圆锥曲线定义解题

1、巧用圆锥曲线定义法解题摘 要：圆锥曲线是解析几何中的重点，也是高中数学教学过程中的重点章节之一，在教学过程和高考试卷中都占有很大的比例。在历年高考的命题中都是热点和重点之一。圆锥曲线的定义在初高中数学乃至高等数学中，都有广泛的应用。本论文首先对圆锥曲线的定义进行归纳总结概述，运用类比和大量的举例对圆锥曲线概念作了说明；其次给出了利用圆锥曲线定义巧解题的一些方法以及解题过程，然后对利用圆锥曲线定义巧解题中所涉及到的数学思想作了归纳和总结；最后通过调查分析了解了学生在学习利用圆锥曲线定义解题中常出错的地方，并给出了应对方法。关键词：圆锥曲线定义解题方法一、圆锥曲线的定义圆锥曲线包括三类曲线，分别为

2、椭圆，双曲线，抛物线。对于圆锥曲线，国际上总体上有两大类的定义，第一种定义明确的标出了圆锥曲线的三类曲线的特性，第二种定义则概括出了各圆锥曲线的本质上的联系。在数学中，定义是展现数学概念之间区别的强有力的工具，定义反映了数学对象的本质属性和特征，对与数学定义的深刻理解，能够为提高解题能力打下坚实基础。在圆锥曲线中，有相当多的问题是可以化归到运用定义从而得以简捷求解。1.1圆锥曲线的第一定义高中数学教材中对与圆锥曲线给出了两种定义，第一定义展示了三类曲线各自独特性质和几何特征，分别为：椭圆：平面内与两个定点距离的和等于定值的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距。双曲线

3、：平面内与两个定点距离的差的绝对值是定值的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。抛物线：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。几何解析中，用垂直于圆锥锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面稍稍的倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。M与一个定点F的距离与一条定直线 I （点F1.2圆锥曲线的第二定义圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）统一定义：平面内一个动点 不在直线I上）的距离比等于一个常数 e。当0 v e v 1时，动点M的轨迹是椭圆；当 e=1时，动点M的轨迹 是抛物线；当e &

4、gt; 1时，动点M的轨迹是双曲线。圆锥曲线的第二定义，是圆锥曲线定义概念的重要组成部分， 揭示了圆锥曲线之间的内在联系。 学习好圆锥曲线 的定义，不仅是研究圆锥曲线图像与性质的基础， 而且在许多高中数学问题的解题过程中。 具有不可磨灭的特殊 作用。第二定义（又叫做统一定义） 深刻揭露了三类曲线的内在联系，使焦点，离心率，和准线等构成一个统一的整体，它揭示了圆锥曲线定义的本质属性。二、圆锥曲线定义的作用2.1导向作用：充分理解圆锥曲线的定义， 对于很多高中数学以至于以后的高等数学，关于圆锥曲线的问题的解题过程上都有很大的导向作用，可以有助于拓展学生的数学解题思维，启迪解题思路。2.2简化作用：

5、几何学学习中巧用圆锥曲线的定义，能够化简复杂的变形与讨论，从而使问题变得简洁，也有利于学生在考场上轻松解决与关于圆锥曲线考点的相关习题。2.3转化作用：结合曲线圆锥的第一和第二定义，分析具体题目的独特的结构特征，有助于发掘隐含在考题当中的条件，从而使得题目化隐为显，有效解决高考中的圆锥曲线问题。2.4联络问题：对于一些需要多种属性思维和解题方法技巧的题目，圆锥曲线定义可以再其中起到桥梁纽带作用， 使得解题思路更连贯畅通。三、圆锥曲线的方程和圆锥曲线的基本性质3.1圆锥曲线的方程3.1.1椭圆参数方程:cos ; y Ybsi n（为参数）直角坐标（中心为原点）2x2ab223.1.2抛物线 参

6、数方程：x 2 pt （t为参数）2直角坐标：y ax bx c （开口方向为y轴，a 0）双曲线参数方程：x X asec ; y Y btan （为参数）直角坐标（中心为原点）2 2xy2 - , 2ab1 （开口方向为x轴）2 2y x=1（开口方向为y轴）在近几年咼考对于考察圆锥曲线的考题中，大多数都是题目繁琐,且解答过程也很繁杂，但如果能透彻的理解圆锥曲线的定义，并利用定义熟练解题，就会使问题化繁为简,焦占八'、八、F1（-c,0）,F2（c,0）焦点在长轴上F1（-c,0）,F 2（c,0）焦点在实轴上Pf（k，0）2焦点对称轴上I F1F2 | =2c ,I F1F2 I

7、 =2c,焦距c= Ja2 - b2c= Ja2 b22.a x= 土2.a x= 土x=-卫2cc准线与焦点位于顶点准线准线垂直于长轴，且在准线垂直于实轴，且在两两侧，且到顶点的距离椭圆外顶点的内侧.相等离心率ce= ,0 v e v 1ce= ,e> 1e=1aa四、巧用圆锥曲线定义解最值问题4.1. 椭圆第一定义在最值问题中的巧用椭圆第一定义：平面内到两定点Fi、F2的距离之和等于常数2a的动点M的轨迹叫椭圆，即MFj |MF2 2a。2 2例1 :椭圆36 16 1上一点P到两个焦点距离之积为m，求m的最大值，并求出当m取得最大值时P点的分析：此题求坐标。p点到两焦点之积，由不等

8、式性质和椭圆第一定义，可转化为两距离之和来求解。2解：设椭圆36 16 1的左右焦点分别为F1、F2,m PFJ PF2PF1 PF2 10,PFiPF225当且仅当PF1PF2时取等号，此时点 P为短轴的端点。36。所以P的坐标为（0，4）或（0, -4 ）时，m能够取最大值，最大值为考题中考察的是圆锥曲线的最值问题，而且题目中有涉及到圆锥曲线的焦点，我们此时可快速想到这种问题可以运用圆锥曲线的定义来解。此题考察的是动点到两焦点距离之积，从而能够很快速的想到该题能够涉及圆的直线交椭圆于 B点，点P (1 , 0),且BP/y轴，APB的面积为9，求椭圆C的方程;2分析：看似题目考查的是函数问

9、题，按照经验似乎应该做函数求峰值。但如果这样一来，问题会变的很复 杂。但是我们可以巧用椭圆的第一定义，解答就相比较变得简洁许多。1 9解：(1 ) S apb -AP PB又/PAB = 45 ° ,2 2AP = PB，故 AP = BP = 3. VP ( 1,0) , A (- 2,0 ), B (1, - 3)2 22y xb=2，将B点坐标代入椭圆得:得a12，所求椭圆方程为1124如果题目问的是圆锥曲线的最值问题时，如果由题目所给的条件，考虑用圆锥曲线的定义来求解，就能起到化繁为简的效果。在解题中，要注意题目的已知条件，对问题中所给的条件反复推敲，举一反三。假以时日， 以

10、后遇到相同或者相近的习题时，就都可以此类推，下面列出一题，因解法类似，在此就不做解答了。题：已 知两点M(-2, 0), N(2, 0)，动点P(x, y)在y轴上的射影为 H , |PH|是2和PM PN的等比中项.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若以点M、N为焦点的双曲线 C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线 C的方程4.2. 双曲线的第一定义在最值问题中的巧用双曲线第一定义：平面内点 M与一定点F的距离和它到一定直线的距离的比是常数e -，这个点 M的a轨迹是双曲线。定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。2例3 :如图2, M是以A、B为焦点的双曲

11、线X2y2右支上任一点，若点 M到点C (3 , 1 )与点B的距离之和为S,则S的取值范围是()a、V26 血b、V26 2 逅c、726 2屁726 22d、426 逅解：连结MA，由双曲线的第一定义可得：MB MC MA 2a MCMA MC 2 运 AC 2 迈 4262,2 当且仅当A、M、C三点共线时取得最小值。此题充分凸显的用圆锥曲线定义解题的便捷性。我们现将该题延伸(1 )若M点在左支上，则点 M到点与点B的距离之和为S,则S的取值范围是多少?(2)如果M是以A、B为焦点的椭圆1上任一点，若点 M到点C丄，1与点B的距离之差为S,则2S的最大值是多少?(3)如果M是以A、B为焦

12、点的椭圆1上任一点,若点M到点C 1,1与点B的距离之和为2S,则S的取值范围是多少?分析：连结MA ,由椭圆的第一定义可得:MBMC2a MA2aMA WIC丿，当且仅当A、M、C三点共线时取得最大、最小值，如图所示。对于抛物线，也有类似的结论，由于较简单,在此匕就不列举了。x2例4:已知双曲线161内有一点B 6,2 ,F1、F2分别为双曲线左右焦点，P是双曲线右支上的动点，求PF2 PB的最小值。分析：题目可的是 PF2PB的最值问题，若从函数问题着手求最值则显得太过繁琐，我们可以从圆锥曲线定义入手。利用曲线第一定义,PF2 转化为 PF18,而 PB PF1为平面内三点距离之和，当B

13、,P ,F1点共线时有最小值。解:如图，由题意得F, 5,0)、F25,0，有双曲线的第一定义得PF1 PF28所以PF2PBPF2在如图位置时有最小值，即PF1PF| PB当p点在如图2位置时有最小值，当P点ABF J(6 5)2 22 5 5，所以PF2 PB的最小值为环5 8。4.3. 抛物线的第一定义在最值中的巧用抛物线的定义，必须满足的条件是定点需在直线外。如果定点跑到直线上，则平面内与这个定点和定直线距2离相等的点的轨迹是过这个定点与定直线垂直的直线。在抛物线的标准方程y 2px中,p的几何意义是焦点到准线的距离。1、用定义解决的第一类问题：求抛物线标准方程。若已知焦点，准线，顶点

14、，以及抛物线上一点的坐标这四个条件中的任意两个，就可以画出草图求出抛物线 的标准方程。2、用定义解决的第二类问题：已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程。又如，下面的问题涉及到充分把握定义中p的几何意义。例5 :求抛物线x2=2ay（a0）的焦点坐标和准线方程。方程中的字母 a有两种情况：（1） a>0时，抛物线开口向上，2p=2a,p=a,p/2=a/2, 焦点（0,a/2 ）在y轴正半轴上，准线方程：x=-a/2.（2）a<0时，抛物线开口向下，x2=-（-2a）y,2p=-2a,p=-a,p/2=-a/2,焦点（0,a/2）在 y轴负半轴上,准线方程:x=-a/2.这样讨论

15、之后才发现，无论a （a 0）取何值，焦点坐标（0,a/2 ），准线方程：x=-a/2.4.4利用抛物线定义解决的第三类问题：焦半径和焦点弦。抛物线y2 2px上任意一点 M （xo, yo），焦点为F ,线段MF叫做焦半径。 MF X。-2如图。连接 MF，并作MM!垂直于准线I交y轴于点根据抛物线的定义，MF MM i NM X。-2应用：求焦点在x轴上，且点A（-2,3）到焦点的距离是2抛物线y 2px，过焦点的直线 AB交抛物于A,B两点，由上面焦半径公式可知，|AB |AF| BFAB=xi+f+x2+i于是得到焦点弦公式：AB xi x2 p。这个公式m： x -2对于开口方向不同

16、的抛物线要灵活应用,在理解的基础上进行记忆。例6:动点M到A （3,0）的距离比到直线 m : x-2的距离大1，求动点如果用一般求轨迹的方法，解法如下：设M （x, y）,点M到准线m距离为d则，MA=d 1即，产 x 2 1根据图形可知，点 M在直线的右侧，于是去绝对值得.（x 30）2 y2 x 2 1两边平方化简得：y2 12x这样求出来才发现点 M的轨迹是抛物线。我们也可以换一种思路：先判断出轨迹再求方程。如图，作m的垂线交m于N，交直线x -3于M则MA= MN 1 而 MN 1 MM 1 所以 MA = MM 1这样，用语言表述上面的等式是：点M到点A（3,0）的距离等于它到直线

17、 X3的距离，根据抛物线的定义可知，点M的轨迹是抛物线，点 A是焦点，x=-3是准线。所以P 6，抛物线的标准方程是：y2 12x。对比以上两种解题方法，第一种方法是先求出轨迹方程后知道轨迹，第二种方法先判断出轨迹再求解轨迹方程。我倾向于第二种方法，简化了计算，比较简单。当然了，只有在熟练了定义情况下才能做到得心应手。五、圆锥曲线第二定义在最值问题中的巧用5.1椭圆第二定义在最值问题中的巧用圆锥曲线的第二定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问 题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求解。圆锥曲线中涉及到很多最值问题，如果方 法不当

18、，求解过程就很复杂。有些与焦点和准线有关的问题，从第二定义入手，就很容易解决问题。1圆锥曲线第二定义在求最值的形式一般是：PA -|PF的最小值。其中，在曲线C （椭圆，双曲线或抛物e线）内一定点（异于焦点），P是曲线C上的一个动点，F是曲线C的一个焦点，e是曲线C的离心率。椭圆第二定义：平面内动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比为常数e - e 1时，这个a动点的轨迹是椭圆。例7：_2已知 A（ 2, .、3）,F 是162匚 1的右焦点，点M为椭圆的动点，求 MA 2 MF的最小值,12并求出此时点M的坐标。分析：此题主要在于 2MF的转化，由第二定义:匪e 1，可得出2MF

19、d，即为M到L （右准d2线)的距离。再求最小值可较快的求出。解：如图所示，过M作MNI于N , L为右准线：x8，由第二定义,MF|1de，2 MFdMN知:MA MF为“最小”，由图知:MA 2MF MAMN ,要使MA 2MF为最小值，即:当A、M、N共线，即：AMI时，MA 2MF为最小；且最小值为 A到L的距离 10,此时，可设M(X0,V3)，代入椭圆方程中，解得：Xo 2罷 故：当M(2J3,J3)时，MA 2MF为的最小值为10由上我们可以知道，利用椭圆的第二定义解题， 能够使问题转化为点到直线的距离，很容易使题目变得简单。在以后的学习中，看到求点到直线的距离，就要充分理解运用

20、第二定义的思维去解决圆锥曲线相关问题。2 2x y例&设P(Xo,y°)为椭圆牙1,(a b 0)的一点，离心率为e，P到左焦点Fi和右焦点F2的距离分别a b为ri，2 求证：r1a ex0, r2a ex0证明如图，由第二定义:又PF1PF2 2aPF12 a x0ce 即：r1PF1e X。r2 2a r1 2a (a ex0) a ex°2ae(x°)ex0ac主：上述结论r1a ex。，D a ex。称为椭圆中的焦半径公式PF1r1a ex0 由a x0 a 得出 r1 a ea a c且 r1 a e ( a) a c即a cPF1a c当PF

21、1ac时，P为(a,0)当PF1ac时，P 为(a，5.2.双曲线的第二定义在最值问题中的巧用c双曲线的第二定义：平面内点M与一定点F的距离和它到一定直线的距离的比是常数e，这个点 M的a轨迹是双曲线。定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。2ac例9：平面内，点 M (x, y)与定点F(c,0)的距离和它到直线l : x 的距离的比是常数 (c a 0)，ca求点M的轨迹。首先通过几何画板演示，让学生有一个感性的认识，并从中观察出点的轨迹，然后进行求解。解：设d是点M到直线1的距离，根据题意，所求的轨迹就是集合P M|MF |dc ,由此得a(x c)2化简,得(

22、c2 a2 )x2设c2 a2 b2,就可化为2 2a y2xa2/ 2a (c2y_b2a2).1(a0,b 0).这是双曲线的标准方程，所以点的轨迹是实轴长、虚轴长分别为2a、2b的双曲线。2x注:对于双曲线a2y_b71，相应于焦点F (c,0)的准线方程是2，根据双曲线的对称性，相应于焦点cF ( c,0)的准线方程是2，所以双曲线有两条准线。c6436解Qa.648,b.36JPF|c|PF|1022 x 例10 :如果双曲线一1上一点P到双曲线右准线的距离 d等于8，求点P到右焦点F的距离PF。6, c J64 3610即点P到右焦点F的距离PF为10。|PF | 10如上题如何求

23、P到左焦点F'的距离PF'解:方法二：双曲线左支上的点离右准线的距离的最小值2P到左准线的距离 d d 2貝 8c20.8 .由双曲线的第二定义厅匕1d注：通过一题多解巩固双曲线中焦点与准线的例2:已知点A(5,3)，F(2,0)，在双曲线 xPF2a，2a(a) 14.4 c“对应”关系。解： a 1,2 , e= -2 ,a PF -10 16, PF' 268，故P点为双曲线右支上的点,PF20.8 J E2才1上求一点P，使1PA|£| PF |的值最小。设P到与焦点(2,0)相应的准线的距离为d ,2,丄| PF | d即在双曲线上求点 P，使P到定点A的距离与到准线的距离和最小,2显然直线垂直于准线时合题意，且在双曲线的右支上，此时5.3.抛物线的第二定义在最值中的巧用例11 ：设P是y2 4x上的一个动