理论力学课件：点复合题多

1、2 111 点的合成运动的概念点的合成运动的概念 112 点的速度合成定理点的速度合成定理 点的加速度合成定理点的加速度合成定理 第十一章第十一章 点的合成运动点的合成运动 设一圆盘以匀角速度设一圆盘以匀角速度 绕定轴绕定轴逆时针转动，盘上圆槽内有一点逆时针转动，盘上圆槽内有一点M 以以大小不变的速度大小不变的速度 vr = R 沿槽作圆周沿槽作圆周运动，那么运动，那么M 点相对地面的速度和加点相对地面的速度和加速度各是多少？速度各是多少？)( , )(2 RvaRvrrr 在圆盘上观察点在圆盘上观察点M 的运动，的运动，匀速圆周运动：匀速圆周运动：圆盘上的固定点圆盘上的固定点M:)( , )

2、(2 RaRvee 在地面上观察点在地面上观察点M 的运动，的运动，veaear0 reavvv静止不动，静止不动， 没错没错！reaaaa ?411-111-1点的合成运动的概念点的合成运动的概念 一坐标系：一坐标系：1.静坐标系静坐标系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系。简称静系。2.动坐标系动坐标系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系，：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系，称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。运动是相对的运动是相对的，选择恰当的参考体，会使问题的研究得到简，选择恰当的参考体

3、，会使问题的研究得到简化。在化。在不同的参考体上不同的参考体上观察物体的运动会观察物体的运动会有不同的结果。有不同的结果。那么，那么，这些不同的结果，有没有联系呢？这些不同的结果，有没有联系呢？二动点：所研究的点（运动着的点）。二动点：所研究的点（运动着的点）。5三三种运动及三种速度与三种加速度。三三种运动及三种速度与三种加速度。绝对运动绝对运动：动点相对静系的运动。：动点相对静系的运动。相对运动相对运动：动点相对动系的运动。：动点相对动系的运动。例如：人在行驶的汽车里走动。例如：人在行驶的汽车里走动。牵连运动牵连运动：动系相对于静系的运动：动系相对于静系的运动例如：行驶的汽车相对于地面的运动

4、。例如：行驶的汽车相对于地面的运动。 牵连点牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点， 叫牵连点。叫牵连点。点的运动点的运动刚体的运动刚体的运动av动点相对静系的速度与加速度称为动点相对静系的速度与加速度称为绝对速度绝对速度 与与绝对加速度绝对加速度动点相对动系的速度和加速度称为动点相对动系的速度和加速度称为相对速度相对速度 与与相对加速度相对加速度动系上牵连点的速度和加速度称为动系上牵连点的速度和加速度称为牵连速度牵连速度 与与牵连加速度牵连加速度aarvraeveax1y1O11k1i1jM1OrrrarxyOkjiz (M1)绝对运动：绝对

5、运动：jyixra 绝对速度：绝对速度：jyixva 绝对加速度：绝对加速度：jyixaa 其中其中dtdxx 22dtxdx 动点在动点在XY面内运动面内运动71111jyixrr 相对运动：相对运动：1111jyixvr 相对速度：相对速度：1111jyixar 相对加速度：相对加速度：其中其中dtdxx11 2121dtxdx 1Or动系原点的运动动系原点的运动：1ov动系原点的速度和加速度：动系原点的速度和加速度： 、1oa动系的角速度和角加速度：动系的角速度和角加速度： , 8 牵连加速度：牵连加速度：rrOOMOMevraaaaa 11111 牵连牵连（点的）（点的）速度：速度：r

6、OOMOMervvvvv 11111（刚体上点刚体上点M1的速度与加速度的基点法）的速度与加速度的基点法）9动点：动点：动系：动系：静系：静系：AB杆上A点固结于凸轮上固结在地面上已知凸轮的运动，求已知凸轮的运动，求AB杆的运动？如何选动点动系？杆的运动？如何选动点动系？10相对运动相对运动：牵连运动牵连运动：曲线（圆弧）曲线（圆弧）直线平动直线平动绝对运动绝对运动： 直线直线111i1 i1i 11101011limlimjjtitidtiditt 111idtjdj rOarrr 1111111111jyjyixixvdtrdtrddtrdvOreaa rerrOrOavvrvviyjxv

7、vv 1111111j1 j1j 一、速度合成定理：一、速度合成定理：13reavvv 动点的动点的绝对速度绝对速度等于等于牵连速度牵连速度与与相对速度相对速度的的矢量和。矢量和。1111jyixvr rOOMOervvvv 1111二、加速度合成定理：二、加速度合成定理：)(111122212221rOrOaarjyixvdtddtrddtrddtrda )(111111111rrrOrvrjyjyixixa )(1rrrrrOrvrvaa 11ji 11ij jik ijk 15krerrnOMOMOaaavaaaa 2111kreaaaaa )(1rrrrrOrvrvaa 动点的动点的绝

8、对速度绝对速度等于等于牵连加速度、牵连加速度、相对加速度相对加速度及及科氏加速度科氏加速度的的矢量和。矢量和。 rnrraajyixa 1111 rrOOMnOMOOMOevraaaaaaa 111111111kreaaaaa 科氏加速度（科氏加速度（G.G.Coriolis）：）：rkva 2注意：运动研究的注意：运动研究的瞬时瞬时性。性。17 1动点、动系、静系必须都有相对运动。（动点、动系和动点、动系、静系必须都有相对运动。（动点、动系和静系分属于三个不同体）。静系分属于三个不同体）。 2动点对动系的相对轨迹应该明显，已知或可定。（以便动点对动系的相对轨迹应该明显，已知或可定。（以便确定

9、相对加速度的方向）。确定相对加速度的方向）。 3牵连运动尽可能为简单的刚体运动。牵连运动尽可能为简单的刚体运动。rrnrnOMOMOavaaaaaa 2111三动点、动系的选择原则：三动点、动系的选择原则：例如：牵连运动为平动，则：例如：牵连运动为平动，则： rnrOaaaaa 118动点：动点：A（在圆盘上（在圆盘上)动系：动系：OA摆杆摆杆静系：机架静系：机架绝对运动：曲线（圆周）绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线相对运动：直线牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动动点：动点：A1（在（在OA1 摆杆上摆杆上)动系：圆盘动系：圆盘静系：机架静系：机架绝对运动：曲线（圆弧）绝对运动：曲线（圆

10、弧）相对运动：曲线相对运动：曲线牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动19 若动点若动点A在偏心轮上时在偏心轮上时动点：动点：A(在在AB杆上杆上) A（在偏心轮上）（在偏心轮上）动系：偏心轮动系：偏心轮AB杆杆静系：地面地面静系：地面地面绝对运动：直线绝对运动：直线圆周（红色虚线）圆周（红色虚线）相对运动：圆周（曲线）曲线（未知）相对运动：圆周（曲线）曲线（未知）牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动平动平动注注 要指明动点在哪个要指明动点在哪个 物体上，物体上， 且不能选在且不能选在 动系上。动系上。20例例1. 桥式吊车桥式吊车 已知：小已知：小车水平运行，速度为车水平运行，速度为v平平，物

11、块物块A相对小车垂直上升相对小车垂直上升的速度为的速度为v 。求物块。求物块A的的运行速度。运行速度。21速度分析速度分析如图如图2222 vvvvvvreaA平平平平vv 1tg 解：选取解：选取动点动点: 物块物块A动系动系: 小车小车静系静系: 地面地面相对运动相对运动: 直线直线;相对速度相对速度vr =v 方向方向牵连运动牵连运动: 平动平动; 牵连速度牵连速度ve=v平平 方向方向绝对运动绝对运动: 曲线曲线;绝对速度绝对速度va 待求待求由速度合成定理：由速度合成定理：reavvv vrveva22解：解：取取OA杆上杆上A点为动点点为动点（两物体始终（两物体始终接触时，以一物上

12、不便的点为动点）接触时，以一物上不便的点为动点） ，摆杆摆杆O1B为动系，为动系， 基座为静系。基座为静系。例例2. 曲柄摆杆机构曲柄摆杆机构,已知：已知：OA= r , , OO1=l图示瞬时图示瞬时OA OO1 ，求：摆杆，求：摆杆O1B角速度角速度 1速度分析如图速度分析如图绝对速度绝对速度va = r 方向方向 OA相对速度相对速度vr = ? 方向方向/O1B牵连速度牵连速度ve = ? 方向方向 O1B由速度合成定理：由速度合成定理：reavvv 23222sinlrrvvae 11 AOve又又由速度合成定理：由速度合成定理：reavvv 22222112221lrrlrrlrA

13、Ove 24解：取杆上的解：取杆上的A点为点为动点动点， 动系动系与凸轮固连。与凸轮固连。例例3. 已知：凸轮半径已知：凸轮半径R、速、速度度vo 、速度速度ao ，求：，求： =60o时，时， 顶杆顶杆AB 的加速度。的加速度。ovoa动系平动。动系平动。速度合成定理：速度合成定理：reavvv rnrOaaaaa 1动系平动时的动系平动时的加速度合成定理：加速度合成定理：绝对速度绝对速度va = ? , 方向方向 AB ；绝对加速度绝对加速度aa=? ， 方向方向 AB 。相对速度相对速度vr = ? , 方向方向 CA; 相对切向加速度相对切向加速度ar =? 方向方向 CA，速 度 分

14、 析 、速 度 分 析 、 加 速 度 分 析加 速 度 分 析 如 图如 图牵连速度牵连速度ve=v0 , 方向方向 ; Rvarnr/2 , 沿沿CA指向指向C。相对切向加速度相对切向加速度牵连加速度牵连加速度 ae=a0 , 方向方向杆上的杆上的A点为点为动点动点 26 ervv sin0reavvv 向水平轴投影：向水平轴投影：0033260sinsinvvvvoer 00332132cosvvvvra reavvv 向竖直轴投影：向竖直轴投影：27RvRvarnr34/ 202 其其中中将式（将式（a）投影到）投影到 n 法线上，得法线上，得nreaaaa cossin60sin/

15、)3460cos(sin/ )cos(200Rvaaaanrea )38(33200RvaaaaAB 注注加速度矢量方程的投影加速度矢量方程的投影 是等式两端的投影，与是等式两端的投影，与 静平衡方程的投影关系静平衡方程的投影关系 不 同 ！不 同 ！ .n rnrOaaaaa 1（a）28 解题步骤解题步骤1. 选择动点、动系、静系。选择动点、动系、静系。2. 分析三种运动分析三种运动 ：绝对运动、相对运动和牵连运动。：绝对运动、相对运动和牵连运动。kreaaaaa 4. 作加速度分析，画出加速度矢量图，由作加速度分析，画出加速度矢量图，由 求出有关的加速度、角加速度。求出有关的加速度、角加

16、速度。3. 作速度分析，画出速度矢量图；由作速度分析，画出速度矢量图；由 求求 出有关未知量出有关未知量 （速度、（速度、 角速度）。角速度）。reavvv 29O OA AB BC C 例例4.半径为半径为R R，偏心距为，偏心距为e e的凸轮，以角速度的凸轮，以角速度 绕绕O O 轴转动，杆轴转动，杆AB AB 能上下平动且能上下平动且A A点始终与凸轮接触，点始终与凸轮接触，OAB OAB 成一直线，求图示位置时，成一直线，求图示位置时，杆杆 AB AB 的速度。的速度。30O OA AB B C Ce e 选选ABAB杆的杆的A A点为动点，动系固点为动点，动系固结在凸轮上，定系与地球

17、固结在凸轮上，定系与地球固结。结。 从现在起，以后不再在图中从现在起，以后不再在图中画出动系和定系。画出动系和定系。 先请同学来画速度图。先请同学来画速度图。 画速度合成图。画速度合成图。v va a = v = ve e cotcot v ve ev vr rv va a= = OA OA ( (e/OAe/OA) ) = e = e v ve ev vr rv va av ve ev vr rv va a解：解：rkva 22 2rv rva1 例例4. 曲柄摆杆机构，已知：曲柄摆杆机构，已知：O1Ar 、 、 、 1 ，取取O1A 杆上杆上A点为动点，动系固结点为动点，动系固结O2B上，

18、上，试计算动点试计算动点A的科氏加速度。的科氏加速度。evrvav2 速度分析如图速度分析如图karkva22 1122cossin)sin(cossin)sin( rrAOvervark212cos)22sin(2 )cos(1 rvvar)sin( aevvevrvav2 kareavvv 33已知已知: OAl , = 45o 时，时， , , ; ; 求：小车的速度与加速度求：小车的速度与加速度解解： 动点：动点：OA杆上杆上 A点点; 动系：固结在滑杆上动系：固结在滑杆上; 静系：固结在机架上。静系：固结在机架上。 绝对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动， 相对运动：直线运动，相对运

19、动：直线运动， 牵连运动：平动；牵连运动：平动；)( OAlva 方方向向 )( ),( 2OAOlaOAlanaa指指向向沿沿方方向向 铅铅直直方方向向 ? ? rrav., ? ?待待求求量量水水平平方方向向 eeav例例1. 曲柄滑杆机构曲柄滑杆机构34小车的速度小车的速度：evv 根据速度合成定理根据速度合成定理 做出速度平行四边形做出速度平行四边形, 如图示如图示reavvv )(coscos llvvae2245投至投至x轴：轴：enaaaaa sincos45sin45cos2 llae ，方向如图示，方向如图示l )(222 小车的加速度小车的加速度：eaa 根据牵连平动的加速

20、度合成定理根据牵连平动的加速度合成定理renaaaaaa 做出速度矢量图如图示做出速度矢量图如图示。35例例3 曲柄滑块机构曲柄滑块机构已知：已知： h; 图示瞬时 ; 求求: 该瞬时 杆的2 。EOAO21/EO2 ,11rAO3637解解：动点动点:O1A上上A点点; 动系动系:固结于固结于BCD上上, 静系固结于机架上。静系固结于机架上。 绝对运动：圆周运动绝对运动：圆周运动; 相对运动：直线运动相对运动：直线运动; 牵连运动：平动牵连运动：平动; ，水平方向AOrva11 , BCvr /?,?ev38 根据根据 做出速度平行四边形做出速度平行四边形reavvv 再选动点：再选动点：B

21、CD上上F点点动系：固结于动系：固结于O2E上，上，静系固结于机架上静系固结于机架上绝对运动：直线运动，绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，相对运动：直线运动，牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动，)(sin1 rvFa)(/ ?,2EOvFr )( ?,2EOvFe sinsin1rvvae 根据根据做出速度平行四边形做出速度平行四边形FrFeFavvv 211sinsinsinsinrrvvFaFe sin/,222hFOFOveF 又又 312122sinsinsinhrhrFOveF ）（39例例5 刨床机构，刨床机构，已知已知: 主动轮主动轮O转速转速n=30 r/min ，OA

22、=150mm , 图图示瞬时示瞬时, OA OO1求求: O1D 杆的杆的 1、 1 和滑块和滑块B的的 。BBav ,40其中m/s 15. 03015. 0 nOAvarad/s5515.0503.0 m/s 503.0sin11 AOvvveae）(解：解：动点：轮动点：轮O上上A点点动系：动系：O1D , 静系：机架静系：机架根据做出速度平行四边形做出速度平行四边形 。reavvv m/s 506. 0cos)55sin ,552(cos arvv41根据根据krneeaaaaaa 做出加速度矢量图做出加速度矢量图rkavaa122 15. 0 投至投至 方向方向：ka ekaaaa

23、cos222m/s 5518. 0506. 05255215. 0 ea22211rad/s 256515.015518.0/ AOae）(再选动点再选动点:滑块滑块B; 动系动系: O1D; 静系静系: 机架。机架。42根据根据BrBeBavvv 做出速度矢量图做出速度矢量图。,m/s 506. 02 eeBvvm/s 503. 0tg m/s 15. 0cos/ eBrBeBaBBvvvvv 投至 x 轴：kBeBaBaaa cos2222m/s 15. 0552/ )5506. 05536. 0( aBBaa根据根据kBrBneBeBBaaaaaa 做出加速度矢量图做出加速度矢量图2 2

24、m/s5536. 02 eeBaa其中221m/s 5506. 0 503. 0522 rBkBva43例例6 . 套筒滑道机构套筒滑道机构图示瞬时图示瞬时 ， h已知已知, 求求: 套筒套筒O 的的 ， 。av, 解：解：方法方法 1 ： A点作直线运动点作直线运动 tg hxAhxxAA/)2sincos(2 hxhxAA/cos sec22 即即代入图示瞬时的已知量，得代入图示瞬时的已知量，得 2222cos)2sin( , coshvhahv （ ）（ ）请看动画请看动画44对比两种方法对比两种方法（） 222cos)2sin(hvhaOAae ekaaaa cos投至投至 方向：方向

25、：ka cos2sincos2 hvaae hvOAve 2cos/ （ ） 方法方法2：动点动点: CD上上A点，点，动系动系: 套筒套筒O，静系，静系: 机架机架reavvv sin ,coscosvvvvvrae krneeaaaaaa cos2sin2 ,2 hvvaaarkavva 其中45例例4. 导槽滑块机构导槽滑块机构46例例4. 导槽滑块机构，已知：导槽滑块机构，已知： 曲柄曲柄OA= r , 匀角速度匀角速度 转动转动 ， 连杆连杆AB 的中点的中点C 处连接一滑块处连接一滑块C 可沿导槽可沿导槽O1D滑动滑动, AB=l ， 图图示瞬时示瞬时O 、 A 、O1 三点在同一

26、水平线上三点在同一水平线上 ， OA AB ， A O1C = = 3 0 。 求 ： 该 瞬 时求 ： 该 瞬 时 O1D 的 角 速 度 的 角 速 度 解：解：OA, O1D均作定轴转动均作定轴转动, AB作平面运动作平面运动 rvvrvAcB ; 研究研究AB: , 图示位置图示位置, rvA 用合成运动方法用合成运动方法求求O1D杆上与滑块杆上与滑块C 接触的点的速度接触的点的速度 动点动点: AB杆上杆上C (或滑块或滑块C ), 动系动系: O1D杆杆, 静系静系: 机架机架vBvA作作瞬时平动瞬时平动, 所以所以47绝对运动绝对运动：曲线运动，方向：曲线运动，方向 相对运动相对

27、运动：直线运动，方向：直线运动，方向/ O1D牵连运动牵连运动：定轴转动，方向：定轴转动，方向 O1D rvvca ? rv? ev根据，根据，作速度平行四边形作速度平行四边形reavvv rrvvCe2330coscos lrlrCOvCOveDODOe23sin/223 1111 又又 ）(这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题注意这类题的解法，运动理论求解的综合性问题注意这类题的解法，再看下例再看下例48例例5 . 平面机构平面机构49例例5. 平面机构图示瞬时平面机构图示瞬时, O点点在在AB中点中点, =60,BC

28、 AB, 已已知知O,C在同一水平线上在同一水平线上,AB=20cm,vA=16cm/s ,试求该瞬时试求该瞬时AB杆杆, BC杆的角杆的角速度及滑块速度及滑块C的速度的速度解解: 轮轮A, 杆杆AB, 杆杆BC均作平面运动均作平面运动, 套筒套筒O作定轴转动作定轴转动, 滑块滑块C平动平动. 取套筒上取套筒上O点为点为动点动点, 动系动系固结于固结于AB杆杆; 静系静系固结于机架固结于机架,reavvv 所以方向沿所以方向沿AB并且与反向。并且与反向。 从而确定了从而确定了AB杆上与杆上与O点接点接触点的速度方向。触点的速度方向。evrv研究研究AB, O点速度为：点速度为：ve ，A速度如图，速度如图，P1为速度瞬心为速度瞬心0 av由于由于rv沿沿AB,rvevvAevP1vBvC50也可以用瞬心法求也可以用瞬心法求 BC和和vC，很简便，很简便cm/s31631660cm/s32162260cos tgvvvvvBCBBBCcm3103 OBBCBCvBCCB 研究研究BC, 以以B为