高考数学向量试题选讲

1、一、考察向量的基本运算及平面向量基本定理uur1（ 2010 全国卷2 理数）（ 8） V ABC 中，点 D 在 AB 上， CD 平方 ACB 若 CBa ，uur， buuurCA b ， a 12，则 CD（A） 1 a2 b（ B） 2 a1 b（ C） 3 a4 b（ D） 4 a3 b33335555【答案】 B【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.【解析】因为 CD 平分ADCA2ACB ，由角平分线定理得=1DBCB，所以 D 为 AB的三等分点，且 AD2 AB2 (CBCA) ，所以 CD CA+AD2 CB1 CA2 a1 b ，333333故选

2、B.2.(2009 山东卷理 ) 设 P 是 ABC所在平面内的一点，BCBA 2BP ，则（）A. PA PB0B. PCPA0C. PB PC0D. PAPBPC0【解析】 :因为 BCBA2BP ，所以点P 为线段 AC 的中点，所以应该选B 。答案： B。【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则二、考察有关向量的模和夹角的运算1.（ 2010 湖南文数） 6.若非零向量a， b 满足 | a | | b |,(2 a b) b0 ，则 a 与 b 的夹角为A. 300B. 600C. 120 0D. 150 0【答案】 C【命题立意】考查向量的数量积以及夹角公式。2.（

3、2010辽宁文理数） (8)平面上 O,A,B 三点不共线，设 OA=a ,OBb ，则 OAB 的面积等于(A)|a |2 |b |2 ( a b) 2(B)|a |2 | b |2(a b)2(C)1|a |2| b |2(a b)2(D)1|a |2| b |2( a b)222【答案】 C【命题立意】 本题考查了三角形面积的向量表示， 考查了向量的内积以及同角三角函数的基本关系。【解析】三角形的面积S= 1 |a|b|sin<a,b>，而212| b |2(ab)212222| a | a | |b |(ab) cosa, b221 | a |b |1cos2a,b1 |

4、a |b | sina, b223（ 2010重庆理数） (2)已知向量 a， b满足 ab0, a1, b2, ，则2abA. 0B.22C.4D. 8解析： 2ab(2a b) 24a24a bb 28224（ 2010浙江理数）（16）已知平面向量,(0,) 满足1，且与的夹角为 120°，则的取值范围是 _ .解析： 利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解， 本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。5（ 2010江西理数）13. 已知向量 a ， b 满足 a1 ， b2 ， a 与 b 的夹角为 60

5、°，则 ab【答案】3【解析】 考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图aOA, b OB, ab OAOBBA ，由余弦定理得： ab36（ 2010 浙江文数）（13）已知平面向量,1,2,(2), 则 2a的值是答案 ：107.（ 2009辽宁卷理）平面向量a 与 b 的夹角为60 0， a(2,0)， b1则 a2b（A）3(B)2 3(C) 4(D)12【解析】由已知|a| 2,|a 2b|2 a24a· b 4b2 4 4×2×1×cos60° 4 12 a2b2 3【答案】 B8.（ 20

6、09 全国卷文）设非零向量a 、 b 、 c 满足 | a | | b | | c |,abc ，则a,b（ A ） 150°B） 120°（C） 60°（D ） 30°【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。解：由向量加法的平行四边形法则，知a 、 b 可构成菱形的两条相邻边，且a 、 b 为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。三、考察向量的坐标运算及平行、垂直的坐标表示1（ 2010安徽文数） (3) 设向量 a(1,0), b( 1 , 1 ) ,则下列结论中正确的是22(A) ab(B) a b2(C) a / /b(

7、D) a b 与 b 垂直2【解析】 ab = ( 1 ,1 ) ， (ab) b0 ，所以 a b 与 b 垂直 .22【规律总结】根据向量是坐标运算，直接代入求解，判断即可得出结论.2. 2010重庆文数）（3）若向量a(3, m)，b(2, 1)， a b0，则实数m的值为（A）3（B）322（C） 2（D）6解析： a b6m0 ，所以 m =63（ 2010 陕西文数） 12.已知向量 a（ 2， 1）， b（ 1， m），c（ 1， 2）若（ a b）c，则m 1 .解析： ab(1, m1),由(ab) / c得12 (m 1) (1)0 ，所以 m=-14.( 广东卷文 ) 已

8、知平面向量a=（ x,1） ， b=2ab（ x, x ）， 则向量A 平行于 x 轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于 y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线【答案】【解析】 ab(0,12由20及向量的性质可知,C正确.x) , 1 x5.（2009浙江卷文）已知向量 a(1,2) ，b(2,3) 若向量 c 满足 (c a) / / b ，c(a b) ，则 c（）A(7,7)B( 7,7)C(7,7)D( 7,7 )93393993【命题意图】 此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用【解析】不妨

9、设 C(m, n) ，则 ac1m,2n ,a b(3,1)，对于 ca/ b ，则有 3(1m)2(2n) ；又 cab ，则有 3mn0，则有 m7 , n7936.（ 2009 北京卷文） 已知向量 a(1,0), b(0,1), ckab(k R), da b ，如果 c / d ，那么A k 1 且 c 与 d 同向B k 1且 c 与 d 反向C k1 且 c 与 d 同向D k1且 c 与 d 反向【答案】 D【解析】 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法 . 属于基础知识、基本运算的考查 . a1,0， b0,1，若 k1 ，则 c ab1,1 ，d a b1, 1，显

10、然， a 与 b 不平行，排除A、B.若 k1，则 cab1,1， dab1,1，即 c / d 且 c 与 d 反向，排除C，故选 D .7. 2009宁夏海南卷文） 已知a3,2,b1,0，向量 ab 与 a2b垂直，则实数（的值为（A ）11117（B ）（ C）（ D）766【答案】 A【解析】向量ab （ 31，2）， a2b （ 1,2），因为两个向量垂直，故有（ 31， 2）×（ 1,2） 0，即 3 1 4 0，解得：1，故选 .A 。78（ 2010 江苏卷） 15、（本小题满分14 分）在平面直角坐标系xOy 中，点 A( 1, 2)、 B(2,3) 、 C( 2

11、, 1)。(1) 求以线段 AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2) 设实数 t 满足 ( AB tOC )· OC =0 ，求 t 的值。 解析 本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分 14 分。（1）（方法一） 由题设知 AB(3,5), AC(1,1) ，则AB AC (2,6), AB AC(4,4).所以 |AB AC| 2 10,| ABAC |42.故所求的两条对角线的长分别为4 2、2 10。（方法二） 设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E，则 :E 为 B、C 的中点， E（0，1）又 E（ 0， 1）

12、为 A 、D 的中点，所以D（ 1， 4）故所求的两条对角线的长分别为BC= 42 、AD=2 10；（2）由题设知： OC =( 2, 1)， AB tOC(32t,5t) 。由( ABtOC )· OC =0，得： (3 2t ,5t) (2,1)0 ，从而 5t11, 所以 t11 。52AB OC11或者： AB·OC tOC， AB(3,5), t|OC |25四、考察三角形中的向量运算（1 2010 天津文数）（9）如图，在ABC中，ADAB ，BC3 BD ， AD1 ，则 AC AD=（A）2 3（ B）3（C）3（ D）323【答案】 D【解析】本题主要考

13、查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。AC AD|AC| AD |cosDAC | AC | cos DAC | AC |sinBACBC sin B3【温馨提示】 近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。2 （ 2010 湖北文数） 8.已知ABC 和点M满足MAMBMC 0 . 若存在实m 使得AM AC m AM成立，则m =A.2B.3C.4D.5uuuruuur3（ 2010 湖南理数） 4、在 RtABC 中，C =90° AC=4，则 AB AC 等于A、 -16B、 -8C、 8D、 164.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在ABC所在平面内，且OAOBOC , NANBNC0，且 PA PBPB PCPCPA，则点 O，N， P 依次是ABC 的（ A ）重心 外心 垂心（ B）重心 外心 内心（ C）外心 重心 垂心 （ D）外心 重心 内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）解析：由 OAOBOC 知, O为 ABC的外心；由 NANB NC0知， O为 ABC的重心 ;PAPBPBPC，PAPCPB 0， CA