特殊四边形的性质和判定定理

1、特殊四边形的性质和判定定理名称性质判定平行四边形A D B A C D1、对边平行且相等。2、对角相等。3、对角线互相平分。4、是中心对称图形。5、S=a b（a、b 分别表示底和 这一底上的高）推论： 三角形的中位线平 行于三角形的第三边，并且等 于第三边的一半。1、两组对边分别平行的 四 边形 叫做平行四边形。 （定义）2、两组对边分别相等的 四 边形是平行四边形。3、对角线互相平分的 四边 形是平行四边形。4、一组对边平行且相等的 四边形 叫做平行四边形。矩形ABDC矩形除了具有平行四边形的所 有性质外，还有以下性质：1、四个角都是直角。2、对角线相等。3、既是中心对称图形， 又是轴 对

2、称图形。4、S= a b（ a、 b 分别表示长和 宽）推论： 直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一 半。1、有一个角是直角的 平行 四边形 叫做矩形。2、对角线相等的 平行四 边形 是矩形。3、有三个角是直角的 四边 形 是矩形。菱形A D CB菱形除了具有平行四边形的所有质外，还有以下性质：1、四条边都相等。2、两条对角线互相垂直。 并且每一条对角线平分一组对角。3、既是中心对称图形， 又是轴 对称图形。4、S= a b（ a、 b 分别表示两条 对角线长。）1、有一组邻边相等的 平行 四边 形叫做菱形。（定义）2、对角线互相垂直的 平行 四边形 是菱形。3、边相等到的 四边形 是 菱形。

3、正方形ADCB除了具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质外， 还有以下性质：1、对角线和边的夹角是 45o。2、S= a2（ a 表示两边长。）1、一组邻边相等的 矩形 是 正方形。2、有一个是直角的 菱形 是 正方形。3、对角线相垂直的 矩形 是 正方形。4、对角线相等的 菱形 是正 方形。等腰梯形B A DB C1、两腰相等。2、同一底上的两个角相等。3、对角线相等。4、轴对称图形1、对角线相等的 梯形 是等 腰梯形。2、同一底上两个角相等的 梯形是等腰梯形。梯形中常见辅 助线例 1 如图， E、F分别为正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的一点， AM EF，垂足为 M，若 AM=AB

4、，求证： EF=BE+CF例 2 已知：如图，正方形 ABCD 中，延长 AD 到 E，使 DE=AD ，再延长 DE 到 F，使 DF=BD ， 连接 BF 交 CD 于 Q ，交 CE 于 P。求证 PD=PQADEFPQCB在正方形中 ABCD ADB=DBC= BDC=45 o DF=BD DBF= DFBADB= DBF+ F => DBF= DFB=22.5 o=> QBC=45- DBF=45-22.5=22.5 o=> DQP= BQC=90- QBC=90-22.5=67.5 oDE=AD=DC DCE=45 oEPF= BPC=180- PBC- BCD-

5、 DCE=180-22.5-90-45=22.5 o=F EP=EFDF=BD=EC EP=EF PC(EC-EP)=DE(DF-EF)=DC又 DCP=45 o QDP=(180- DCP)/2=(180-45)/2=67.5 o= DQPPD=PQ例 3 如图，在 ABCD 中， ABC=75 °， AF BC 于 F，AF 交 BD 于 E，若 DE=2AB ，求 AEDD例4 如图，在梯形 ABCD 中， AB CD，以 AC、AD 为边作 ACED ，DC 的延长线交 BE四边形 ACED 是平行四边形 O 是 AE 的中点在梯形 ABCD 中，DC AB ，在 EAB 中

6、，OFAB， 又O是AE 的中点， F 是 EB 的中点， EFBF.例 5 如图，以 ABC 的 AB 、AC 为边向形外做正方形 ABDE 和正方形 ACFG ，AM 是 ABC 的中线，连接 EG 。求证 EG=2AMF延长 BA 至点 H , 使得 BA=AH对三角形 EAG 和三角形 HAC,因为 EA=AH,AG=AC , 角EAG=90+ 角 HAG=角 HAC,所以两三角形全等 ,得 EG=CH又因为 M 是 BC 的中点 ,所以 AM 是三角形 HBC 的中位线 ,得 CH=2*AM 所以得 AM=二分之一 EG多边形一、选择题1. （安徽）如图， D 是 ABC 内一点，

7、BDCD，AD=6，BD=4， 别是 AB、AC、CD、BD的中点，则四边形 EFGH 的周长是（C10ABCD 中，点山东威海）在2.CD=3， E、F、G、H 分 ）D11D9题图FE 为 AD 的中点，连接 BE，交 AC 于点 F ，则 AF：CFA1：2B1：3C 2：3D2：53.江苏泰州）四边形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O，给出下列四组条件：ABCD，ADBC； AB=CD，AD=BC；AO=CO，BO=DO； ABCD，AD=BC其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有A1组B2 组C3 组D4 组4. （重庆市潼南）如图，在平行四边形ABCD 中（

8、AB BC） ，直线 EF经 过 其 对 角 线的交点 O, 且分别交 AD 、BC 于点 M 、N，交 BA、DC 的延长线于点 E、 F，下列结论： AO=BO ； OE=OF ； EAM EBN ； EAO CNO ，其中正确的是A. B. C. D.5. （广东东莞 , ）正八边形的每个内角为（）A120°B135°C140°D144°6. （浙江省， 8，3 分）如图，在五边形ABCDE 中，BAE=120°,B=E=90°， AB=BC，AE=DE，在 BC，DE上分别找一点 M,N，使得 AMN的周长最小时，则 AMN+

9、 ANM的度数为（ ）A. 100B110C. 120D. 1307. （浙江省舟山）如图，五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形 EFGH （不重叠无缝隙）若四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形 ABCD 面积是11cm2，则四个平行四边形周长的总和为（）A ） 48cm（B） 36cmC）24cm（ D） 18cm第 10 题）8. （山东德州）图1 是一个边长为1 的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图 2），依此规律继续拼下去（如图3 ），则第 n 个图形的周长是图1A）2n（B）4

10、n（C）2n1（D）2n 29. （山东泰安）如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1， S2，则 S1+S2的值为A.17B.17C.18D.1910. （浙江杭州）在矩形ABCD 中，有一个菱形 BFDE（点 E，F分别在线段 AB，CD 上），记它们的面积分别为 SABCD 和 SBFDE 现给出下列命题：（若 SABCD2 3SBFDE，则 tanEDF3 若 DE2 BD?EF,则 DF32AD则:A 是真命题，是真命题B是真命题，是假命题C是假命题，是真命题D，是假命题，是假命题11. （浙江温州）如图，在矩形ABCD 中，对角线 AC，BD

11、交于点O已知AOB= 60°，AC 16，则图中长度为菱形的面积是）3，则这个8 的线段有 （ ）6条A12cm2B 24cm2C 48cm2D 96cm213. （重庆江津，10 ，4 分）如图 , 四边形 ABCD中,AC=a,BD=b,且 AC BD,顺次连接四边形ABCD各边中点, 得到四边形 A1B1C1D1, 再顺次连接四边形 A1B1C1D1 各边中点 , 得到四边形A2B2C2D2 ,如此进行下去 , 得到四边形 AnBnCnDn. 下列结论正确的有 （ ）四边形 A2B2C2D2 是矩形 ;四边形 A4B4C4D4 是菱形 ;四边形 A5B5C5D5的周长 a b

12、;4B. C.A.ab四边形 AnBnCnDn 的面积是 ab2D.n114. （四川乐山9，3 分）如图（ 5），在正方形 ABCD 中， E、F分别是边 BC、CD 的中点，AE 交 BF 于点 H，CGAE 交 BF 于点 G。下列结论： tanHBE=cot HEB BC BGCG BF BC CF BH=FG 2.其中正确的序号是CF 2 GFA B C D15. （湖北襄阳， 10， 3分）顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边 形 ABCD 一 定是A.菱形B. 对角线互相垂直的四边形C. 矩形D. 对角线相等的四边形16. （山东滨州， 12，3分）如图,

13、在一张 ABC 纸片中, C=90°, B=60°,DE是中位线 , 现把纸片沿中位线 DE 剪开 ,计划拼出以下四个图形 : 邻边不等的矩形 ;等腰梯形 ;有 一个角为锐角的菱形 ;正方形 .那么以上图形一定能被拼成的个数为 （ ）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题17. （浙江金华， 15，4分）如图，在 ABCD 中， AB3，AD 4， ABC 60°，过 BC 的 中点 E 作 EF AB，垂足为点 F，与 DC 的延长线相交于点 H，则 DEF 的面积是OE 3cm，则 AD 的长是 cm19. （山东临沂， 18，3 分）如图， ABCD 中，

14、 E 是 BA 延长线上一点， AB AE，连结 CE交 AD 于点 F，若 CF平分BCD，AB3，则 BC 的长为 20. （四川广安， 16，3 分）若凸 n 边形的内角和为 1260°，则从一个顶点出发引的对角线 条数是 121. （山东德州 16,4 分）长为 1，宽为 a 的矩形纸片（a 1），如图那样折一下，剪2下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一 下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形 （称为第二次操作） ；如此反复操作下去 若 在第 n 此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止当n=3 时， a 的值为 的周长之和为AC=1

15、0 ，BC=8 ，则图中五个小矩形23. （山东烟台，17,4 分）如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，O1、O2 是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是24. （江苏泰州， 18，3 分）如图，平面内 4 条直线 L1、L2、L3、L4 是组平行线，相邻 2条平行线间的距离都是 1 个单位长度，正方形 ABCD 的 4 个顶点 A、B、C、 D 都在这些平行线上，其中点 、分别在直线 L1和 L4上，该正方形的面积是平方单位1112131425. （山东潍坊， 16，3分）已知线段 AB的长为 a，以 AB为边在 AB的下方作正方形 ACDB.取 AB 边上一点 E ，以 AE

16、为边在 AB 的上方作正方形AENM .过 E作 EFCD，垂足为 FAE 的长为26 （山东日照，16，4分）正方形 ABCD 的边长为 4，M、N 分别是 BC、 CD 上的两个动点，且始终保持 AMMN 当 BM=时，四边形 ABCN 的面积最大点 .若正方形 AENM 与四边形 EFDB 的面积相等，则27. （湖北孝感， 16，3 分）已知正方形 ABCD，以 CD为边作等边 CDE，则 AED的度数 是 .28. （江苏连云港， 16， 3 分）一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角线长为 .29. （江苏宿迁 ,15,3 分）如图，在梯形 ABCD 中，

17、AB DC ， ADC 的平分线与 BDC 的 平分线的交点 E 恰在 AB 上若 AD7cm，BC8cm，则 AB 的长度是 cm图4 30. （山东临沂， 19， 3 分）如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形，则 在第 10 个这样的图形中，共有 个等腰梯形31. （湖北襄阳， 17，3 分）如图 4，在梯形 ABCD 中，ADBC，AD6，BC16，E 是 BC的中点.点 P以每秒 1个单位长度的速度从点 A出发，沿 AD向点 D运动；点 Q同 时以每秒 2个单位长度的速度从点 C出发，沿 CB向点 B运动.点 P停止运动时，点 Q也随之停止运动 .当运动时间 t秒时，以点

18、 P，Q，E，D 为顶点的四边形是平行四边形 .32. （浙江义乌）如图，已知 E、 F 是 ABCD 对角线 AC 上的两点， 且 BEAC，DF AC.（1）求证： ABE CDF ；（2）请写出图中除 ABE CDF 外其余两对全等 三角形（不再添加辅助线）33. （安徽芜）如图，在梯形 ABCD 中， DCAB， AD=BC , BD 平分 ABC, A 60.o 过点D作DE AB，过点 C作CF BD ，垂足分别为 E、F，连接 EF，求证： DEF 为等边三角形 .34. （四川南充市）如图，等腰梯形 ABCD 中， AD BC,AD=AB=CD=2, C=600,M 是 BC 的中点。（ 1）求证： MDC 是等边三角形；（2）将 MDC绕点 M旋转，当MD（即MD）与AB交于一点 E,MC即MC）同时与 AD 交于一点 F时，点 E,F和点A构成 AEF.试探究 AEF的周长是否存在最小值。如果不存 在，请说明理由；如果存在，请计算出 AEF 周长的最小值 .35. （浙江杭州 ）在直角梯形 ABCD 中， AB CD ， ABC90°，AB2BC2CD，对角线AC 与 BD 相交于点 O，线段 OA，OB 的中点分别为点 E， F（1）求证： FOE DOC ；（2）求 si