高中数学必修四数列知识点总结与典例练习

1、暑期补习资料（四）数列专题一、基础知识1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nn*，d为常数)(2)等差中项：数列a，a，b成等差数列的充要条件是a，其中a叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：snna1d.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mn*)(2)若an为等差数列，且mnpq，则amanapaq(m，n，p，qn*)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mn*)是公

2、差为md的等差数列(4)数列sm，s2msm，s3ms2m，(mn*)也是等差数列，公差为m2d.(5)s2n1(2n1)an，s2nn(a1a2n)n(anan1)，遇见s奇，s偶时可分别运用性质及有关公式求解(6)若an，bn均为等差数列且其前n项和为sn，tn，则.(7)若an是等差数列，则也是等差数列，其首项与an的首项相同，公差是an的公差的.(8)若等差数列an的项数为偶数2n，则s2nn(a1a2n)n(anan1)；s偶s奇nd，.(9)若等差数列an的项数为奇数2n1，则s2n1(2n1)an1；.3等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比

3、等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q.(2)等比中项：如果a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项即：g是a与b的等比中项a，g，b成等比数列g2ab.4等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：sn等比数列的相关性质(1)若mnpq，则amanapaq，其中m，n，p，qn*.特别地，若2spr，则apara，其中p，s，rn*.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a1·ana2·an1ak·ank1.(2)相隔等距离的项组

4、成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm(k，mn*)(3)若数列an，bn是两个项数相同的等比数列，则数列ban，pan·qbn和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列(4)当q1或q1且k为奇数时，sk，s2ksk，s3ks2k，是等比数列，其公比为qk.(5)若a1·a2··antn，则tn，成等比数列二、典型例题1(2018·全国卷)记sn为等差数列an的前n项和，若3s3s2s4，a12，则a5()a12b10c10 d122.(2019·武汉模拟)若数列an为等差数列，sn为其前n项和，且

5、a12a33，则s9()a25b27c50 d543.(2019·莆田九校联考)在等差数列an中，若a1，a2 019为方程x210x160的两根，则a2a1 010a2 018()a10 b15c20 d404.设sn为公差不为零的等差数列an的前n项和，若s93a8，则等于()a15 b17c19 d215.在项数为2n1的等差数列an中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于()a9 b10c11 d126.已知正项数列an为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a22，则该数列的前5项和s5()a. b31c. d以上都不正确7.(2019·

6、;豫北重点中学联考)数列an满足a427，an13an(nn*)，则a1()a1 b3c1 d38.(2019·绵阳诊断性考试)设an是由正数组成的等比数列，sn为其前n项和已知a2a41，s37，则s5等于()a. bc. d9.(2019·洛阳尖子生高三第一次联考)在等比数列an中，a3，a15是方程x26x20的根，则的值为()abc. d或10.(2019·丽水模拟)设各项都是正数的等比数列an的前n项和为sn，且s1010，s3070，那么s40等于()a150 b200c150或200 d400或5011.(2019·山东五校联考)已知等差数

7、列an为递增数列，其前3项的和为3，前3项的积为8.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项和sn.12.(2018·全国卷)记sn为等差数列an的前n项和，已知a17，s315.(1)求an的通项公式；(2)求sn，并求sn的最小值13.(2019·济南一中检测)各项均不为0的数列an满足an2an，且a32a8.(1)证明数列是等差数列，并求数列an的通项公式；(2)若数列bn的通项公式为bn，求数列bn的前n项和sn.14.(2019·沈阳模拟)已知sn是等差数列an的前n项和，s22，s36.(1)求数列an的通项公式和前n项和sn；(2)是否

8、存在正整数n，使sn，sn22n，sn3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说明理由15.(2018·全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记sn为an的前n项和，若sm63，求m.16.(2019·兰州诊断性测试)设数列an1是一个各项均为正数的等比数列，已知a37，a7127.(1)求a5的值；(2)求数列an的前n项和17.(2018·全国卷)已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式18.(2019·

9、湖北八校联考)已知数列an满足a11，a24，an24an14an.(1)求证：数列an12an是等比数列；(2)求数列an的通项公式三、数列求和常用方法题型一分组转化法求和若数列的通项为分段函数或几个特殊数列通项的和或差的组合等形式，则求和时可用分组转化法，就是对原数列的通项进行分解，分别对每个新的数列进行求和后再相加减典例(2019·吉林调研)已知数列an是等比数列，a11，a48，bn是等差数列，b13，b412.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和sn.针对训练(2018·焦作四模)已知an为等差数列，且a23，an前4项的和

10、为16，数列bn满足b14，b488，且数列bnan为等比数列(1)求数列an和bnan的通项公式；(2)求数列bn的前n项和sn.题型二错位相减法求和如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.典例(2019·南昌模拟)已知数列an满足n2n.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和sn.针对训练1数列，的前10项之和为_2(2019·临川一中质检)已知等差数列an满足a35，其前6项和为36，等比数列bn的前n项和sn2(nn*)(1)求数

11、列an，bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和tn.题型三裂项相消法求和如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和.典例(2019·湖南十三校联考)已知数列an的前n项和为sn，且sn2ann.(1)证明：数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)记bn，求数列bn的前n项和tn.针对训练1(2019·成都检测)在递减的等差数列an中，a1a3a4.若a113，则数列的前n项和的最大值为()a.b c. d2(2018·潍坊二模)已知等比数列an的前n项和为sn，a12，an>0(nn*)，s6a6是s4a4，s5a5的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)设bnloga2n1，数列的前n项和为tn，求tn.方法技巧1用裂项法求和的裂项原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项2几种常见的裂项方式数列(n为正整数)裂项方式 (k为非零