高三文科数学通用版二轮复习：第1部分 专题5 突破点13　圆锥曲线中的综合问题酌情自选 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料2019.5突破点突破点 13圆锥曲线中的综合问题圆锥曲线中的综合问题(酌情自选酌情自选)提炼 1 解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.提炼 2 用代数法求最值与范围问题时从下面几个方面入手(1)若直线和圆锥曲线有两个不同的交点，则可以利用判别式求范围(2)若已知曲线上任意一点、一定点或与定点构成的图形，则利用圆锥曲线的性质(性质中的范围)求解(3)利用隐含或已知的不等关

2、系式直接求范围(4)利用基本不等式求最值与范围(5)利用函数值域的方法求最值与范围提炼 3与圆锥曲线有关的探索性问题(1)给出问题的一些特殊关系，要求探索出一些规律，并能论证所得规律的正确性通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律(2)对于只给出条件，探求“是否存在”类型问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若推出相符的结论，则存在性得到论证；若推出矛盾，则假设不存在回访 1圆锥曲线的定值、定点问题1(20 xx全国卷)已知椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，点(2， 2)在 c 上(1)求 c 的方程；(2)直线 l

3、不过原点 o 且不平行于坐标轴，l 与 c 有两个交点 a，b，线段 ab 的中点为 m.证明：直线 om 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值解(1)由题意有a2b2a22，4a22b21，2 分解得 a28，b24.3 分所以 c 的方程为x28y241.4 分(2)证明：设直线 l：ykxb(k0，b0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(xm，ym)将 ykxb 代入x28y241，得(2k21)x24kbx2b280.6 分故 xmx1x222kb2k21，ymkxmbb2k21.8 分于是直线 om 的斜率 komymxm12k，即 komk12.11 分所以直线 om 的斜

4、率与直线 l 的斜率的乘积为定值.12 分回访 2圆锥曲线中的最值与范围问题2(20 xx北京高考)已知椭圆 c：x22y24.(1)求椭圆 c 的离心率；(2)设 o 为原点，若点 a 在直线 y2 上，点 b 在椭圆 c 上，且 oaob，求线段 ab 长度的最小值解(1)由题意，椭圆 c 的标准方程为x24y221，2 分所以 a24，b22，从而 c2a2b22.因此 a2，c 2.故椭圆 c 的离心率 eca22.5 分(2)设点 a，b 的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中 x00.因为 oaob，所以oaob0，即 tx02y00，解得 t2y0 x0.7 分又 x202

5、y204， 所以|ab|2(x0t)2(y02)2x02y0 x02(y02)2x20y204y20 x204x204x20224x20 x204x2028x204(0 x204).12 分因为x2028x204(0b0)的离心率是22， 点 p(0,1)在短轴 cd 上，且pcpd1.图 151(1)求椭圆 e 的方程；(2)设 o 为坐标原点，过点 p 的动直线与椭圆交于 a，b 两点是否存在常数，使得oaobpapb为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解(1)由已知，点 c，d 的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点 p 的坐标为(0,1)，且pcpd1，于是1b21，ca22，

6、a2b2c2.解得 a2，b 2.所以椭圆 e 的方程为x24y221.4 分(2)当直线 ab 的斜率存在时，设直线 ab 的方程为 ykx1，a，b 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立x24y221，ykx1，得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以 x1x24k2k21，x1x222k21.6 分从而，oaobpapbx1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)124k2212k2112k212.9 分所以，当1 时，12k2123.此时，oaobpapb3 为定值.10 分当直线 ab 斜率不存在时，直线

7、ab 即为直线 cd.此时，oaobpapbocodpcpd213.12 分故存在常数1，使得oaobpapb为定值3.13 分热点题型 1圆锥曲线中的定值问题题型分析：圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点内容，解决这类问题的关键是引入变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立，数式变换等寻找不受参数影响的量(20 xx重庆二模)已知椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)上一点 p1，32 与椭圆右焦点的连线垂直于 x 轴，直线 l：ykxm 与椭圆 c 相交于 a，b 两点(均不在坐标轴上)(1)求椭圆 c 的标准方程；(2)设 o 为坐标原点， 若aob 的面积为 3，

8、试判断直线 oa 与 ob 的斜率之积是否为定值？【导学号：85952055】解(1)由题意知1a294b21，a2b21，解得a24，b23，3 分椭圆 c 的标准方程为x24y231.4 分(2)设点 a(x1，y1)，b(x2，y2)，由x24y231，ykxm，得(4k23)x28kmx4m2120，5 分由(8km)216(4k23)(m23)0，得 m24k23.6 分x1x28km4k23，x1x24m2124k23，soab12|m|x1x2|12|m|4 3 4k23m24k23 3，8 分化简得 4k232m20，满足0，从而有 4k2m2m23(*)，9 分koakoby

9、1y2x1x2kx1mkx2mx1x2k2x1x2kmx1x2m2x1x212k23m24m212344k2m2m23，由(*)式，得4k2m2m231，koakob34，即直线 oa 与 ob 的斜率之积为定值34.12 分求解定值问题的两大途径1由特例得出一个值(此值一般就是定值)证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关2先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值变式训练 1(20 xx北京高考)已知椭圆 c：x2a2y2b21 过 a(2,0)，b(0,1)两点(1)求椭圆 c 的方程及离心率；(2)设 p

10、为第三象限内一点且在椭圆 c 上，直线 pa 与 y 轴交于点 m，直线 pb与 x 轴交于点 n，求证：四边形 abnm 的面积为定值解(1)由题意得 a2，b1，椭圆 c 的方程为x24y21.3 分又 c a2b2 3，离心率 eca32.5 分(2)证明：设 p(x0，y0)(x00，y00)，则 x204y204.6 分又 a(2,0)，b(0,1)，直线 pa 的方程为 yy0 x02(x2)令 x0，得 ym2y0 x02，从而|bm|1ym12y0 x02.9 分直线 pb 的方程为 yy01x0 x1.令 y0，得 xnx0y01，从而|an|2xn2x0y01.12 分四边

11、形 abnm 的面积 s12|an|bm|122x0y0112y0 x02x204y204x0y04x08y042x0y0 x02y022x0y02x04y04x0y0 x02y022.从而四边形 abnm 的面积为定值.14 分热点题型 2圆锥曲线中的最值、范围问题题型分析：圆锥曲线中的最值、范围问题是高考重点考查的内容，解决此类问题常用的方法是几何法和代数法(20 xx全国乙卷)设圆 x2y22x150 的圆心为 a， 直线 l 过点 b(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 a 于 c，d 两点，过 b 作 ac 的平行线交 ad 于点 e.(1)证明|ea|eb|为定值，并写出点 e

12、的轨迹方程；(2)设点 e 的轨迹为曲线 c1，直线 l 交 c1于 m，n 两点，过 b 且与 l 垂直的直线与圆 a 交于 p，q 两点，求四边形 mpnq 面积的取值范围解(1)因为|ad|ac|，ebac，所以ebdacdadc，所以|eb|ed|，故|ea|eb|ea|ed|ad|.又圆 a 的标准方程为(x1)2y216，从而|ad|4，所以|ea|eb|4.2 分由题设得 a(1,0)，b(1,0)，|ab|2，由椭圆定义可得点 e 的轨迹方程为x24y231(y0).4 分(2)当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，m(x1，y1)，n(x2，y2

13、)由ykx1，x24y231，得(4k23)x28k2x4k2120，则 x1x28k24k23，x1x24k2124k23.所以|mn| 1k2|x1x2|12k214k23.过点 b(1,0)且与 l 垂直的直线 m： y1k(x1)， 点 a 到直线 m 的距离为2k21，6 分所以|pq|2422k21244k23k21.故四边形 mpnq 的面积s12|mn| pq|12114k23.8 分可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 mpnq 面积的取值范围为(12,8 3).10 分当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x1，|mn|3，|pq|8，故四边形 mpnq 的面积为 12.综

14、上，四边形 mpnq 面积的取值范围为 12,8 3).12 分与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法1数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解2构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解3构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域变式训练 2(名师押题)已知抛物线 c：x22py(p0)，过其焦点作斜率为 1的直线 l 交抛物线 c 于 m，n 两点，且|mn|16.(1)求抛物线 c 的方程；(2)已知动圆 p 的圆心在抛物线 c 上， 且过定点 d(0,4)， 若动圆 p 与 x 轴交于 a，b 两点，求|da|db|db

15、|da|的最大值解(1)设抛物线的焦点为 f0，p2 ，则直线 l：yxp2.由yxp2，x22py，得 x22pxp20，x1x22p，y1y23p，|mn|y1y2p4p16，p4，抛物线 c 的方程为 x28y.4 分(2)设动圆圆心 p(x0，y0)，a(x1,0)，b(x2,0)，则 x208y0，且圆 p：(xx0)2(yy0)2x20(y04)2，令 y0，整理得 x22x0 xx20160，解得 x1x04，x2x04，6 分设 t|da|db|x04216x04216x208x032x208x032116x0 x208x032，当 x00 时，t1，7 分当 x00 时，t1

16、16x0832x0.x00，x032x08 2，t11688 2 32 2 21，且 t1，综上知 21t1.9 分f(t)t1t在 21,1上单调递减，|da|db|db|da|t1t 211212 2，当且仅当 t 21，即 x042时等号成立|da|db|db|da|的最大值为 2 2.12 分热点题型 3圆锥曲线中的探索性问题题型分析：探索性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论(20 xx长沙二模)如图 152，在平面直角坐标系 x

17、oy 中，已知 f1，f2分别是椭圆 e：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，a，b 分别是椭圆 e 的左、右顶点，d(1,0)为线段 of2的中点，且af25bf20.图 152(1)求椭圆 e 的方程；(2)若 m 为椭圆 e 上的动点(异于点 a，b)，连接 mf1并延长交椭圆 e 于点 n，连接 md，nd 并分别延长交椭圆 e 于点 p，q，连接 pq，设直线 mn，pq 的斜率存在且分别为 k1，k2.试问是否存在常数，使得 k1k20 恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解题指导(1)d 为 of2的中点求 caf25bf20a 与 c 的关系椭圆方程(2)假设存在

18、常数设点 m，n，p，q 的坐标直线 md 的方程与椭圆方程联立用点 m 的坐标表示点 p，q 的坐标点 m，f1，n 共线得到点 m，n 坐标的关系求 k2得到 k1与 k2的关系解(1)af25bf20，af25f2b，ac5(ac)，化简得 2a3c，又点 d(1,0)为线段 of2的中点，c2，从而 a3，b 5，左焦点 f1(2,0)，故椭圆 e 的方程为x29y251.4 分(2)假设存在满足条件的常数，使得 k1k20 恒成立，设 m(x1，y1)，n(x2，y2)，p(x3，y3)，q(x4，y4)，则直线 md 的方程为 xx11y1y1，代入椭圆方程x29y251，整理得，

19、5x1y21y2x11y1y40，6 分y1y3y1x11x15， y34y1x15， 从而 x35x19x15， 故点 p5x19x15，4y1x15 ，同理，点 q5x29x25，4y2x25 .8 分三点 m，f1，n 共线，y1x12y2x22，从而 x1y2x2y12(y1y2)，从而 k2y3y4x3x44y1x154y2x255x19x155x29x25x1y2x2y15y1y24x1x27y1y24x1x27k14，故 k14k270，从而存在满足条件的常数，47.12 分探索性问题求解的思路及策略1思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在2策略：(1)当条件和结论不唯