高等数学大学课件 106

1、第十章第十章 微分方程微分方程 第六节第六节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程),(yxfy 一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 )()(xfyn ),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程 一、一、)()(xfyn对方程两边积分对方程两边积分即即1)1(d)(cxxfyn 再积分再积分2)2(d cxyn1d)(cxxfxd xxfd)(依次通过依次通过 n 次积分次积分, 可得含可得含 n 个任意常数的通解个任意常数的通解 .21cxc型的微分方程型的微分方程 例例1. .cos2xeyx 求解求解解解: 12coscxdxeyx 12s

2、in21cxex xxedxcxey21241)sin21 （ dxcxcxeyx)cos41(212xsin 2122181xcex 32cxc xcos 21cxc ,00tx例例2. 质量为 m 的质点受力f 的作用沿 ox 轴作直线运动,在开始时刻,)0(0ff随着时间的增大 , 此力 f 均匀地减直到 t = t 时 f(t) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解解: 据题意有)(dd22tftxm)1(0ttf 0dd0ttxt = 0 时设力 f 仅是时间 t 的函数: f = f (t) . 小,求质点的运动规律. 初初速度为0, 且对方程两边积分, 得 120)2(ddct

3、ttmftx利用初始条件, 01c得于是)2(dd20tttmftx两边再积分得2320)62(ctttmfx再利用00tx, 02c得故所求质点运动规律为)3(2320tttmfx0dd0ttx),(yxfy 型的微分方程（特点：不显含型的微分方程（特点：不显含y ） 设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1cxp则得),(1cxy再一次积分, 得原方程的通解21d),(cxcxy二、二、例例3. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分离变量)1(d2d2xxxpp积分得,ln)

4、1(lnln12cxp)1(21xcp即,3 0 xy利用, 31c得于是有)1(32xy两端再积分得233cxxy利用,10 xy, 12c得133xxy因此所求特解为例例4. 绳索仅受重力作用而下垂,解解: 取坐标系如图. 考察最低点 a 到sg( : 密度, s :弧长)弧段重力大小按静力平衡条件, 有,coshtmsgoyx)(gha其中sgtsinyxyxd102a1故有211yay 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点m ( x, y ) 弧段的受力情况: t a 点受水平张力 hm 点受切向张力t两式相除得ha,1tansa msgo

5、yxha211yya , aoa 设则得定解问题: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 则原方程化为pdxad1两端积分得,)1ln(12caxpp0 0 xy由, 01c得则有axysh两端积分得,ch2cayax, 0ayx由02c得故所求绳索的形状为axaych)(2axaxeea悬悬 链链 线线a21p三、三、),(yyfy 型的微分方程（特点：不显含型的微分方程（特点：不显含x） 令),(ypy xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1cyp即得),(1cyy分离变量后积分, 得原方程的通解21),(dcxcyy例例

6、5. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即两端积分得,lnlnln1cyp,1ycp 即ycy1(一阶线性齐次方程)故所求通解为xcecy12解解:),(ypy 设xpydd 则xyypddddyppdd例例6. 解初值问题解初值问题解解: 令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 则代入方程得yeppydd2积分得1221221cepy利用初始条件, 0100 xyyp, 01c得根据yepxydd积分得,2cxey, 00 xy再由12c得故所求特解为xey1得为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例例7.)0()(xxy

7、设函数二阶可导, 且, 0)( xy)(xyy 过曲线上任一点 p(x, y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,1s区间 0, x 上以,2s记为)(xy, 1221 ss且)(xyy 求解解:, 0)(, 1)0(xyy因为. 0)(xy所以于是 cot2121ys yy222s)(xyy 设曲线在点 p(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 ., 1)0(,1)0( yy积记为ttysxd)(02 pxy1s1oyx再利用 y (0) = 1 得利用,1221 ss得xttyyy021d)(两边对 x 求导, 得2)( yyy 定解条件为)0(, 1)0(yy),(ypy 令方程化为,

8、ddyppy 则yyppdd,1ycp 解得利用定解条件得,11c, yy 再解得,2xecy , 12c故所求曲线方程为xey 2ddpyppy12spxy1s1oyx内容小结内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法)(. 1)(xfyn逐次积分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 则),(. 3yyfy 令, )(ypy yppydd 则思考与练习思考与练习1. 方程)(yfy 如何代换求解 ?答答: 令)(xpy 或)(ypy 一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如,2)(yey 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.例例6例例7思考题思考题求