高考数学理二轮复习教师用书：第1部分 重点强化专题 专题6 第15讲　函数与方程 Word版含答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5第15讲函数与方程题型1函数零点个数的判断(对应学生用书第50页)核心知识储备·1零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根2函数的零点与方程根的关系函数f(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标典题试解寻法·【典题1】(考查数形结合法判断函数的零点个数)已知定义在r上的函数f(x)满

2、足：图象关于(1,0)点对称；f(1x)f(1x)；当x1,1时，f(x)则函数yf(x)在区间3,3上的零点个数为()a5b6c7d8思路分析函数yf(x)在区间3,3上的零点个数函数yf(x)与函数y在3,3上的图象交点个数下结论解析因为f(1x)f(1x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称，又函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，如图，画出f(x)以及g(x)在3,3上的图象由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数yf(x)在区间3,3上的零点个数为5，故选a.答案a【典题2】(考查应用零点存在性定理判断函数的零点个数)已知函数fn(x)xln x(nn*，e2.718 28

3、为自然对数的底数)(1)求曲线yf1(x)在点(1，f1(1)处的切线方程；(2)讨论函数fn(x)的零点个数. 【导学号：07804105】解(1)因为f1(x)xln xx2，所以f1(x)ln x12x，所以f1(1)121.又f1(1)1，所以曲线yf1(x)在点(1，f1(1)处的切线方程为y1(x1)，即yx.(2)令fn(x)0，得xln x0(nn*，x>0)，所以nln xx0.令g(x)nln xx，则函数fn(x)的零点与函数g(x)nln xx的零点相同因为g(x)1，令g(x)0，得xn，所以当x>n时，g(x)<0；当0<x<n时g(x

4、)>0，所以函数g(x)在区间(0，n上单调递增，在区间n，)上单调递减所以函数g(x)在xn处有最大值，且g(n)nln nn.当n1时，g(1)ln 111<0，所以函数g(x)nln xx的零点个数为0；当n2时，g(2)2ln 22<2ln e20，所以函数g(x)nln xx的零点个数为0；当n3时，g(n)nln nnn(ln n1)n(ln 31)>n(ln e1)0，因为g(e2n)nln e2ne2n<2n24n2n2(13)n<2n2<2n213n3n(n1)n21<0，且g(1)<0，所以由函数零点的存在性定理，可得函

5、数g(x)nln xx在区间(1，n)和(n，)内都恰有一个零点所以函数g(x)nln xx的零点个数为2.综上所述，当n1或n2时，函数fn(x)的零点个数为0；当n3且nn*时，函数fn(x)的零点个数为2.类题通法1.求函数零点个数的两种方法：(1)由函数零点存在性定理，结合函数的单调性判断；(2)由函数的单调性及函数极值的正负来确定.2.零点个数的讨论,对于不可求的零点，需要通过方程转化为初等函数的交点个数判断.3.零点讨论中的参数,针对参数的讨论有两个方向：一是方程根的个数；二是参数对构造的初等函数图象形状的影响.对点即时训练·1已知函数f(x)，则函数f(x)ff(x)2

6、f(x)的零点个数是()a4b5c6d7a(数形结合思想)令f(x)t，则函数f(x)可化为yf(t)2t，则函数f(x)的零点问题可转化为方程f(t)2t0有根的问题令yf(t)2t0，即f(t)2t，如图(1)，由数形结合得t10,1<t2<2，如图(2)，再由数形结合得，当f(x)0时，x2，有1个解，当f(x)t2时，有3个解，所以f(x)ff(x)2f(x)共有4个零点故选a.图(1)图(2)2函数f(x)cos 2x在区间3,3上零点的个数为()a3b4c5d6 c设函数g(x)1x，h(x)cos 2x，则f(x)g(x)h(x)，g(x)1xx2x3x2 015x2

7、 016(1x)x2(1x)x2 014(1x)x2 016.当3x1时，显然g(x)0；g(x)1x(x1)x3(x1)x2 015(x1)，当1<x3时，显然g(x)>0，所以g(x)在区间3,3上是增函数，又g(1)<0，g(0)1>0，所以g(x)在区间3,3上有且只有1个零点x0(1,0)，且x0.h(x)cos 2x在区间3,3上有4个零点：，所以函数f(x)g(x)h(x)在区间3,3上有5个零点题型强化集训·(见专题限时集训t2、t5、t6、t13、t14)题型2已知函数的零点个数求参数的取值范围(对应学生用书第51页)核心知识储备·

8、已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式，再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解典题试解寻法·【典题1】(考查已知函数的零点个数求参数范围)(20xx·太原二模)已知f(x)x2ex，若函数g(x)f2(x)kf(x)1恰有四个零点，则实数k的取值范围是()a(，2)(2，)b.c.d思路分析f(x)x2ex画f(x)的图象g(x)有四个零点方程t2kt10在和各有1解实数

9、k的取值范围解析(数形结合思想)f(x)xex(x2)，令f(x)>0，得f(x)的单调递增区间为(，2)，(0，)，令f(x)<0，得f(x)的单调递减区间为(2,0)，所以f(2)4e2>0为函数f(x)的极大值，f(0)0为函数f(x)的极小值，故f(x)0，作出其函数图象如图所示因为函数g(x)f2(x)kf(x)1恰有四个零点，令f(x)t，则关于t的方程t2kt10有两个不相同的根，记为t1，t2，且0<t1<4e2,4e2<t2，所以，解得k>，故选d.答案d【典题2】(考查已知方程根的个数求参数范围)已知函数f(x)，其中m>0.

10、若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_. 【导学号：07804106】思路分析方程f(x)b有三个不同的根函数f(x)与函数yb有三个不同的交点依据m的取值画函数f(x)的图象求m的取值范围解析f(x)当x>m时，f(x)x22mx4m(xm)24mm2，其顶点为(m,4mm2)；当xm时，函数f(x)的图象与直线xm的交点为q(m，m)当即0<m3时，函数f(x)的图象如图(1)所示，易得直线yb与函数f(x)的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；当即m>3时，函数f(x)的图象如图(2)所示，则存在实数b满足4mm2<bm，使

11、得直线yb与函数f(x)的图象有三个不同的交点，符合题意综上，m的取值范围为(3，)图(1) 图(2)答案(3，)【典题3】(考查导数在函数零点中的应用)(20xx·全国卷节选)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点，求a的取值范围思路分析求f(x)求函数的单调性及极值确定a的取值范围解f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)设a0，则f(x)(x2)ex，f(x)只有一个零点设a0，则当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)内单调递减，在(1，)内单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且bln ，则f(b)(b2

12、)a(b1)2a0，故f(x)存在两个零点设a0，由f(x)0得x1或xln(2a)若a，则ln(2a)1，故当x(1，)时，f(x)0，因此f(x)在(1，)内单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点若a<，则ln(2a)1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)0；当x(ln(2a)，)时，f(x)0.因此f(x)在(1，ln(2a)内单调递减，在(ln(2a)，)内单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点综上，a的取值范围为(0，) 类题通法已知函数的零点个数求参数取值范围问题的关键有以下几点：一是将原函数的零点个数问题转化为方程根的个数问题，并进

13、行适当化简、整理；二是构造新的函数，把方程根的个数问题转化为新构造的两个函数的图象交点个数问题；三是对新构造的函数进行画图；四是观察图象，得参数的取值范围.对点即时训练·1设x表示不小于实数x的最小整数，如2.63，3.53.已知函数f(x)x22x，若函数f(x)f(x)k(x2)2在(1,4上有两个零点，则实数k的取值范围是()a.2,5)b.5,10)c.5,10)d.5,10)b令f(x)0，得f(x)k(x2)2，作出函数yf(x)和yk(x2)2的图象如图所示若函数f(x)f(x)k(x2)2在(1,4上有两个零点，则函数f(x)和g(x)k(x2)2的图象在(1,4上有

14、两个交点因为g(x)过定点p(2，2)，经计算可得kpa5，kpb10，kpo1，kpc，所以k的取值范围是5,10)故选b.2已知函数f(x)ex，若关于x的不等式f(x)22f(x)a0在0,1上有解，则实数a的取值范围为_. 【导学号：07804107】(，e22e由f(x)22f(x)a0在0,1上有解，可得af(x)22f(x)，即ae2x2ex.令g(x)e2x2ex(0x1)，则ag(x)max，因为0x1，所以1exe，则当exe，即x1时，g(x)maxe22e，即ae22e，故实数a的取值范围是(，e22e 题型强化集训·(见专题限时集训t1、t3、t4、t7、t

15、8、t9、t10、t11、t12)三年真题| 验收复习效果(对应学生用书第52页)1.(20xx·全国卷)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a()abcd1c法一：(换元法)f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，则g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数g(t)为偶函数f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0，2a10，解得a.故选c.法二：(等价转化法)f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex122，当且仅当x1时取“”x2

16、2x(x1)211，当且仅当x1时取“”若a0，则a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a.若a0，则f(x)的零点不唯一故选c.2(20xx·全国卷)已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是() 【导学号：07804108】a(2，)b(，2)c(1，)d(，1)bf(x)3ax26x，当a3时，f(x)9x26x3x(3x2)，则当x(，0)时，f(x)>0；x时，f(x)<0；x时，f(x)>0，注意f(0)1，f>0，则f(x)的大致图象如图(1)所示图(1)不符合题意，

17、排除a、c.当a时，f(x)4x26x2x(2x3)，则当x时，f(x)<0，x时，f(x)>0，x(0，)时，f(x)<0，注意f(0)1，f，则f(x)的大致图象如图(2)所示图(2)不符合题意，排除d.3.(20xx·全国卷)已知函数f(x)ae2x(a2)exx.(1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 解(分类讨论思想)(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)()若a0，则f(x)<0，所以f(x)在(，)单调递减()若a>0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)<0；当x(ln a，)时，f(x)>0.所以f(x)在(，ln a)单调递减，在(ln a，)单调递增(2)()若a0，由(1)知，f(x)至多有一个零