动态误差分离与修正方法报告

1、动态测量误差分离与修正方法摘要：动态测量数据与静态测量数据一样，不可避免地存在误差，因此动态测量数据的处理结果也必然存在误差。为了可靠地给出动态测量数据处理结果的精度，必须对动态测量误差及其评定进行分析研究。本文主要论述动态测量误差分离与修正方法中若干关键技术，以及其发展现状和发展趋势，并且阐述一种动态测量误差的新理论和新技术的应用。关键字：动态测量误差 分离与修正 新技术一、 动态测量误差分离与修正方法中若干关键技术1 动态测量的概念与特性1.1 概念测量装置在动态下使用的测量即为动态测量。动态是以测量装置输出变化信号为特征的。根据动态测量的定义，符合下列条件之一的测量过程都是动态测量：被测

2、对象的量值在时域上是变化的；被测对象的量值在时域上是恒定的，但在空间域上是连续或间断变化的，而测量系统处于动态状态下对被测量进行测量；被测对象的量值在时域和空间域上都是恒定的，但与被测对象有关的测量信号是变化的。1.2 特性1.2.1 时空性任何运动的物体都具有时间性和空间性，空间位置的变化必然伴随着时间的推移或变更。从这种意义上说，动态测量所测得量或测量信号时随时间而变化的量看，动态测量数据也表现为测量时间的函数，即动态测量具有时变性，可用时间参数来描述。但对于不同的具体测量对象的测量系统，这种时变性应做广义理解，在有些情况下，它可能用时间参量来描述比较方便，而对于大多数几何量动态测量系统，

3、尤其在数据处理时用空间参量描述更方便，不仅量纲与被测量相同，且数据处理更简单，从这个意义上来说，动态测量具有空间性，所以我们说动态测量具有时空性。1.2.2 随机性动态测量过程难免存在各种干扰，这些噪声表现为随测量时间的随机函数。此外，被测量自身有时也可能是一个随机函数，动态测量是对整个测量信号随机样本空间的被测量随机样本子空间若干个样本的实现，当测量系统对被测量进行采样时，得到的是若干个随机序列。因此，动态测量具有随机性。1.2.3 相关性由于动态测量系统具有一定的动态响应特性，其输出值不仅和该时刻的输入值有关，而且和被测量在该时刻以前的量值变化历程有关。如果被测量是一个瞬态过程，则测量结果

4、也是一个瞬态过程，但是我们不能按时间轴上的对应点以逐点的测量值去估计逐点的被测量，必须从所获取测量值的整体数据推估被测量的量值。即动态测量过程过去的值不仅对现在有影响，而且对将来也有影响。1.2.4 动态性动态测量系统在测量过程中始终处在动态状态，需用微分方程来描述其所输入的含有被测量信息的信号与所输出的动态测量结果之间的关系，或以该动态测量系统内部的状态变量形成的状态方程来描述，还常用与之等价的传递函数或时域上的脉冲响应函数、或频域上的频率响应函数等反映出该测量系统的动态特性。1.3 动态测量误差的定义在理想情况下，动态测量装置在t瞬时与被测对象相互作用，进入测量装置含有被测量信息的信号为x

5、0(t)，经过测量系统的理想变换T0·后，所输出的测量数据信号为y0(t)，即y0(t)=T0x0(t)。同时，对y0(t)也经理想变换D0·而还原出被测量真值Y0(t)，即：Y0(t)D0T0x0(t)。实际的动态测量系统总是达不到理想情况，其实际变换为T·，再考虑到外界扰动和噪声n(t)影响，使其输出的信号为y(t)=Tx0(t)+n(t)。经实际变换D·，测量结果为：Y(t)Dy(t)Y0(t)因此，动态测量误差的定义为：在动态测量过程中，动态测量结果减去被测量的真值。即：Y(t)Y(t)Y0(t)式中：Y(t)为动态测量误差。动态测量误差是由于系

6、统的静态和动态性质不理想以及受外界干扰产生的。2 动态测量误差分离误差修正的关键在于被修正的误差如何从被测量值中分离出来，目前有各种各样的误差分离方法，但不论何种误差分离方法，都有各自的优缺点，要想把测量结果中的误差全部分离出来，这是不可能的，所以一般都要根据精度要求、误差的性质和仪器本身的特点，采用经济有效的分离方法，把对测量结果有较大影响的主要误差分离出来，然后加以修正。误差分离的方法多种多样，常见的有反向法、多步法、多测头法、互比法、混合法、对比法等，但其中只有多测头法、互比法、混合法和对比法能够用于动态测量误差分离。2.1 多测头法多测头法是利用被分离的误差在不同位置具有确定性变化规律

7、的特点，选择适当几个位置安放几个传感器测头，根据各个传感器同时获得的测量信号，经数据处理后，即可将误差分离出来。三测头法分离圆度误差三侧头法测量公式：A= r+e()cosB=r+12+e()cos(12-)C=r+12+23+e()cos12+23-aS=C1A+C2B+C3C()S= C1r+C2r+12+C3r+12+23+e(cosC1+C2cos12+C3cos(12+23)+sinC2sin12+C3sin(12+23)2.2 互比法互比法是利用被测件与测量系统中的某部件具有相同性质的特点，通过相互比对和数据处理的方法，分离出测量系统中该部件产生的误差。两只圆光栅通过离合器连在一起

8、同轴转动进行互比，其中一只为被测件A，另一只B与被测光栅具有同样的圆周刻度数，但不要求有更高的精度，以光栅B的零位脉冲作为测量的起始标准，对两路光栅信号进行比相处理，得到两者的转角差函数1（）。然后松开离合器，将被测光栅A转过角重新合上离合器，按同样的方法在做一次回转测量，得到另一个转角差函数2（）。设光栅B的误差信号为SB().光栅A的误差信号为SA(),则可以列出转角差函数1=SA-SB()2=SA+-SB()另D=1-2(),可得D=SA-SA(+).假设光栅一周的刻线数为N，令正整数k=N2,m=N2,则离散化得Dk=SAk-SA(k+m),进行傅里叶变换得FSn=FDn1-ejnm

9、(n=1,2,3N-1),做离散反傅里叶变换得SAk=IDFTFS(n) (k=1,2,3N-1),由此可分离出被测件和圆光栅部件的误差。2.3 混合法混合法实际上是多测头法的变形。它是利用几个不同的测头，分别接收不同的信号，再经数据处理分离出误差。2.4 对比法对比法基本原理是用高一级精度的标准量或仪器对被修正的量进行比对测量，从而分离出相应的误差值。对比法是常用的误差分离方法，如用双频激光干涉仪测量导轨的直线度误差等，对比法要求选用的高精度标准量的不确定度U0必须与被测对象的精度相匹配，一般应满足U0(13-15)Ui。2.5 标准量插入法对于非稳定动态测量系统，不仅动态测量误差中的随机性

10、成分随着时间的推移不断变化，而且由于测量条件的变化，测量装置结构状态发生改变，动态测量误差中的系统误差成分也在不断的变化。也就是说，对非稳定动态测量系统，它的系统误差和随机误差变化规律在测量前是未知的，一般不可能采用事先标定的方法对其系统误差进行标定，求出系统误差的变化规律，在以后的测量中对其进行修正。对于这种非稳定动态测量系统，必须采取实时误差分离方法，分离其系统误差和随机误差。标准量插入法即可实时分离出系统误差和随机误差。标准量插入法的基本思想是：在测量过程中插入若干个标准量或标准信号，为动态测量提供标准比对点，并实时地与测量系统的输出进行比对，求出动态测量在标准点的系统误差与随机误差综合

11、值，再根据信号处理技术，求出动态测量系统误差和随机误差的变化规律，对动态测量误差进行实时修正。3 动态测量误差修正误差修正的目的就是要修正测量结果中的大部分系统误差成分，并尽可能修正其随机误差成分。系统误差修正的研究起步较早，修正效果也最显著，目前应用最多，但随着精密制造技术的发展和对测量精度的要求，很多测量装置中的系统误差已不是影响测量结果误差的主要成分，而测量结果中的随机误差成分有事含量更大。因此，随机误差修正或系统误差与随机误差综合修正，尤其是综合修正是当前误差修正技术研究的发展方向。3.1 系统误差修正系统误差具有确定性的变化规律，即对测量结果的影响有一定规律，且对于大多数动态测量系统

12、在一定的时间内具有相当的稳定性。对于系统误差的修正，可按如下步骤进行：首先采用误差分离技术，分离出系统误差；然后建立相应地系统误差数学模型；最后制成误差修正板，或存入计算机中，在测量时对测量结果进行修正。在系统误差修正的过程中，利用数字采样技术所获得的测量结果和测量误差都是离散值。为了能够在整个量程范围内对被测量结果的值进行修正，必须根据离散采样获得的有限误差值建立误差修正数学模型，即拟合为一定的误差曲线，以满足对任意测量值进行误差修正。3.1.1 插值法线性插值法线性插值法是最简单的一种插值方法。线性插值法是用已知测得的误差点为拟合直线的端点，相邻两误差点拟合成一条误差直线，由此形成数条端点

13、相连的误差直线。对Yk-1和Yk两点之间的任意位置进行线性内插，即：（k-1<t<k）分段多项式插值法分段多项式插值法是取测量值左右若干点，（常取总点数不大于6个，以避免发生“振荡”），拟合成一个代数多项式，再用内插的方法求出要修正的误差值。常用的有：拉格朗日插值多项式。（k-1<t<k）样条插值法样条插值法是用已知误差点为节点，相邻两节点间用多项式拟合，在每个节点处的拟合曲线连续光滑，整个拟合曲线为由分段多项式组成的连续函数，并准确地通过每个节点。常用的样条插值法为三次样条拟合。3.1.2 最小二乘拟合法利用误差分离技术所获得的系统误差数据，如果收到干扰很大，所得的数

14、据本身不一定可靠，甚至个别数据严重失真时，用最小二乘拟合法比较可靠。它可以设法构造出一条曲线反应所给出误差数据变化的总趋势，以消除其局部波动，但缺点是损失了已知可靠数据点的精度。最小二乘法的基本思想是：对于用误差分离技术分离出来的系统误差数据Yk,Yk,k=0,1,2,3n,求一个拟合函数Yt=fY(t),使得拟合误差的总误差：Q=K=0nYk-f(Yk)最小。最小二乘法拟合的函数有多种多样，有直线拟合，代数多项式拟合，分段多项式拟合，样条函数拟合，指数函数拟合，三角函数拟合。应根据具体的测量系统系统误差变化规律来选取，选取时应能充分反映系统误差变化的特点。实际上，当分离出来的系统误差受到随机

15、干扰，含有随机误差时，常用的回归分析方法，这也是最小二乘拟合方法的具体应用。3.2 随机误差修正对随机误差的修正，常用两种方法，一种是多样本总体平均法，另一种是单样本建模法。前一种方法常用于可重复性的测量，它的基本原理是根据多次重复测量，得到测量结果的多个样本值或样本函数，然后通过加权平均法，在总体上减少随机误差。这种方法常用于静态测量中，且要求随机误差具有零均值。在动态测量中常用建模法，通过建立随机误差的数学模型，找出随机误差的变化规律，并存入计算机中，在测量时对测量结果进行修正。建模的方法有非实时建模和实时建模法，非实时建模法又可分为测量前预先家默默法和测量后数据处理建模法。测量前预先建模

16、法用于在标准条件下的稳定的动态测量系统，它的随机误差模型参数具有稳定性，在相当长的时间内基本不变，因此随机误差的模型可事先建立好，并存入计算机中，在测量时对测量结果进行修正。测量后数据处理法是在测量中先对被测量和误差惊醒采用长时间非稳定的动态测量，因为在测量时由于时间较长，测量系统的标准状态可能发生变化，因此随机误差的建模参数是可变的，测量前不可能对其进行预测。实时建模法也常用于工作在非标准状态下的测量系统，这时影响测量结果的随机误差原因是时变的，因此测量结果中的随机误差的变化规律也在不断发生变化，即随机误差的模型或模型参数是时变的，必须采取实时建模法才能对随机误差进行实时修正。对动态测量随机

17、误差进行实时修正样本值，对现在或未来的测量误差进行预报估计，求出误差修正量。随机误差的建模有多种方法，总的来说都是利用信号处理技术建立误差的数学模型，如相空间重构法、实时建模法、自适应滤波法、神经网络建模法等等。4 分离与修正方法中关键技术的发展现状及发展趋势误差分离与修正技术是提高动态测量精度的有效和经济的途径，由于动态测量系统的复杂性，增加了误差分离的难度，对特定的测量系统需选择和设计一个经济有效的分离方法，各种误差分离方法都有一定的针对性，其应用范围和实现方法也存在着局限性。1国内外很多学者对误差分离技术进行了研究，提出了很多实用有效的方法，如多步法、反向法、多测头法、互比法、混合法和标

18、准量对比法等。时序分析、神经网络、灰色理论和小波分析等现代数学方法成功应用在动态误差的建模和预报修正中。由于计算机的普及，误差分离与修正技术得到了新的飞跃，不仅使其理论得到了进一步的完善，而且，它不再停留在理论计算阶段，而是与计算机的快速计算、处理能力相结合，并应用在实际的生产线上，进行实时误差分离与修正。目前国内外的研究重点是复杂测量系统多因素误差修正和动态实时误差修正的理论与应用问题，并已取得了一定的成果。当动态测量系统在非标准工作条件下测量时，由于受各种干扰因素的作用，测量系统会产生较大的附加系统误差和随机误差，误差的变化规律在测量前是无法预知的，这种情况下可以采用离散标准量插入法实时分

19、离动态测量系统误差与随机误差来提高测量精度。这种方法的测量原理可用图1表示，由图1可用看出输出信号中有一附加量，即为所要修正的误差。为了分离出所要修正的误差，输出信号可用表示成离散形式：式中，为时的采样值；为采样间隔或采样步长。因此，针对要修正的动态测量误差，按采样定理，选择合适的采用步长，对输出信号进行采样，并设法在测量过程中插入相应已知的值与输出信号的采样值进行对比，则可分离出离散化的动态测量误差，然后用信号重构技术，恢复测量误差信号，并对测量误差进行修正。误差分离与修正技术能够以低成本有效提高测试系统及仪器的精度，目前得到普遍应用，并成为测试仪器的重要组成部分。动态误差分离与修正难度大、

20、代价高，因此研究低成本、高精度且行之有效的动态实时误差分离与修正技术，是提高仪器动态测量精度所需要迫切解决的问题。图1标准量插入法误差分离示意图50年代以前，误差修正技术在计量测试和仪器制造中已开始应用。但在后来几十年内的发展一直很缓慢。直到70年代末以来，由于计算机的广泛应用，使误差修正得以快速发展。总的来说，误差修正经历了两个阶段：机械修正阶段和计算机修正阶段。机械修正方法修正误差项数少，范围小，精度不高，且限于系统误差和静态误差。随着计算机在测量仪器上的应用，误差修正技术逐渐发展到高水平现代化阶段，采用微机软件系统来修正误差。其特点是项数多，范围大，精度高，并可同时进行包括系统误差和随机

21、误差的全面误差修正和动态误差修正。二、 一种动态测量误差的新理论1 理论概述1.1 课题名称动态测量误差的希尔伯特黄分解1.2 简介针对傅立叶变换、小波变换等方法在分解动态测量误差时存在的不足，即选用不同的基函数会导致不同的分解结果，提出了基于希尔伯特-黄变换（HHT）的动态测量误差分解方法。该方法不需要选取基函数，可以自适应地分解动态测量误差信号；对一个混联式动态测量系统建立了全系统误差模型，并用该方法对测量系统的总误差信号进行了分解；与傅立叶变换、小波变换的分解结果相比，希尔伯特-黄变换的分解结果更准确，与测量系统的误差理论模型基本一致。2 希尔伯特-黄变换分解方法希尔伯特-黄变换多分辨分

22、析法分解动态测量误差分两个步骤进行：首先利用经验模式分解（EMD）方法将给定的信号分解为若干本征模态函数（IMF），这些 IMF是满足一定条件的分量；然后，再利用希尔伯特(Hilbert)变换和瞬时频率方法获得信号的时频谱。2经验模态分解方法是 HHT的核心部分，也就是通过将信号分解表示成许多单分量信号之和。在EMD分解过程中，强调本征模态函数需要满足如下两个条件：在整个数据序列中，极值点的数量与过零点的数量必须相等或最多只相差 1 个；在任一时刻，由极大值点定义的上包络线和由极小值点定义的下包络线的均值为零，也就是说信号的上下包络线对称于时间轴。满足以上条件的基本模式分量被称为本征模态函数(

23、IMF)。通过EMD算法把复杂的动态测量误差f(t)分解成有限个本征模态函数，获得分解结果：ft=i=1ncit+rn(t)式中：ci(t)为分解成的n个IMF分量，i=1,2,n;rn(t)为分解后的残余分量。信号经分解得到IMF分量后，可以对每一个分量作希尔伯特变换，得到其瞬时频率和幅度。设对IMF分量ci(t)进行Hilbert变换后得到ci(t):cit=1P-ci()t-d式中：P为柯西主值，i=1,2,n。从而由ci(t)和ci(t)可以得到解析信号ZI(t):Zit=cit+jcit=ai(t)eji(t)式中，ai(t)为幅值函数，表示在每个采样点信号的瞬时能量幅值，ait=c

24、i2t+ci2(t)；i(t)为相位函数，表示在每个采样点信号的瞬时相位，it=arctanci(t)ci(t)。幅值函数ai(t)的时频分布定义为ci(t)的Hilbert谱，对i(t)求导可得瞬时角频率it=di(t)dt。综合上述两步，动态测量误差信号可以表述为f,t=i=1nai(t)eji(t)dt f(,t)的图像是一个时间-频率-能量三维分布图，可以准确地描述信号幅值在整个频率段上随时间和频率变化的规律。3 动态测量误差的希尔伯特-黄分解近年来，许多学者对动态测量误差的分解与溯源进行了深入研究，提出了熵分解、神经网络、傅里叶变换和小波变换等方法。但是，采用熵评价和分解误差时，无法

25、具体分解出每一项误差；神经网络方法在已经动态误差信号频率组成的前提下，可以分解信号的周期成分，但在应用时会因网络设计不当、初始值选取等问题而使分解结果陷入局部最小值，难以控制；傅里叶变换适合于分解平稳信号，无法分解非平稳的动态测量误差信号；小波变换在非平稳信号分解方面具有较大优势，但是，选用不同的基函数会导致不同的分解结果，小波基的选取问题成为小波变换应用的瓶颈。希尔伯特-黄变换（HHT）是近年发展起来的一种新的时频分析方法，该方法不用选取基函数，可以自适应地分析非线性、非平稳信号。希尔伯特-黄变换多分辨分析法分解动态测量误差分两个步骤进行：首先利用经验模式分解（EMD）方法将给定的信号分解为

26、若干本征模态函数（IMF），这些IMF是满足一定条件的分量；然后，再利用希尔伯特（Hilbert）变换和瞬时频率方法获得信号的时频谱。3经验模态分解方法是HHT的核心部分，也就是通过将信号分解表示成许多单分量信号之和。在EMD分解过程中，强调本征模态函数需要满足如下两个条件：在整个数据序列中，极值点的数量与过零点的数量必须相等或最多只相差1个；在任一时刻，由极大值点定义的上包络线和由极小值点定义的下包络线的均值为零，也就是说信号的上下包络线对称于时间轴。满足以上条件的基本模式分量被称为本征模态函数（IMF）。4通过EMD算法把复杂的动态测量误差分解成有限个本征模态函数，获得分解结果：式中：为分

27、解成的n个IMF分量，；为分解后的残余分量。信号经分解得到IMF分量后，可以对每一个分量作希尔伯特变换，得到其瞬时频率和幅度。设对IMF分量进行Hilbert变换后得到：式中:P为柯西主值，。从而由和可以得到解析信号：式中：为幅值函数，表示在每个采样点信号的瞬时能量幅值，；为相位函数，表示在每个采样点信号的瞬时相位，。幅值函数的时频分布定义为的Hilbert谱，对求导可得瞬时角频率。综合上述两步，动态测量误差信号可以表达为的图像是一个时间-频率-能量三维分布图，可以准确地描述信号幅值在整个频率段上随时间和频率变化的规律。5全系统动态精度理论建模方法是在充分考虑了动态测量系统内部结构参数所确定的

28、系统单元和总体传输关系的基础上，从全面误差分析入手，以传递链函数的形式建立全系统动态测量误差模型。该方法能够反映系统内外各环节的特性变化对输出总误差的影响，可为改进仪器设计，保证测量精度提供重要依据。6图1 混联式动态测量系统结构仿真一混联式动态测量系统结构，如图1 所示。根据全系统动态精度理论的建模原理，整个系统的传递链函数可表示为式中：为各单元传递函数，。假设系统各单元的误差为，测量系统的输出端还受到标准差为0.2的白噪声的干扰，则系统总误差“白化”模型为（1）假设系统由二阶环节、线性环节和周期环节组成，各环节的传输特性及误差表达式如下：根据式（1）可得（2）由式（2）可见，该系统输出的总

29、误差主要由5个信号组成：趋势项，线性调幅1Hz信号，2Hz信号，25Hz信号，白噪声。以100Hz的采样频率对仿真的总误差信号（2）在内进行采样，结果如图2所示。图2 动态测量总误差仿真数据为了消除白噪声对信号分解结果的影响，先对原始仿真信号进行数字滤波处理，再对去噪后的信号采用镜像延拓技术进行希尔伯特-黄变换分解，分解得到主要的本征模态函数（IMF）、残余分量及其时频分析结果分布如图3（a）和（b）所示。从图3可以看出，总误差信号主要由三个周期信号和一个趋势信号组成，频率分别为25Hz，2Hz和1Hz。其中，1Hz周期信号的振幅具有趋势性变化。HHT分解出来的残余分量（residue）由二次样条拟合得；imf4是一个调幅信号，对其进行调制解调可得；对imf3和imf2分别作频谱分析，则有；imf1是信号的高频成分，作统计分析可知。图3 动态测量总误差数据去噪后HHT分解结