圆锥曲线工具箱

1、圆锥曲线工具箱1.椭圆:定义：设Fi, F2分别为左、右(上、下)焦点，P为椭圆上任一点,由定义可知:| PF1 | - | PF2 2a (常数 2a | F1F2 |).标准方程及性质：椭圆方程(a2 = b2 +c2)焦占八'、八、坐标离心率通径长准线 方程范围zf1pf2最大时P占八、参数方程备注：(1)在过焦点的弦中，通径最短，长轴最长。(2)标准方程的一般形式：Ax2 + By2=1 ( A 0, B 0, A B)22Xy点P(x,y)是椭圆飞不=1(a0)上任一点，由第二定义推得:ab2 2aa左焦半径：PFi =e(x + )=ex + a；右焦半径：pf2 =e(x

2、)=aex.cc2 e 设/ F1 P f2 = q ，则 P F1 F 2 的面积=b2tan 22.双曲线：定义:|PFi|-|PF2“2a(2a：|FiF2|)标准方程及性质：设 F| , F2分别为左、右(上、下)焦点,双曲线方程(c2 = a2 +b2)焦占八'、八、坐标顶点 坐标离心率通径长准线方程渐近线方程备注：(1) 在过焦点的弦中，弦的两端点在同一支时，通径最短；弦的两端点分别在两支上时，两 顶点间距离(实轴长)是最短的弦。标准方程的一般形式：Ax2 + By2=1 ( A B 0 ).2 2(3)P(x°,y°)是双曲线 务-%=1(a 0,b

3、0)上一点，R (-c,0)巴(c,0 )两个焦点，则:a b左焦半径|PR|=|a+ex0|，右焦半径|PF2|=|a-ex°|(第二定义证)2 0若/ F1P F2=0，则 P F1 F 2 的面积 S=b2 COt "22一 x与2 -a22 = i(a > 0, b > 0)共渐近线的双曲线系方程: b2X2a2y2 = k (k 丰 0) b23.抛物线：定义：标准方程及性质：已知 F是抛物线焦点，p为焦点到准线的距离，过 F的直线交抛物线于 A(Xi，yJ,B(X2，y2)两点，则(2)抛物线上的动点可设为P(2y2p,y )或 P(2pt2,2pt

4、)或 p (x ,y)，其中 y2 =2px，(3)P( Xo, yo)是抛物线上y2 =2px的任一点,F是它的焦点,过焦点 F的直线交抛物线于A Xi, yi , B X2, y2 两点,则 |PF|= Xo+ p .2过抛物线y2 =2px的焦点F的直线交抛物线于A Xi,yi ,B X2,y2 两点，则2P| AB Xi X2 p或| AB | 2 ，二是直线AB的倾斜角 sin廿 过抛物线y2 =2px的顶点o做互相垂直的两弦 OA 0B.通径2p是最短的焦点弦.则直线AB过定点(2p,0).r4.由方程*、F(x,y)= ° 消去 y 侍到 aX +bx*c = 0，+

5、bX-IX2, X-I x2 =a设弦端点A(xi,yj, B(X2, y2)，直线与曲线相交的弦长公式为:ABJ(xi X2)2 +(力一y2)2 = Ji + k2f -4x2 k 为直线的斜率抛物线方程焦占八'、八、准线方程通径焦点弦长备注：(i)注意检查是否为标准型(二次项在左系数1,一次项在右系数不为 0, 一次项为对称轴,一次项系数正负决开口)y = kx + m ，口、2由万柱丿消去x得到ay十by+c = O，也0, k为直线的斜率F（x,y）=o则弦长公式| AB |=+丄（ + y24y°2 k5. 几点提示：（1）记住并会应用椭圆、双曲线的第一、第二定义

6、及抛物线的定义。解决有关圆锥曲线的 焦半径问题时经常联系两个定义。使用第二定义解题时，注意焦点、准线相对应。（2）直线与双曲线有一个交点，可能相切，也可能直线与渐近线平行。直线与抛物线有一 个交点时，可能相切，也可能直线与对称轴平行。（3）解焦点三角形，注意结合圆锥曲线的定义及正弦定理、余弦定理、勾股定理等公式。（4）直线与圆锥曲线相交时的弦的端点坐标、中点坐标及中点轨迹方程等问题用韦达定理 来解决设点而不求点的坐标的方法是解析几何中重要的解题技巧。（5）点差法能得到圆锥曲线的弦的斜率与中点坐标关系。6. 求轨迹方程的常用方法：（1 ）轨迹法或定义法（根据属性，确定动点图形进而求解）；（2）

7、直接法（依据几何条件确定方程中的系数进而求解）；（3）代入法或相关点法（先设动点坐标，然后代入相关的已知曲线方程，进而求解）（4） 参数法（选适当的参数表示动点的坐标，然后消去参数，得到普通方程）。7. 对称问题：（一）关于点的对称（1 ）点 P（Xo, yo）关于点 A（ a, b）的对称点 P 2a - Xo ,2b - yo .（2）曲线关于某点的对称：圆锥曲线F（x,y）=O关于点P（xo,yo）成中心对称的曲线是F（2x°-x,2y。-y） =0.（二）关于直线的对称（1）求点P（xo，y°）关于直线ax byo的对称点Q m, n :m Xo列两个方程.axon

8、 y°yo b特别的，当对称直线的斜率 k =1时，要熟记：点P（xo, yo）关于直线x y0的对称点Q -c - y°, -c -xo ；点P（xo,yo）关于直线x-y 'crO的对称点Q y c, xo c ； 求曲线F（x, y） =0关于直线ax by0的对称问题：（相关点法）注意：熟记一下结论可方便的解决曲线的对称的对称问题。结论1曲线F(x, y) =0关于原点对称的曲线为F -x,-y =0结论2：曲线F(x, y)=0关于y轴对称的曲线为F - x, y =0结论3：曲线F(x, y) =0关于x轴对称的曲线为 F x,-y=0结论4：曲线F(x, y)=0关于直线y=x对称的曲线为F y,xl=0结论5：曲