工程力学02基本力系

1、第二章第二章 基本力系的合成与平衡基本力系的合成与平衡迎 面风 力侧 面风 力空间任意力系空间任意力系桌子(空间平行力系)传动轴 (空间任意力系)基本力系基本力系汇交力系汇交力系力偶系力偶系空间汇交力系空间汇交力系平面汇交力系平面汇交力系空间力偶系空间力偶系平面力偶系平面力偶系 汇交力系和力偶系是力系中最简单的力系。工程实际中物体的受汇交力系和力偶系是力系中最简单的力系。工程实际中物体的受力一般都比较复杂，我们可以通过某种方法将复杂力系简化为这两个力一般都比较复杂，我们可以通过某种方法将复杂力系简化为这两个基本力系。基本力系。汇交力系汇交力系是指力系中各力的作用线都汇交于一点的力系。是指力系中

2、各力的作用线都汇交于一点的力系。力偶系力偶系一群力偶的集合。一群力偶的集合。汇交力系是工程中常见的一种简单力系。汇交力系是工程中常见的一种简单力系。例：起重机的吊钩受例：起重机的吊钩受F1、F2 和和F3 的作用，的作用， 这三个这三个力的作用线交于力的作用线交于O点点，构构成一平面汇交力系。成一平面汇交力系。2-1 2-1 汇交力系汇交力系例：如图所示重物，用三例：如图所示重物，用三杆支撑处于平衡，三杆自杆支撑处于平衡，三杆自重不计。则重不计。则O 点所受力点所受力 P , FAO ,FBO ,FCO 构成构成 一一 “空空间汇交力系间汇交力系”，汇交点为，汇交点为O点点。汇交力系是工程中常

3、见的一种简单力系。汇交力系是工程中常见的一种简单力系。 若共点力系中，力的作用线在同一平面内，则称为若共点力系中，力的作用线在同一平面内，则称为平面平面共点力系共点力系(concurrent coplanar force system)。 若共点力系中，力的作用线若共点力系中，力的作用线不不在同一平面内，则称为在同一平面内，则称为空空间共点力系间共点力系(concurrent noncoplanar force system) 。1F2FnFA1F2FnFA共点力系共点力系(concurrent force system):力作用线汇交于一点的力系。力作用线汇交于一点的力系。汇交力系汇交力系共

4、点力系共点力系力的可传性力的可传性合力合力力的平行四力的平行四边形法则边形法则niiFFFFF1n21R作用点过汇交点作用点过汇交点处理的具体方法处理的具体方法几何法几何法解析法解析法“图图”“代数式代数式”AF2F1F4F3一、几何法（矢量法）一、几何法（矢量法）力力多多边边形形设设 为作用在为作用在A点的力系，求其合力点的力系，求其合力,321FFF2112RFFF321RFFFF结论：合力为力多边形的封闭边结论：合力为力多边形的封闭边312RRFFF设设 为作用在为作用在A点的共点力系点的共点力系,21nFFFinFFFFF21R,21RnFFFFA1F2F3F1F2F3FRF1F2F3

5、FRFR12F汇交力系的合成汇交力系的合成iFFRRRcosFFxRRcosFFz二、解析法二、解析法( (投影法投影法) )izziyyixxFFFFFFRRR2R2R2RRzyxFFFFkjiFRzRyRxFFFRkjiFiziyixiFFFxyzARF1F2FnFRRcosFFykjiFiziyixFFFR其中：其中： 是合力矢量是合力矢量 与三个坐标轴的夹角与三个坐标轴的夹角,RF汇交力系的平衡条件汇交力系的平衡条件一、几何平衡条件一、几何平衡条件,R21FFFFn结论：结论：力多边形自行封闭力多边形自行封闭特点：特点：利用几何法（矢量法），便于定性分析平衡问题。利用几何法（矢量法），

6、便于定性分析平衡问题。4F1F2F3FRFiFFR4F1F2F3F0FFiR0二、解析平衡条件二、解析平衡条件0RkjiFRzRyRxFFFizziyyixxF,FF,FFFRRR02R2R2RRzyxFFFF有三个独立的平衡方程有三个独立的平衡方程有两个独立的平衡方程有两个独立的平衡方程结论：满足平衡方程结论：满足平衡方程特点：特点：利用解析法，便于定量分析平衡问题。利用解析法，便于定量分析平衡问题。xyzARF1F2FnF000RRRizziyyixxFFFFFF空间力系空间力系00RRiyyixxFFFF平面力系平面力系例：例：已知物体的重量为已知物体的重量为P，求（求（a a）平衡时铅

7、垂力平衡时铅垂力F， （b b）维持平衡时维持平衡时F 的最小值及其方向（不计构件自重）的最小值及其方向（不计构件自重）BCBBFCCFx040sin30sin000BBxFPFPFBB0040sin30sin045sin65sin000FFFCCxCCFF0045sin65sin090min| )(FFBCFP045020060AD xBBBFABFP030040CCFCDFF065045CCFCDFF065045 例：例：结构如图所示，杆重不计，已知结构如图所示，杆重不计，已知力力P P，求求BC杆的内力和绳杆的内力和绳BD的拉力。的拉力。1F3F2F解：解：研究铰链研究铰链B000zyx

8、FFF空间力系空间力系0sin03PFFzsin3PF 0sincos023FFFxsincos32FF 注意几点注意几点: : 几何法的关键是要做封闭力多边形（所举例题为三角几何法的关键是要做封闭力多边形（所举例题为三角形）。形）。 各力矢量一定要首尾相接。各力矢量一定要首尾相接。 解析法的关键是要列平衡方程，特别注意力投影的正、解析法的关键是要列平衡方程，特别注意力投影的正、负号不要搞错。负号不要搞错。 解题时一定要按照上述解题步骤，一步一步地做，切不解题时一定要按照上述解题步骤，一步一步地做，切不可投机取巧。可投机取巧。 受力图要完整画出，平衡方程要规范。受力图要完整画出，平衡方程要规范

9、。 问题研究问题研究用所学过的知识与方法研究缆车的力学问题用所学过的知识与方法研究缆车的力学问题1. 能研究缆车的哪些力学能研究缆车的哪些力学问题？问题？2. 若研究这些问题，假设若研究这些问题，假设条件是什么？条件是什么？3. 建立力学模型。建立力学模型。4. 给出理论分析与计算。给出理论分析与计算。5. 目前不能解决的问题是目前不能解决的问题是什么？什么？问题的引出问题的引出ABFAFBAFDF问题问题: 如何用数学如何用数学工具描述非共点力工具描述非共点力系对刚体的作用效系对刚体的作用效应应? ?根据牛顿第二定律有根据牛顿第二定律有R1FFaniim设：共点力系设：共点力系,21nFFF

10、作用在质量为作用在质量为 m 的质点上。的质点上。nii1F结论：结论：力系中力系中是反映其作用效应的物理量之一是反映其作用效应的物理量之一AF2-2 2-2 力偶系力偶系力偶力偶(couple)：F,F, F = - F 不共线不共线力偶系力偶系(couple system)：作用于刚体上作用于刚体上 的一组力偶。的一组力偶。一、力对点之矩一、力对点之矩 ( moment of a force about a point )AFBF 在生活和工程实际中，大量存在着力使物体绕某一在生活和工程实际中，大量存在着力使物体绕某一固定点或某一轴转动的现象，因此，引入力矩的概念。固定点或某一轴转动的现象

11、，因此，引入力矩的概念。是力使物体绕某点转动效果的度量是力使物体绕某点转动效果的度量。xyzO1 1、力对点之矩的数学描述、力对点之矩的数学描述（1 1）矢量表示式）矢量表示式FrMOrFOMd问题：问题：已知力已知力 F（矢量）以及该力对矢量）以及该力对 O 点的点的矩矩 M O （矢量）矢量），能否确定力能否确定力F 的作用线？的作用线？FdMO作用效应取决于：作用效应取决于：力矩的大小；力矩的大小； 力的作用线与矩心力的作用线与矩心所 组 成 的 平 面 的 方所 组 成 的 平 面 的 方位位 。力矩的转向；力矩的转向；定位矢量定位矢量:DCOABEMO(F)MA(F)（2 2）解析表

12、示式）解析表示式kjiFkjirzyxFFFzyxzyxFFFzyxkjiFrMOxyzijkrFxyzxFzFyFkji)()()(xyzxyzyFxFxFzFzFyFxyzOzxyOyzxOyFxFxFzFzFyF)()()(FMFMFM2 2、合力矩定理、合力矩定理：则有：则有：)()(1RiniOOFMFM若作用在刚体上的力系存在合力若作用在刚体上的力系存在合力,R21FFFFnxyzO1F2FnFRF1r2rnrRrniii1RRFrFrxyzO1F2FnFRFRr是力使物体绕某轴转动效果的度量力使物体绕某轴转动效果的度量。二、力对轴之矩二、力对轴之矩( moment of a fo

13、rce about an axis )FxyzdFMzod逆时针逆时针，顺时针，顺时针FxyFxyFzF问题：问题：如果已知：如果已知：kjiFkjirzyxFFFzyx如何求力如何求力F 对对 z 轴之矩轴之矩xzijkyFxyFzFyFxFyxzyFxFxyFxyzyFxFM)(F力对轴之矩计算公式力对轴之矩计算公式zxyxFzFM)(FyzxzFyFM)(F问题：问题：力对轴之矩与力对点之矩有什么关系？力对轴之矩与力对点之矩有什么关系？xyOzzxOyyzOxyFxFMxFzFMzFyFM力对轴之矩力对轴之矩力对点之矩在各坐标轴上的投影力对点之矩在各坐标轴上的投影xyzzxyyzxyFx

14、FMxFzFMzFyFM)()()(FFFOzzOyyOxxMMMMMM)()()(FFF结论：结论：力对轴之矩力对轴之矩等于等于力对轴上任意一点之矩在该轴上的投影力对轴上任意一点之矩在该轴上的投影xyzOrFOM 力对任一轴的矩，等于该力对这轴上任何一点力对任一轴的矩，等于该力对这轴上任何一点O的矩矢在的矩矢在这一轴上的投影。这一轴上的投影。力矩关系定理力矩关系定理由于原点和坐标轴可以任意选择，所以上述结论可表述为：由于原点和坐标轴可以任意选择，所以上述结论可表述为：受力情况如图所示，求（1）力对 x，y，z 轴之矩，（2）力 对z轴之矩。OBAabcyxzz222coscbac)()()(

15、111xyxzxxMMMFFF0cos1bF0cos1aF)()()(111xyyzyyMMMFFF0)(1FzMcos)()(22FFAzMMbFMA22)(F应用力矩关系定理，先求力对点A的矩。然后再投影到z轴上。例例 在图示长方体的顶点B处作用一力F，F=700N。分别求力F对各坐标轴之矩，并写出力F对点O之矩矢量Mo(F)。 解解1：力F矢量作用点坐标为：)0 , 3 , 2(),(BzyxB力F矢量在三个坐标轴的投影为：)1405 ,14015,14010(),(zyxFFF力F矢量对三个坐标轴的矩为：)(1415014100014503)(mNzFyFMyzxF同理有：)(1410

16、0)(mNxFzFMzxyF)(0)(mNyFxFMxyzF力F矢量对O之矩为：kFjFiFF)()()()(zyxOMMMM解解2：力F矢量作用点坐标为：)0 , 3 , 2(),(BzyxB)1405 ,14015,14010(),(zyxFFFFrFMO)(zyxFFFzyxkji14501415014100032kjij- i1410014150 作用在物体上的一对大小相等、方向相反且作用作用在物体上的一对大小相等、方向相反且作用线相互平行的两个力称为线相互平行的两个力称为力偶力偶，记作，记作(F, F )。 三、三、 力偶作用效应：可使刚体转动。力偶作用效应：可使刚体转动。FFd力偶

17、作用力偶作用面面力偶臂力偶臂 力偶两个力所在的力偶两个力所在的平面，称为平面，称为力偶作用面力偶作用面。 两力作用线之间的两力作用线之间的垂直距离，叫作垂直距离，叫作力偶臂力偶臂。 力偶使物体转动的力偶使物体转动的方向称为方向称为力偶的转向。力偶的转向。 虽然有虽然有 ，但它既不平衡，也不能，但它既不平衡，也不能合成为一个合力，合成为一个合力，也不能与一个力平衡也不能与一个力平衡。因此，因此，力偶力偶不能与一个力等效不能与一个力等效。力偶只能使刚体产生力偶只能使刚体产生纯转动效应纯转动效应。因此，。因此，力偶是一个力偶是一个基本的力学量！基本的力学量！其作用效果用力偶矩来度量。其作用效果用力偶

18、矩来度量。0FFF 平面力偶平面力偶只能使物体有两个可能的转向，即逆时针转动只能使物体有两个可能的转向，即逆时针转动或顺时针转动。故或顺时针转动。故平面力偶矩平面力偶矩M是是一个代数量一个代数量。1.1.大小；大小；2.2.方向。方向。 力偶矩等于力与力偶臂的乘积，力偶矩等于力与力偶臂的乘积，而而与矩心位置无关。与矩心位置无关。FdM=Fd在空间力偶系的情况下，力偶矩需要用一个矢量在空间力偶系的情况下，力偶矩需要用一个矢量 M 表示表示,矢量矢量M 的长度：表示力偶矩的大小的长度：表示力偶矩的大小；M 的方位：垂直于力偶作用面；的方位：垂直于力偶作用面；指向：按右手螺旋规则，表示力偶的转向。指

19、向：按右手螺旋规则，表示力偶的转向。 空间力偶空间力偶ABFFBAr1.1.力偶矩力偶矩 ( moment of a couple )FABFFF) ()(FMFMMOOOFrFrBA)( FrFrBAFrr)(BABArFrBAddFM M注：注：力偶矩矢量垂直于力偶所在的平力偶矩矢量垂直于力偶所在的平面，其大小和方向与取矩点无关。面，其大小和方向与取矩点无关。OBrAr(3) 符号：符号：M(1) 概念：概念： 用来表示力偶矩的大小、转向、作用面用来表示力偶矩的大小、转向、作用面方位方位的有向线段。的有向线段。(2) 力偶的三要素：力偶的三要素： 力偶矩的大小。力偶矩的大小。 力偶的转向。

20、力偶的转向。 力偶作用面的方位力偶作用面的方位M1M2力偶矩矢力偶矩矢2. 力偶的等效条件和性质力偶的等效条件和性质1 1、力偶的等效条件、力偶的等效条件( (定理）定理）两个力偶等效的条件是它们的两个力偶等效的条件是它们的力偶矩相等力偶矩相等2211FrMMFrDCBA,22FFFF1111FrMBA22FrMDCBAr1MAB1F1FDCr2MCD2F2F2 2、力偶的性质、力偶的性质性质一性质一 力偶不能与一个力等效力偶不能与一个力等效 ,RFFF性质二性质二 力偶可在其作用面内任意移动（或移到另一平行平力偶可在其作用面内任意移动（或移到另一平行平面面),),而不改变对刚体的作用效应而不

21、改变对刚体的作用效应FFxxFFaaaABFFFaaaaABFFF力偶作用面的平移力偶作用面的平移性质三性质三 只要力偶矩矢量的方向和大小不变（只要力偶矩矢量的方向和大小不变（F，d 可变），可变）， 则力偶对刚体的作用效应就不变。则力偶对刚体的作用效应就不变。aaaABF2F2FFF1M2M四、力偶系的合成四、力偶系的合成21FFF21FFF设作用于刚体上的两个力偶设作用于刚体上的两个力偶21,MM,111FFM ,222FFM ,FFMRFrMR) (21FFr21FrFr21MM 结论：结论：两个力偶的合成仍然为力偶，且两个力偶的合成仍然为力偶，且21MMMR1F1F2F2FFFrn1i

22、iMMR222R)()()(zyxMMMMn1in1in1ikjiiziyixMMM平衡的充分必要条件平衡的充分必要条件: :0,R21 MMMMn000zyxMMM空间力偶系空间力偶系的平衡条件：的平衡条件：平面力偶系平面力偶系的平衡条件：的平衡条件： 0M,R21MMMMn作用于刚体上的力偶系合成为一力偶作用于刚体上的力偶系合成为一力偶工件如图所示，它的四个面上同时钻四个孔，每工件如图所示，它的四个面上同时钻四个孔，每个孔所受的切削力偶矩均个孔所受的切削力偶矩均为为80 Nm。求工件所受。求工件所受合力偶的矩在合力偶的矩在x，y，z轴上的投影轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶并求合力偶

23、矩矢的大小矩矢的大小。ksin45icos45M222MMiM44MkM11MjM33M4M561364580561364521342.sin.cosMMMMMMMMzyx所以合力偶矩矢的大小所以合力偶矩矢的大小mN 209222zyxMMMM例例例例 图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1 ，F 1）的矩的矩M1=20 Nm；力偶力偶（F2， F 2 ）的矩的矩M2=20 Nm；力偶力偶（F3 ，F 3）的矩的矩M3=20 Nm。试求合力偶矩试求合力偶矩矢矢M。xzyF1F2F

24、31F3F2F解： 1.画出各力偶矩矢。画出各力偶矩矢。xzy45M145M2M3xzy45M145M2M30321xxxxMMMMmN 2 .11321yyyyMMMMmN 2 .41321zzzzMMMMmN 7 .42222zyxMMMM90, , 0,cosiMiMMMx8 .74, , 262. 0,cos jMjMMMy2 .15, , 965. 0,coskMkMMMz 思考思考：带有不平行二槽的矩形平板上作用一力偶M,今在槽内插入两个固定于地面的销钉，若不计摩擦则：j平板保持平衡 k平板不能平衡 l无法判断 五、力偶系的平衡五、力偶系的平衡平衡的充分必要条件平衡的充分必要条件: :0,R21 MMMMn000zyxMMM空间力偶系空间力偶系的平衡条件：的平衡条件：平面力偶系平面力偶系的平衡条件：的平衡条件： 0MABMOABMO（A）（B）例：例：结构如图所示，已知主动力偶结构如图所示，已知主动力偶 M，哪种情况铰链的约，哪种情况铰链的约束力较小（不计构件自重）。束力较小（不计构件自重）。1 1、研究、研究OA杆杆FFFF2 2、研究、研究AB杆杆ABMOM思考题：思考