本规则：第70页/共95页 3.用算子符号建立方程用算子符号建立方程( )( )LpLLv ti tLp：其中为等效电感感抗值元件等效算符的算符表示1( )( )CcCpvti tCp其中为等效电容容抗值的算符表示第71页/共95页 举例举例2.11 + iC(t) Lp - (1) 1/Cp (2) R2 - e(t) R1 i(t) iL(t) 用算符建方程举例：如图1所示系统。画出含算符电路图如图2所示。 11R Vte4)( V

35、te2)( 12FC 1)(ticHL41)(tiL232R)(t is 解：解：)2(0)(1)(1) 1 ()()(1)(121tiCpRLptiCptetiCptiCpRLL列写其回路方程第72页/共95页)2(0)(1)(1) 1 ()()(1)(121tiCpRLptiCptetiCptiCpRLL列 写 的 回 路 方 程 为21211( )( )11310042( )1111111113142e te tCppLpRpCppi tRCpCpppLpRpCpCppp解方程：14123121CLRR第73页/共95页)(46)(10722tepptipp：利用算子符号规则化简)(4)

36、(6)( e)(10)(7)(2222tedttdedttdtidttdidttidppteppppppptepp107)(4611234112341)(1234122第74页/共95页 举例举例2.12:)()(tppA零，求已知系统的起始状态为)()()(tppAtx解：设)()()(2tAtxpp则0)0 ()0 ()()()()()(2xxtAtxtxptxp即dtdp注意：系统的起始状态为零第75页/共95页20( ) ()( )( ) 0tp x tpx tx t 解：时， 、根：此方程有两个特征方程eettAAtx21)(得方程解件函数平衡估算求初始条由微分方程的第76页/共95

37、页2( ) ()( )( )( )p x tpx tx tA t解：)()()()()()()(tAutAutAutA平衡导数关系平衡)()()()()()(2tAutpxtAutAtxp：令即第77页/共95页(0 )(0 )0,(0 )(0 )xxxxA解：AAAAA21210代入解得两个方程式AAAA21,解得)()(tuAtxeett第78页/共95页 4 . 传 输 算 子 概传 输 算 子 概念念用输入输出描述系统时，关心的是输入激励对输出响应的影响，它们之间的关系是通过微分方程形式相联系，即：把响应r(t)与激励e(t)之间关系表示成显式形式：)()()()(tepDpNtr可通

38、过此算子完整地建立描述系统的数学模型。则：)()()(pDpNpH定义为系统传输算子。( )( )( )DnptNrept阶系统高阶微分方程的简式表示：10111011()()nnnnmmmmC pC pCpNDCE pE pEpEpp其 中 算 子 多 项 式第79页/共95页 总结总结本章主要讲授的内容有：连续时间系统的时域分析1、微分方程的建立和求解2、起始点的跳变从0+到0-状态的转换3、零输入响应和零状态响应4、冲激响应和阶跃响应5 、卷积6 、卷积的性质7 、用算子符号表示微分方程第80页/共95页 1.微分方程的建立和求解微分方程的建立和求解连续时间系统的时域分析法：不通过任何变

39、换，直接求解求解系统的微分微分、积分方程方程。连续时间系统的时域分析方法：经典法，卷积法，算子法。( )( )e tr t设n阶复杂系统激励信号为，响应信号为1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmd r tdr tdr tCCCC r tdtdtdtd e tde tde tEEEE e tdtdtdt其n阶微分方程为第81页/共95页v微分方程的经典法全解形式:e(t)注自由项 为代入方程右端化简后的函数式)(tr)(trh)(trp其中齐次解即由齐次方程的特征方程求出特征根再列写解。由方程右端为零构成的齐次方程而定；)(trh其中特解)

40、(trp根据方程右端激励构成的“自由项”而定。强迫响应自由响应第82页/共95页v2、起始点的跳变从0+到0-状态的转换系统在激励信号加入前瞬间的一组状态：称为系统的起始状态起始状态，简称0-状态.)0(,)0( ),0( ),0( ),0(11rdtdrrrrnn起始状态初始条件初始条件：（导出的起始状态）：由响应区间t=0+时刻组成的一组状态：)0(,)0( ),0( ),0( ),0(11rdtdrrrrnn)()()()(1treAtrtrtrpnitiphi它确定系统完全响应的系数：第83页/共95页v冲激函数匹配法 冲激函数匹配法原理：根据t=0时刻微分方程左右两端的(t)及其各阶

41、导数应该平衡相等。系统的0-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t) 及其各阶导数。如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0-到0+状态发生了跳变，即等等或)0( )0( )0()0(rrrr第84页/共95页101CCC0innnlk如和 分别为特征方程的 个单根和一个 次重根( )zir t其中由激励为零构成齐次方程零输入响应齐次方程的而定即由求出特征根特征方程再列写解(无外加激励作用而仅考虑起始状态产生的响应)(k)(k)ziz1i1r(r ( )0 )r(0 )irkjjjlktiiziijtAB tBAee则其中系数 、 由初始条件而定v3.零输入响应和零状态

42、响应 零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。第85页/共95页( )()( )zszzszspshrrtrttrt 其中由初始态为零时的方程求解而定即零状态响应(无起始状态作用而仅考虑外加激励产生的响应)1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )( ),(0( )()0nnzszszsnn zsnnmmmmmmkzshzsspzd rtdrtdrtCCCC rtdtdtdtd e tde tde tEEEE e tdtdtdtrtrrt其中和分别为如下方程的齐次解和特解v零状态响应 零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号所产生的响应。第86页/共95页v系统全响应系统全响应的表达式： 零状态响应零输入响应强迫响应自由响应nk