广东海洋大学10--15第二学期高数试题与答案

1、姓名：GDOU-B-11-3024广东海洋大学2014 2015学年第 二 学期高等数学课程试题课程号:学号：A卷闭卷考查 口 B卷开卷考试题号-一一-二二四五六七八九十总分阅卷教师各题分数241428286100实得分数.填空（3X8=24分）1.设a 二 5, 2, -亿 b = ；、x, 1, 0, a _ b，则 x试题共5页加白纸3张2.设a 二炫 0, -仁，b二0, 1, 0» 贝S a b3.曲面z x2 y2在点（1,1, .2）处的切平面方程为4.将xoz平面上的曲线x272 -1绕x轴旋转一周所得的旋转曲4面的方程为5.函数z = ln(3 x2 y2)的驻点为

2、6.设L为连接（-1, 0）到点（0,1）的直线段，则L（y - x）ds =oO xn7.幂级数.I的收敛半径为8.微分方程y = e a的通解为y二二.计算题（7X 2=14分）1.设z = y In( x2 y2)，求dz .2.设函数z二f（x,y）是由方程z3 - 3yzx二a3所确定的具有2连续偏导数的函数，求,zx :X三. 计算下列积分（7X4=28分）1. (y 一 x2)dxdy，其中D是由y=0, y=xx y - 一 2z = 0 ；及x= 1所围成的闭D区域。(11) k2. 证明曲线积分(o；)(2xy - y 2)dx (x2 2xy)dy在整个xoy平面内 与路

3、径无关，并计算积分值。3. 计算 魁(1 x)dydz +(2 y)dzdx + (3 - z)dxdy ,其中 工 是球面 x2 y2 z 9的外侧。4.计算2dxdy，其中D是由x2 y2 _ 25围成的闭区域。d 1 x y四. 计算题(7X 4=28分)COA1. 判别级数、(-1广一是否收敛？若收敛，是绝对收敛还n 二y/2 + n2是条件收敛？2. 将函数f(x)二丄 展开为x的幕级数。x - 33.求微分方程律2y二6满足初始条件二2的特解4.求微分方程y y = ex的通解。五.证明 p dy ° f(x)dx 二 0(區-x)f(x)dx (6分)2014-2015

4、学年第二学期高等数学A卷(参考答案及评分标准课程号：佃221101 X 2、 填空(3X 8=24分)1. -2 ；2. 1, 0, 2?;4.4. x2y2 z25.(0, 0);6.、27. 3 ;8.9e-xc1xc2计算题(14 分)1.2xy22，x y.y=In( x 2dz2xydx2 2x yln(x2y2)y2x2 y2dy (3 分)2.令F(x, y,z)二z3-3yz（1分），得Fx=1, Fz = 3z2- 3y ,则exFxFz3z2 _ 3y，(4 分)则二；x6zM(3z2 - 3y )26z(3z2-3y)3.(2计算下列积分（1.原式7X 4=28 分)4分

5、10dxx20 (y3分 1 1_x2)dy = 0(1 y2 _ x2y)x2dx01 1 .0匕X )dx22FP2.设只“八。"-2xy，有寸=2x；x-2y ,(4 分)所以曲线积分与路径无关1 原式=.0（1 - 2y）dy =03.设V表示二围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式有(3 分)原式=*2 _旳y®z)dv =.zT08 二4分4. 原式二5drJ0-rdr1 r 2ln( 12)-: ln 26四.1.令Un2 n2，则 Un Un '1,且 limn>Un = 0，所以级数01S（_1）n Tn收敛。（3 分）又limnh2 n21

6、二1，而级数7 发散，所以级数n A noOznJ1发散。（3分）2因此级数oO'、(-1)n1条件收敛。（1分）n2、xn z01：: X(4分)所以 f(x"x_3!（3）nn- x3 ： x ： 3.（ 3 分）3 .设 P(x) = 2, Qx) = 6,P(x)dx_(x)dxI ,则 y 二 e Q x )edxC(3 分)(2 分)代入初始条件得C = -1 ,所以特解为-e_2x(2 分)4.特征方程为r2 r = 0 ,特征根为r10,_'2dx2dxe 6edx C_2x2x=e 3eC(4分)所以对应的齐次方程的通解为y = s c2e设*aex

7、是y ” y '二ex的特解，则 a所以原方程的通解为八S g/ 2e(3 分)五.积分区D域为：0岂y乞二，0岂x辽y ,更换积分次序有x)f (x)dx(6 分)-y-rJl0 dy 0 f(x)dx = 0 dx x f(x)dy° (GDOU-B-11-302广东海洋大学20132014学年第二学期班级：姓名：题号一一一-二二-三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数211428325100实得分数课程号:.填空（3X7=21分）高等数学课程试题考试 A卷闭卷考查口 B卷开卷1.设,箱1,0,-1；,b 0,1,1；，贝S a b 二2. 过点1,1,1且与x轴垂直相交的

8、直线方程为3.过1,0,1与平面x 2y z=1平行的平面方程为学号：4.函数z =x2 y2 -2x的驻点为n xn5.幕级数i 的收敛半径为i =1 6n6.曲线z =x2 2y2, x z = 0在xoy面上的投影曲线的方程为7.微分方程y-y满足y（0） =2的特解为试题共5页加白纸3张二.计算题（7X 2=14分）1.设 z =si，求 dz.y2.设f（x,y）是由方程ez -x y0所确定的具有连续偏导数的函数，求二N.ex cy三.计算下列积分（7X4=28分）1. . x-yd二，其中D是由x轴y轴以及直线2x2所围成的闭D区域。2.证明曲线积分在整个xoy平面内与路径无关，

9、并计算积分值3. 计算口 6xdydz ydzdx 3zdxdy ,其中三是某边长为2的正方体的整个边界曲面的外侧。4.计算De "d二，其中D是由x2 y2 <4围成的闭区域。四. 计算题（8X 4=32分）°o n21. 判别级数二是否收敛。n占e2将函数f（x）=e3x展开为x的幕级数。3. 求微分方程y ： y = 2x的通解。4. 求微分方程y -5y 6y=6的通解。五. 证明 ° dy。、乂二占 in xdx=° 二-xexhs in xdx （5 分）GDOU-B-11-302广东海洋大学20132014学年第二学期高等数学试题参考

10、答案和评分标准考试 A卷闭卷考查口 B卷开卷题号一一一-二三三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数211428325100实得分数.填空（3X7=21分）1. 设，21,0,-仃；0,1,心，贝y a b=_1,-1,1?2. 过点1,1,1且与x轴垂直相交的直线方程为 x = 1,y = z3. 过1,0,1与平面x 2y 1平行的平面方程为 x 2y 3z = 24. 函数z=x2 y2-2x的驻点为1,0 5. 幕级数J x的收敛半径为1n6 n6. 曲线z =x2 +2y2 x + z =0在xoy面上的投影线方程为 _ x2 + x+ 2y = 0, z = 0_7. 微分方程y &#

11、39; -y满足y 0=2的特解为 _ y =2e".计算题(7X 2=14分)1. 设 z =sin ，求 dz.y2. 设z = f (x, y)是由方程ez x yz =0所确定的具有连续偏导数的函 数，求兰三ex dy两边对x求导，(1)1ez y(3):z'z'z1 y 0,:x；:x；xz ： z: zzz两边对y求导，e z y 0,z(3)cy內cye + y三.计算下列积分(7X4=28分)1. . x-y d匚，其中D是由x轴y轴以及直线2x y =2所围成的闭区D0 _ y _2 -2x0 _x _1域。12 -2xdx (x-y)dy解：区域D

12、可表示为(3)(x_y)d 二=13(2 1),oo (x 2y)dx (2x y)dy在整个xoy平面内与路径D2. 证明曲线积分无关，并计算积分值解：设 P =x 2y,Q =2x y,则.2(2)x : y3.所以曲线积分与路径无关2 1 13 原式=o xdx 0 (4 y)dy = 2 计算口 6xdydz ydzdx 3zdxdy（2）（3）,其中匕是某边长为2的正方体(4)的整个边界曲面的外侧解：设V是由匕围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式原式=.,:(6x):x鋼：(3z)dv:y:z=JOdv(1)=10V(2)=1dJ23= 80(1)4.计算ffDex为如，其中D是由

13、x2 + y2兰4围成的闭区域解：区域D在极坐标下可表示为0_2二,0汀乞2，（2）(3)(2)2- 2 r2原= 心 e rdr、0*0= 二 e4 -1四.计算题（8X 4=32分）: 21. 判别级数V nn是否收敛 n =1 e解:所以级数收敛（4）2.将函数f（x）二e3x展开为x的幕级数。n解：ex八- n£ n!:3nxnf (x)二 e3x，一 : : x ：n兰n!3. 求微分方程y、y=2x的通解。解：八y =0的通解为y =ce，(2)设原方程的通解为y=c(x)e，代入方程得c (x) = 2xex，得 c(x) = 2 xec(4)原方程的通解为y =2x_

14、2 ce(2)4.求微分方程y-5y'6y=6的通解。解：特征方程为2-5- 6=0，特征根为 2,，2=3对应的齐次方程的通解为y = cie2x c2e3x(2)y =1是方程的一个特解,(2)原方程的通解为y=1 ye2x C2e3x(2)五.证明 ° dy ° exr sin xdx - - x e sin xdx ( 5 分)证明：设区域D为. .esinxd二° dy 0eDy xsin xdx ( 2)区域D可表示为 0；：x吨HeD71sinxd dx e sin xdy = i i x e sin xdx0x八L广东海洋大学 201220

15、13学年第学期00高等数学课程试题考试 A卷闭卷考查口 B卷开卷题号一一一-二二-三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数211428325100实得分数填空（3X7=21分）1.设，才汀=2o, k?，若 a b =2，则 a b 二2. 过点1,0,1且与平面2x3yz = 2平行的平面方程为 3. 设曲线 L : X =4cost, y =4sin t,（0 岂t 岂 2二），贝卩 Q（x2 - y2）3ds=4. 函数z =1 n . x2 y2的驻点为5. 幕级数f £的收敛域为n 4 3n6. 曲线x2 y2, y z =1在xoy面上的投影线方程为 7. 微分方程 y

16、9;'=sin 2x满足y 0=1 的特解为 二. 计算题（7X 2=14分）x1. 设 z = ey，求 dz.2. 设z二f（x,y）是由方程e2z -2xyz = 0所确定的具有连续偏导数的函数，求三壬ex by三. 计算下列积分（7X4=28分）1. .2x3yd二，其中D是由两坐标轴以及x y=2所围成的闭区D域。2. 设曲线积分（：；（2x ky）dx （x -3y）dy在整个xoy平面内与路径无关，求常数k，并计算积分值3.计算dzdx 4zdxdy,其中是圆锥体z空x2y2,0_z_1的整个表面的外侧4.计算JJD(1 + x2 +y2购，其中D是由x2 +y2兰1围成

17、的闭区域四. 计算题(8X 4=32分)1.判别级数3n二nn是否收敛2.将函数f(x) =xcos2x展开为x的幕级数。3.求微分方程y _y=x的通解4.求微分方程y -3y，2y=2的通解。OCIC30 -+4五. 设级数-un2收敛，证明级数V亠发散 n Tn 蚪 n（5 分）GDOU-B-11-302广东海洋大学20112012学年第二学期高等数学课程试题答案和评分标准:考试 A卷闭卷z :考查 口 B卷 开卷题号一一一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数211428325100实得分数.填空(3X7=21分)1.设，才1,0,-仁；= 42,01，贝S a b 二 , a'

18、;.21,2；2. 过点仆)且垂直于直线宁=七込的平面方程为2(x T) -(y -1) 2(z 1)=03. 设曲线 L:x =3cost,y =3si n t,（0 沉乞 2二），贝: Jx2 y2）ds = 541y4. 改变积分次序 fdxff（x,y）dy = Ldyf（x,y）dx7 n5.幕级数v x的收敛半径为 1n4 2n6.函数z=sin(x y)在点(0,0)处的梯度为d,1?7.微分方程y "二cos3x的通解为y二y -】cos3x qx c29.计算题(7X 2=14分)1.设 z =1 n(1 x2y2),求dz.解:.:z2x2 2，_x 1 x y(

19、2).:z2y(2)dz 二三 dx dy excy2xdx2y22 u入221 x y 1 x ydy(1)2.设 z = f (x, y)是由方程 z3 -xz2 - ye二1所确定的具有连续偏导数的函数，求N =ex dy解：在方程两边对x求偏导数,(1)3z2 辽-z2x得 氐 得 -二'f-.exz z - z-2xz ye 0.x2z(2)3z2 - 2xz yez(1)在方程两边对y求偏导数,C 2 ：zz z z ：z c3z 2xz e ye 0 y_y:y得，：zzey 3z2 _2xz yez三.计算下列积分(7X4=28分)(2)(1)1. I! xyd；二，其

20、中D是由直线y = 0, x = 0以及x y =1所围成的闭区D域。解：区域D可表示为0<y x,0 <x<1,(1)11 _x. .xyd；- 0dx 0 xydyD11 2=x(1-x)2dx 0 2_ 1242.设曲线积分(2)(1)(1 ,2)(0，)(x+ky )dx (x-y)dy在整个xoy平面内与路径无关，求常数k，并计算积分值。解：设P =x，ky,Q =xy,则卫二许 ex(2)卫=1，兰廿，所以k=1.x;y(2)原式=；xdx ：(1 -y)dy =*3. 计算 2xdydz ydzdx 3zdxdy,其中(3)Z是球面x2 y2 z2 =1的外侧。

21、解：设V是由3围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式原式=宀.*卫竺V ex-:y)dv :z(1)v6dv6V(1)4. i icos(x2 y2)d匚，其中D是由x24围成的闭区域。D解：区域D在极坐标下可表示为0 "乞2二,0汀乞2，(2)(3)2 2 _原=0' d。0 cosr |_rdr(1)(1)2兀1si n4dr o 2jrsin4四.计算题（8X 4=32分）1.0判别级数-1是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是4V2 n +1条件收敛。解:(-1)n2n 1°°4=_2发散,n 4 . 2n 1(2)二单调减少，.2 n 11lim0，

22、n-心 J2 n 1(3)所以（T）收敛n1 .2n 1，并且是条件收敛。(3)2.将函数f （x）二xe2x展开为x的幕级数。:n解: exn=o n!(4)e(2x)n心n!(2)n n 1f(x) = xe，n出n!-:：:x ：:(2)3.求微分方程y： 2y =3x的通解解：八2y"的通解为y二ce%，（ 2）设原方程的通解为y=c（x）e“，代入方程得c(x) =3xe2x，得 c(x)二 xe"c(4)原方程的通解为(3)332xy x ce_244.求微分方程y 2y'：-3y =1的通解。解：特征方程为 2 2 一3 = 0 ,特征根为1 = -3

23、, 2 = 1(2)对应的齐次方程的通解为_3xy 二 &exC2e(2)是方程的一个特解，3原方程的通解为 八583_3xxoOcoO五.设级数v Un收敛，证明级数v (Un =1nW)2也收敛n(5 分)(2)Un1 .21二 52 -2 - 2(un2 )n nn(2)0qQ .而J Un2收敛，'A也收敛。n inT n(1)由比较判别法知，原级数收敛。(2)广东海洋大学 20112012学年第 二 学期高等数学试题答案和评分标准课程号:考试口 A卷闭卷考查 B卷开卷题号-一一.二三三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数211428325100实得分数、填空(3X7=2

24、1 分)1.设 a 二1,2,0, b 二1,-1,1，则 a b =2.过点(1,0,1)且与平面x y z-1 =0垂直的直线方程为y2)2ds =3.设曲线 L :x = cost, y =sint (0 Wt W2兀)，贝U J (x2 +4.改变积分次序f dxf f (x,y)dy二¥0“0y / y -5. 函数y = x( _二_ x _二)的傅立叶级数在x=二处收敛于6. 函数z仝寸在点(i,i)处的梯度为7. 微分方程yJsin5x通解为y=二. 计算题(7X 2=14分)1. 设z二，求dz.x +y22. 设z二f(x,y)是由方程z xyez 1=0所确定的

25、具有连续偏导数的函数，求空上.dx dy三. 计算下列积分(7X4=28分)1. 11 (x y) d二，其中D是由直线y = 0, y = x以及x = 1所围成的闭区D域。2. I l sin(x2 y2)d二，其中D是由x2 y2 _1围成的闭区域。D3. 设曲线积分.；：；(x y)dx (kx-y)dy在整个xoy平面内与路径无关，求常数k，并计算积分值4.Q xdydz2ydzdx zdxdy其中匸是区域0沁辽1,0乞八1,0注乞1的整个表面的外侧。四. 计算题(8X 4=32分)1. 判别级数- 空 是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条 n =1 3n件收敛。2.将函数f (x)

26、二x2e3x展开为x的幕级数。3. 求微分方程y=3x的通解。4.求微分方程y " y -2y=x的通解五.设级数-Un2收敛，证明级数J(Un_2)2也收敛n(5 分)nW试题答案和评分标准、填空(3X7=21 分)1.设 a =1,2,0, b 二1,1,1，贝S a b 二-1,a b 二2, -1,-32.过点(1,0,1)且与平面x y z-0垂直的直线方程为x1 y z13.设曲线 L :x =cost,y =si nt(0 乞t 乞 2二)，贝Q(x2 - y2)2ds = 2.4.改变积分次序 fdxj； f(x,y)dy=dy$f(x,y)dx5.函数y = x(

27、一二_ x _二)的傅立叶级数在x=二处收敛于_06.函数z =x2y2在点(1,1)处的梯度为2, 27.微分方程y 'sin5x通解为1y sin 5x c1x c,52解:.计算题(7X 2=14分)1.设xxy2，:z2y2x(x y2)2,dz 二二 dx dy.x:y2y2求dz.(2):z _-4xy：:y (x y2)2(2)- 4xy2、22、2dy(x y ) (x y )2.设z二f(x,y)是由方程z xyez 0所确定的具有连续偏导数的函数，求二工.改cy(1)解：在方程两边对x求偏导数,(1)(4)(2)z zz ；：Z cye xye 0:x；:x(1)得

28、，二占Tex1+ xye在方程两边对y求偏导数,-xez xyezM =0 :y: y(2)-_zz - xe 得，zcy 1 + xye(1)三.计算下列积分(7X4=28分)1. . .(x y) d；，其中D是由直线y =0,D域。以及x = 1所围成的闭区解：区域D可表示为0 _ y _ x,0 _ x _1 ,(1)1 xxyd ：； - ,.0dx 0 (x y)dyD(3)1 3 2=-x dx°：=12(2)(1)2. 11 sin(x2 y2)d二，其中D是由x2 y2 <1围成的闭区域D解：区域D在极坐标下可表示为0“乞2二,0 "岂1 ,2 二.

29、1 2 原= 心 si nr rdr $0$02二 1 1( cos1)d-0 '2 2 &(3)(1)二(1 -cos1)(1)3.设曲线积分(；：(x y)dx (kx-y)dy在整个xoy平面内与路径无关，求常数k，并计算积分值设 P 二 x y,Q 二 kx _ y,贝卩 2 二；:P(2)ex2*兰“，所以k=1(2).x；:y原式=0xdx 0(1 -y)dy=(3)计算 Q xdydz 2ydzdx zdxdy,其4.解:中0 <x <1,0< y <1,0 <z <1的整个表面的外侧。匕是区解：设V是由匕围成的闭区域并表示它的

30、体积，由高斯公式原式型三邓 V ；x:y:z=.V4dv(1)= 4V(2)=4( 1)四.计算题(8X 4=32分)1.判别级数空 是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条n 二 3n件收敛。解：发散，n a 3nn 二 3n丄单调减少，lim丄=0 ,3nn ；：3n所以"m 收敛，并且是条件收敛。(3)n m 3n2.将函数f (x)二x2e3x展开为x的幕级数。(2)(3)解:xn x en=o n!(2)e3啤n=o n!a 3n xn 亡f (x)二 x2e3x，一 : : x ：nn!3.求微分方程y'：-y =3x的通解。解：y -y=O的通解为y=ce，设原方程

31、的通解为y=c(x)ex，代入方程得(4)c (x) =3xe，得 c(x) = -3xe-3ec原方程的通解为y - -3x -3 cex4.求微分方程y y -2y二x的通解。解：特征方程为-22 = o，特征根为 ! - -2, '2 = 1(2)对应的齐次方程的通解为_2xy =Gexc2e(2)是原方程的一个特解(2)原方程的通解为44 Cie_2xx+ C2e(2)a2Unn =1五设级数v Un2收敛，证明级数v (U-2)2也收敛n(5 分)2 .24证： -2unun2nn尹一、22 4Un * 4 ”，2 * 4、 =Un一 2 2(un2)n nnUnI n丿(2)而J Un'收敛，二刍也收敛。 n ：!n z1 n(1)由比较判别法知，原级数收敛。(2)广东海洋大学 2010 2011学年第学期高等数学I课程试题考试 A卷闭卷考查口 B卷开卷题号-一一-二二-三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数214039100实得分数填空(3X7=21分)-I*41已知 a =1,2,3, b =-2 , 1, 4,则 a b =12。2. 过点 A( 1,2,3)和点 B(-2,1,-4 )的直线方程为 x-1_y-2_z-33 一 1 一 7(因为 B