新课标高三数学一轮复习 第7篇 第7节 立体几何中的向量方法课时训练 理

1、高考数学精品复习资料 2019.5【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第7篇 第7节 立体几何中的向量方法课时训练 理 【选题明细表】知识点、方法题号利用向量证明空间线面位置关系1、3、5、7、13利用空间向量求空间角2、4、6、8利用空间向量求距离9利用空间向量解决综合性问题10、11、12、14、15基础过关一、选择题1.若直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,有可能使l的是(d)(a)a=(1,0,0),n=(-2,0,0)(b)a=(1,3,5),n=(1,0,1)(c)a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)(d)a=(1,-1,3),n=(0,3,1)解析:若l,则

2、a·n=0.而选项a中a·n=-2.选项b中a·n=1+5=6.选项c中a·n=-1,选项d中a·n=-3+3=0,故选d.2.(20xx海南海口模拟)在空间中,已知ab=(2,4,0),dc=(-1,3,0),则异面直线ab与dc所成角的大小为(a)(a)45°(b)90°(c)120°(d)135°解析:ab=(2,4,0),dc=(-1,3,0),cos<ab,dc>=ab×dc|ab|dc|=12-225×10=22.<ab,dc>=45°.即

3、ab与dc所成的角为45°.3.(20xx陕西西安模拟)如图所示,正方体abcda1b1c1d1的棱长为a,m、n分别为a1b和ac上的点,a1m=an=23a,则mn与平面bb1c1c的位置关系是(b)(a)相交(b)平行(c)垂直(d)不能确定解析:分别以c1b1、c1d1、c1c所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.a1m=an=23a,m(a,23a,a3),n(23a,23a,a),mn=(-a3,0,23a).又c1(0,0,0),d1(0,a,0),c1d1=(0,a,0),mn·c1d1=0,mnc1d1.c1d1是平面bb1c1c的法向量,

4、且mn平面bb1c1c,mn平面bb1c1c.4.(20xx山东潍坊模拟)正三棱柱abca1b1c1中,ab=aa1,则ac1与平面bb1c1c所成角的正弦值为(c)(a)22(b)155(c)64(d)63解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设ab=2,则c1(3,1,0),a(0,0,2),ac1=(3,1,-2),平面bb1c1c的一个法向量为n=(1,0,0),所以ac1与平面bb1c1c所成的角的正弦值为|ac1·n|ac1|n|=38=64.5.如图所示,在正方体abcda1b1c1d1中,o是底面正方形abcd的中心,m是d1d的中点,n是a1b1的中点,则直线no、a

5、m的位置关系是(c)(a)平行(b)相交(c)异面垂直(d)异面不垂直解析:建立坐标系如图,设正方体的棱长为2,则a(2,0,0),m(0,0,1),o(1,1,0),n(2,1,2),no=(-1,0,-2),am=(-2,0,1),no·am=0,则直线no、am的位置关系是异面垂直.6.(20xx大连模拟)在四棱锥pabcd中,底面abcd是正方形,侧棱pd平面abcd,ab=pd=a.点e为侧棱pc的中点,又作dfpb交pb于点f.则pb与平面efd所成角为(d)(a)30°(b)45°(c)60°(d)90°解析:建立如图所示的空间直

6、角坐标系dxyz,d为坐标原点.则p(0,0,a),b(a,a,0),pb=(a,a,-a),又de=(0,a2,a2),pb·de=0+a22-a22=0,所以pbde,由已知dfpb,且dfde=d,所以pb平面efd,所以pb与平面efd所成角为90°.二、填空题7.(20xx大庆模拟)已知平面和平面的法向量分别为a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且,则x=. 解析:由题意得a·b=x-2+6=0,x=-4.答案:-48.等边三角形abc与正方形abde有一公共边ab,二面角cabd的余弦值为33,m、n分别是ac、bc的中点,则em、an

7、所成角的余弦值等于. 解析:过c点作co平面abde,垂足为o,取ab中点f,连接cf、of,则cfo为二面角cabd的平面角,设ab=1,则cf=32,of=cf·coscfo=12,oc=22,则o为正方形abde的中心,如图所示建立直角坐标系oxyz,则e0,-22,0,m24,0,24,a22,0,0,n0,24,24,em=24,22,24,an=-22,24,24,cos<em,an>=em·an|em|an|=16.答案:169.如图所示,正方体abcda1b1c1d1的棱长为1,e是a1b1上的点,则点e到平面abc1d1的距离是.&#

8、160;解析:法一以点d为坐标原点,da,dc,dd1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,设点e(1,a,1)(0a1),连接d1e,则d1e=(1,a,0).连接a1d,易知a1d平面abc1d1,则da1=(1,0,1)为平面abc1d1的一个法向量.点e到平面abc1d1的距离是d=|d1e·da1|da1|=22.法二点e到平面abc1d1的距离,即b1到bc1的距离,易得点b1到bc1的距离为22.答案:22三、解答题10.(20xx高考辽宁卷)如图,abc和bcd所在平面互相垂直,且ab=bc=bd=2,abc=dbc=120°,e、f分别为ac

9、、dc的中点.(1)求证:efbc;(2)求二面角ebfc的正弦值.(1)证明:法一过e作eobc,垂足为o,连of.由abcdbc可证出eocfoc.所以eoc=foc=2,即fobc.又eobc,因此bc平面efo,又ef平面efo,所以efbc.法二由题意,以b为坐标原点,在平面dbc内过b作垂直bc的直线为x轴,bc所在直线为y轴,在平面abc内过b作垂直bc的直线为z轴,建立如图2所示空间直角坐标系.易得b(0,0,0),a(0,-1,3),d(3,-1,0),c(0,2,0).因而e(0,12,32),f(32,12,0),所以ef=(32,0,-32),bc=(0,2,0),因此

10、ef·bc=0.从而efbc,所以efbc.(2)解:法一在图1中,过o作ogbf,垂足为g,连eg.由平面abc平面bdc,从而eo平面bdc,又ogbf,由三垂线定理知egbf.因此ego为二面角ebfc的平面角.在eoc中,eo=12ec=12bc·cos 30°=32,由bgobfc知,og=bobc·fc=34,因此tanego=eoog=2,从而sinego=255,即二面角ebfc的正弦值为255.法二在图2中,平面bfc的一个法向量为n1=(0,0,1).设平面bef的法向量为n2=(x,y,z),又bf=(32,12,0),be=(0,

11、12,32).由n2·bf=0,n2·be=0,得其中一个n2=(1,-3,1).设二面角ebfc的大小为,且由题意知为锐角,则cos =|cos<n1,n2>=|n1·n2|n1|n2|=15,因此sin =25=255,即所求二面角的正弦值为255.11.(20xx河北石家庄二模)如图,在三棱锥pabc中,pa底面abc,acbc,h为pc的中点,m为ah的中点,pa=ac=2,bc=1.(1)求证:ah平面pbc;(2)求pm与平面ahb成角的正弦值;(3)设点n在线段pb上,且pnpb=,mn平面abc,求实数的值.(1)证明:因为pa底面ab

12、c,bd底面abc,所以pabc,又因为acbc,paac=a,所以bc平面pac,又因为ah平面pac,所以bcah.因为pa=ac,h是pc中点,所以ahpc,又因为pcbc=c,所以ah平面pbc.(2)解:在平面abc中,过点a作adbc,因为bc平面pac,所以ad平面pac,又pa底面abc,得pa,ac,ad两两垂直,所以以a为原点,ad,ac,ap所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系则a(0,0,0),p(0,0,2),b(1,2,0),c(0,2,0),h(0,1,1),m(0,12,12).设平面ahb的法向量为n=(x,y,z),ah=(0,1,1),ab=(

13、1,2,0),由n·ah=0,n·ab=0,得y+z=0,x+2y=0,令z=1,得n=(2,-1,1).设pm与平面ahb所成角为,因为pm=(0,12,-32),所以sin =|cos<pm,n>|=|pm·n|pm|·|n|=|2×0+(-1)×12+1×(-32)52×6|即sin =21515.(3)解:因为pb=(1,2,-2),pn=pb,所以pn=(,2,-2),又因为pm=(0,12,-32),所以mn=pn-pm=(,2-12,32-2).因为mn平面abc,平面abc的一个法向量a

14、p=(0,0,2),所以mn·ap=3-4=0,解得=34.能力提升12.(20xx吉林长春模拟)将正方形abcd沿对角线bd折成直二面角abdc,则下面结论错误的为(c)(a)acbd(b)acd是等边三角形(c)ab与平面bcd所成的角为60°(d)ab与cd所成的角为60°解析:取bd中点o,连接ao、co,则aobd,cobd,bd平面aoc,acbd,又ac=2ao=ad=cd,acd是等边三角形,而abd是ab与平面bcd所成的角,应为45°.又ac=ab+bd+dc(设ab=a),则a2=a2+2a2+a2+2·a·2a

15、·(-22)+2a·2a·(-22)+2a2cos<ab,dc>,cos<ab,dc>=12,ab与cd所成的角为60°.13.空间中两个有一条公共边ad的正方形abcd与adef,设m,n分别是bd,ae的中点,给出如下命题:admn;mn平面cde;mnce;mn,ce异面.则所有的正确命题为. 解析:如图,设ab=a、ad=b、af=c,则a·b=c·b=0.mn=an-am=12(b+c)-12(a+b)=12(c-a),mn·ad=12(c-a)·b=12(c·

16、b-a·b)=0,故admn;ce=c-a=2mn,故mnce,故mn平面cde,故正确;正确时一定不正确.答案:14.如图,在长方体abcda1b1c1d1中,ad=aa1=1,ab=2,点e在棱ab上.(1)求异面直线d1e与a1d所成的角;(2)若二面角d1ecd的大小为45°,求点b到平面d1ec的距离.解:建立如图所示的空间直角坐标系.(1)由a1(1,0,1),得da1=(1,0,1),设e(1,a,0),又d1(0,0,1),则d1e=(1,a,-1).da1·d1e=1+0-1=0,da1d1e,则异面直线d1e与a1d所成的角为90°.

17、(2)m=(0,0,1)为平面dec的一个法向量,设n=(x,y,z)为平面ced1的法向量,则cos<m,n>=|m·n|m|n|=|z|x2+y2+z2=cos 45°=22,z2=x2+y2,由c(0,2,0),得d1c=(0,2,-1),则nd1c,即n·d1c=0,2y-z=0,由、,可取n=(3,1,2),又cb=(1,0,0),所以点b到平面d1ec的距离d=|cb·n|n|=322=64.探究创新15.(20xx高考江西卷)如图,四棱锥pabcd中,abcd为矩形,平面pad平面abcd.(1)求证:abpd;(2)若bpc=

18、90°,pb=2,pc=2,问ab为何值时,四棱锥pabcd的体积最大?并求此时平面bpc与平面dpc夹角的余弦值.(1)证明:abcd为矩形,故abad;又平面pad平面abcd,平面pad平面abcd=ad,所以ab平面pad,故abpd.(2)解:过p作ad的垂线,垂足为o,过o作bc的垂线,垂足为g,连接pg.故po平面abcd,bc平面pog,bcpg,在rtbpc中,pg=233,gc=263,bg=63.设ab=m,则op=pg2-og2=43-m2,故四棱锥pabcd的体积为v=13·6·m·43-m2=m38-6m2.因为m8-6m2=8m2-6m4=-6(m2-23) 2+83,故当m=63,即ab=63时,四棱锥pabc