高考数学文真题、模拟新题分类汇编：计数原理【含解析】

1、高考数学精品复习资料2019.5j j 单元单元计数原理计数原理j1j1基本计数原理基本计数原理10 、20 xx福建卷 用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球由加法原理及乘法原理，从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1a)(1b)的展开式 1abab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来 依此类推， 下列各式中， 其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()a(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5b(1a5)(

2、1bb2b3b4b5)(1c)5c(1a)5(1bb2b3b4b5)(1c5)d(1a5)(1b)5(1cc2c3c4c5)10a解析 从 5 个无区别的红球中取出若干个球，可以 1 个球都不取、或取 1 个、2 个、3 个、4 个、5 个球，共 6 种情况，则其所有取法为 1aa2a3a4a5；从 5 个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为 1b5；从5 个有区别的黑球中取出若干个球，可以 1 个球都不取、或取 1 个、2 个、3 个、4 个、5 个球，共 6 种情况，则其所有取法为 1c15cc25c2c35c3c45c4c55c5(1c)5，根据分步乘

3、法计数原理得，适合要求的所有取法是(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5.j2j2排列、组合排列、组合1320 xx北京卷 把 5 件不同产品摆成一排若产品a与产品b相邻，且产品a与产品c不相邻，则不同的摆法有_种1336解析 a33a22a1362336.8 、20 xx广东卷 设集合a(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0，1，i1，2，3，4， 5， 那么集合a中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3” 的元素个数为()a60b90c120d1308d解析 本题考查排列组合等知识，考查的是用排列组合思想去解决问题，主要根据范围利用分类讨论思想求解由“1|x1|x2|x

4、3|x4|x5|3”考虑x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，设集合m0，n1，1当x1，x2，x3，x4，x5中有 2 个取值为 0 时，另外 3 个从n中取，共有 c2523种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有 3 个取值为 0 时，另外 2 个从n中取，共有 c3522种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有 4 个取值为 0 时，另外 1 个从n中取，共有 c452 种方法故总共有 c2523c3522c452130 种方法，即满足题意的元素个数为 130.11 、20 xx广东卷 从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6 的概

5、率为_11.16解析 本题主要考查古典概型概率的计算，注意中位数的求法从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取七个不同的数，有 c710种方法，若七个数的中位数是 6，则只需从0，1，2，3，4，5 中选三个，从 7，8，9 中选三个不同的数即可，有 c36c33种方法故这七个数的中位数是 6 的概率pc36c33c71016.620 xx辽宁卷 6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()a144b120c72d246d解析 这是一个元素不相邻问题，采用插空法，a33c3424.5 520 xx全国卷 有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1

6、 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()a60 种b70 种c75 种d150 种5c解析 由题意，从 6 名男医生中选 2 名，5 名女医生中选 1 名组成一个医疗小组，不同的选法共有 c26c1575(种)6 20 xx四川卷 六个人从左至右排成一行， 最左端只能排甲或乙， 最右端不能排甲，则不同的排法共有()a192 种b216 种c240 种d288 种6b解析 当甲在最左端时，有 a55120(种)排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有 a11a14a4442496(种)排法，共计 12096216(种)排法故选 b.1420 xx浙江卷 在 8 张奖券

7、中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖将这 8张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)1460解析 分两种情况：一种是有一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有 c23a2436 种；另一种是三人各获得一张奖券，有 a3424 种故共有 60 种获奖情况920 xx重庆卷 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()a72b120c144d1689b解析 分两步进行：(1)先将 3 个歌舞进行全排，其排法有 a33种；(2)将小品与相声插入将歌舞分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插

8、法有 2a33种若两歌舞之间有两个其他节目时插法有 c12a22a22种所以由计数原理可得节目的排法共有 a33(2a33c12a22a22)120(种)j3j3二项式定理二项式定理1320 xx安徽卷 设a0，n是大于 1 的自然数，1xan的展开式为a0a1xa2x2anxn.若点ai(i，ai)(i0，1，2)的位置如图 13 所示，则a_.图 13133解析 由图可知a01，a13，a24，由组合原理知c1n1aa13，c2n1a2a24，故na3，n（n1）a28，解得n9，a3.10 、20 xx福建卷 用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球由加法原理及乘法原理，从 1 个红球和 1

9、 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1a)(1b)的展开式 1abab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来 依此类推， 下列各式中， 其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()a(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5b(1a5)(1bb2b3b4b5)(1c)5c(1a)5(1bb2b3b4b5)(1c5)d(1a5)(1b)5(1cc2c3c4c5)10a解析 从 5 个无区别的红球中取出若干个球，可以 1 个球都不取、或取

10、 1 个、2 个、3 个、4 个、5 个球，共 6 种情况，则其所有取法为 1aa2a3a4a5；从 5 个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为 1b5；从5 个有区别的黑球中取出若干个球，可以 1 个球都不取、或取 1 个、2 个、3 个、4 个、5 个球，共 6 种情况，则其所有取法为 1c15cc25c2c35c3c45c4c55c5(1c)5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5.220 xx湖北卷 若二项式2xax7的展开式中1x3的系数是 84，则实数a()a2b.54c1d.242 c解析 展

11、开式中含1x3的项是t6c57(2x)2ax5c5722a5x3， 故含1x3的项的系数是c5722a584，解得a1.故选 c.420 xx湖南卷12x2y5的展开式中x2y3的系数是()a20b5c5d204a解析 由题意可得通项公式tr1cr512x5r(2y)rcr5125r(2)rx5ryr，令r3，则 cr5125r(2)rc35122(2)320.1320 xx全国卷xyyx8的展开式中x2y2的系数为_(用数字作答)1370解析 易知二项展开式的通项tr1cr8xy8ryxr(1)rcr8x83r2y3r24.要求x2y2的系数， 需满足83r22且3r242， 解得r4， 所

12、以t5(1)4c48x2y270 x2y2，所以x2y2的系数为 70.1320 xx新课标全国卷 (xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填写答案)1320解析 (xy)8的展开式中xy7的系数为 c788，x2y6的系数为 c6828，故(xy)(xy)8的展开式中x2y8的系数为 82820.1320 xx新课标全国卷 (xa)10的展开式中，x7的系数为15， 则a_ (用数字填写答案)13.12解析 展开式中x7的系数为 c310a315，即a318，解得a12.14 ，20 xx山东卷 若ax2bx6的展开式中x3项的系数为 20，则a2b2的最小值为_142解析tr

13、1cr6(ax2)6rbxrcr6a6rbrx123r，令 123r3，得r3，所以c36a63b320，即a3b31，所以ab1，所以a2b22ab2，当且仅当ab，且ab1 时，等号成立故a2b2的最小值是 2.220 xx四川卷 在x(1x)6的展开式中，含x3项的系数为()a30b20c15d102c解析x(1x)6的展开式中x3项的系数与(1x)6的展开式中x2项的系数相同，故其系数为 c2615.5 20 xx浙江卷 在(1x)6(1y)4的展开式中， 记xmyn项的系数为f(m，n)， 则f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)()a45b60c120d2105c解析 含

14、xmyn项的系数为f(m，n)cm6cn4，故原式c36c04c26c14c16c24c06c34120，故选 c.j4j4 单元综合单元综合820 xx安徽卷 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有()a24 对b30 对c48 对d60 对8c解析 方法一(直接法)：在上底面中选b1d1，四个侧面中的面对角线都与它成60，共 8 对，同样a1c1对应的对角线也有 8 对，同理下底面也有 16 对，共有 32 对左右侧面与前后侧面中共有 16 对面对角线所成的角为 60，故所有符合条件的共有 48 对方法二(间接法)： 正方体的 12 条面对角线中， 任意两条垂直

15、、 平行或所成的角为 60，所以所成角为 60的面对角线共有 c21261248.1220 xx北京朝阳区一模 有 3 张标号分别为 1，2，3 的红色卡片，3 张标号分别为 1，2，3 的蓝色卡片，现将全部的 6 张卡片放在 2 行 3 列的格内(如图 x361 所示)若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为_(用数字作答)图 x3611272解析 由题意可知，不同的放法共有 a33a33a2266272(种)320 xx合肥质检 若x3xn的展开式的各项系数绝对值之和为 1024，则展开式中x项的系数为()a15b15c10d103 b解析 由 4n1024， 得n5， tr1cr5(

16、x)5r3xr(3)rcr5x53r2.令53r21，解得r1，t2c15(3)1x15x，故其系数为15.6 20 xx江西师大附中、 临川一中联考 若直线xay10 与 4x2y30 垂直，则二项式ax21x5的展开式中x的系数为()a40b10c10d406 a解析 由题意可知， 41(2)a0， a2， 二项式为 2x21x5，tr1cr5(2x2)5r1xr.令 102rr1，得r3，t4c3522(1)3x40 x，故展开式中x的系数为40.820 xx四川渠县二中月考 甲组有 5 名男同学、3 名女同学，乙组有 6 名男同学、2 名女同学若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有()a150 种b180 种c300 种d345 种8d解析 当从甲组中选出 1 名女生时，共有c15c13c26225(种)不同的选法；当从乙组中选出 1 名女生时，共有c25c16c12120(种)不同