2019-2020学年辽宁省大连市高一上学期期末考试数学试题(解析版)

1、2019-2020学年辽宁省大连市高一上学期期末考试数学试题一、单选题1 .已知集合 A = 0,1,2,3,4, 8 = 工比冲<3则()A. 0,1,2 B. 0,1,2,3,4 C. 1,2D. 1,2,3【答案】A【解析】求出集合B,根据交集的定义即可求出Ap|B.【详解】解:集合8 = xeNkv3 = 0J2,又A = 0,l,2,3,4,故Af8= 0,1,2.故选：A【点睛】本题考查集合交集的运算，属于基础题.2 .已知命题：也>1, lgx>。，则力为()A. Vx>l, lgx<0B. 3x> 1, lgx>0C. 3.¥

2、<1, lgx<0D. 3x>l, lgx<0【答案】D【解析】根据否定的定义求解即可.【详解】由否定的定义可知，一P为外>1,怆工<。故选：D【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题.3 .下列器函数为偶函数的是()【答案】C【解析】根据函数奇偶性的定义逐一判断即可.【详解】设/(X)= ) = W7,X£R，f(-x) = iPx = -ifx = -7(a),则 y = j 为奇函数，则 A错误;V = J，v 0 4-00） 定义域不关于原点对称，则B错误：设 /（X）=7=/三 X W R，/（T）= W（f ）2 = 4&quo

3、t; = /（X），则函数 y = X3 为偶函数， 则C正确：v = J =V0 +/）,定义域不关于原点对称，则D错误；故选:C【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性，属于基础题.4.如果瓶,修，%的平均数；=2,方差=1，贝！|2玉+1,2+ 1广,2.勺+1的平均 数和方差分别为（）A. 5, 5B. 5, 4C. 4, 3D. 4, 2【答案】B【解析】2再+1,2芍+1、2/+1的平均数为2巳+1，2%+1,2电+1j.,2%+1的方差为22s2,代入已知计算可得答案.【详解】.七,天，七的平均数输=2，2玉+1,2±+1-,2%+1的平均数为27 + 1 = 2乂2 +

4、 1 = 5司,工2,，土的方差S=1 ,.a- 2x +1,2通 +1,2% +1 的方差为 22s2 = 4x 1 = 4故选：B【点睛】本题考查一组数据的平均数、方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、 方差性质的合理运用.5.已知向量a, B满足同=i, b = 2,1+5=3,则一5=（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】由卜+可=3结合模长公式得出5=2,再计算1不-川即可.【详解】|）+6l=+=Jl + 2ciE + 22 =3：.ab = 2.-J a-b= >a2-2a-b+b2 = >/12-2x2 + 22 = 1故选：B【点睛】

5、本题主要考查了向量模长的计算，属于基础题.6.根据天气预报，某一天A城市和5城市降雨的概率均为0.6,假定这一天两城市是 否降雨相互之间没有影响，则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（）A. 0.16B. 0.48C. 0.52D. 0.84【答案】D【解析】求其对立事件两城市均未降雨的概率，进而可得结果.【详解】记A城市和5城南降雨分别为事件A和事件B,故P（A）= 0.6, P（B） = 0.6,可得尸（X） = 0.4, P（B）= 0.4.两城市均未降雨的概率为P（AB）= 04x0.4 = 0.16,故至少有一个城市降雨的概率为10.16 = 0.84,故选：D.【点睛】本

6、题主要考查了相互独立事件的概率公式的应用，以及对立事件的应用，属于基础题.第1页共6页【解析】首先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可判断:【详解】> 12T _ 1）1 - 1解：因为所以/（吐二百彳二一二一/乂不），所以为奇函数，又/（X）= 2 ；1-2 = 1 +不三，因为y = 2V在定义域上单调递增，y =二在（0,十力） 2+12+1x上单调递增，根据复合函数的单调性，可得函数在定义域R上单调递增，故满足条件的 为A：故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的单调性的判断，属于基础题.8.关于频率和概率，下列说法正确的是（）2某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该

7、同学每次投篮的命中率为、；数学家皮尔逊曾经做过两次试验,抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016； 抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005.如果他抛掷36000次硬币，正面向 上的频率可能大于0.5005；某类种子发芽的概率为0.903,当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子 发芽；将一个均匀的股子抛掷6000次,则出现点数大于2的次数大约为4000次.A. ®B.C. ®®D. ®®【答案】A【解析】根据频率和概率的定义对各个选项进行判断即可.【详解】2某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这次投篮中

8、命中的频率为一，不能说概率, 3故错误：进行大量的实验，硬币正而向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5,也可能小于0. 5,故正确：只能说明可能有1806粒种子发芽，具有随机性，并不是一定有1806粒种子发芽，故 错误；出现点数大于2的次数大约为4000次，正确.故选：A【点睛】本题考查频率与概率的区别，属于基础题.9.已知平面上的非零向量不，5, 3,下列说法中正确的是（） 若dB，b/c则机若同=2 ，则d = ±2b ;若 xa + yb =2a + 3b ,则 x = 2, >' = 3 ；若不B，则一定存在唯一的实数,使得i =A. ®®

9、;B.C.D. 【答案】B【解析】根据向量共线定理判断，由模长关系只能说明向量d, B的长度关系判断 ，举反例判断.【详解】对于，由向量共线定理可知，万5,则存在唯一的实数4,使得方=6, biic> 则存在唯一的实数4，使得B = %亍，由此得出存在唯一的实数4使得 « =即不/，则正确：对于，模长关系只能说明向量力，石的长度关系，与方向无关，则错误；对于，当2 = 5时，由题意可得（x+v）不=5%，则x+y = 5,不能说明1 = 2, 3=3, 则错误：由向量共线定理可知，正确：故选：B.【点睛】本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.10.已知定义在K上

10、的函数/（工），下列说法中正确的个数是（）X）+ T）是偶函数；"X）"T）是奇函数；是偶函数；/（即是偶函数；|/。）|是偶函数.A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】直接利用函数奇偶性的定义判断即可.【详解】定义在R上的函数f(x),令 g*) = f(X)+ f(T)，贝 IJ g (一/)=/ (-x) + / (x) = g (x)是偶函数；令/?*) = /(X)_/(T),则人(-1)=一/)-/3 = -力。)是奇函数：令 F(x) = f(x)f(-x),则 F(-x) = f(-x)f(x) = F(x)是偶函数；令G(x) = 同，则 G(

11、-a) = /(|-x|) = G(x)是偶函数：令(x) = |/(寸，则H(-a-) = |/(-x)|和H(x) = |/(x)|的关系不确定，不能判断奇偶性.故选：C.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题.H.已知函数/")="与函数g(x)的图像关于)'=x对称，若|g=|g|("3则0 +劭的取值范围是()A. 4,-kx)B. (4,+x)C. 5,+00)D. (5,-ko)【答案】D【解析】首先根据反函数的性质求出g(x)的解析式，依题意可得且0<a<<b,再根据对勾函数的性质计算可得：【详解】解：因为函数

12、/ (力="与函数g (a)的图像关于y = %对称，故8 (力与f (x)=炉互为反函数,所以g(%)=加工,若 g()| = g()(" v)，则一lna = ln，且Ovavlvb,所以他=14 z 、所以4 + 4 = . + , w(O,l)4又对勾函数/(x) = x+在(。,1)上单调递减，所以/(冷>/(1) = 5X即。+劭>5故选：D【点睛】本题考查反函数的性质，对数的运算及对勾函数的性质的应用，属于中档题.12.函数/(x) = ig£i+ig卜+J777)+i,则关于x的不等式/(x) + .f(2x1)<2的解集为()【

13、答案】A【解析】令g(x) = lgS + Ig(x + GT7)，则/(x) = g6) + l,可知g(x)为奇函数且在定义域上单调递增，所以/(.丫) + /(2-1)<2可转化为 g(x) + g(2x-1) <0,根据奇偶性和单调性可解出X的范围.【详解】解：令g(x) = lg1-xlg(x +6+1卜定义域为(T)，则 f(x) = g(x) + l，lg(&+l-x) = lg=_怆(&+1+%),g(T)= lgE + lg(JY+lX)=g(x)为奇函数：Tg-lg(+1 + x) = -g(x),所以i 1丫 _ + 29=-1一一二在(T)上

14、为增函数，x + J7石在(TJ)上也为增函 1-xx-1x-1数，所以g(力在(Tl)上为增函数:f(2)+f(2x-l)<2等价于g(x)+g(2x-l)<0,即g(x)<g(l-2x),则-1<x<1< 1 < 1 - 2x < 1 解得：0 < x < .3x < 1 2x故选：A【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查利用单调性解不等式，考查学生的转化能力 和计算能力，属于中档题.二、填空题13 .已知油= (1,3), AC = (-2,1),则屈=.【答案】(3,2)【解析】直接利用平面向量坐标形式的减法运算

15、法则求解即可.【详解】因为而= (1,3), AC = (-2,1),所以屈=而一衣=(1 + 2,3-1) = (3,2)故答案为：(3,2).【点睛】本题主要考查平而向量坐标形式的减法运算法则，属于基础题.14 .已知3c中，。、E分别为A3、AC的中点，DF = tDEf AF = xAB + yAC t 则孙的最大值为.【答案必【解析】首先根据平面向量的线性运算表示出行=而+/，再根据向量 相等得到x+.v = l,最后利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为。、E分别为A3、AC的中点，DF=tDE所以 aR = az5+o尸=a力+，力左= AB + 2_ _ _ 卜二 g(lT)

16、又A尸= xA8 + yAC,所以彳t,由工+产十1 /v = -t所以-=,当且仅当x = y = I时取等号：故答案为：16【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.15 .设>0且awl,函数/'"） = 1吗卜2-，可在2,3上是减函数，则实数的取值范围是.【答案】（0,l）U（3,4【解析】根据复合函数的单调性，及对数函数的单调性，对参数。分类讨论，分别计算 可得；【详解】解：因为a>0且工1,函数/（刈=腕.卜2_3在2,3上是减函数，当心1时，因为）=log. %在定义域上单调递增，所以函数），=卜2国在2,3上是减函

17、数，1<。42时，函数y = Yar在2,3上单调递增，不符题意；2<<3时，函数y =时在2,a上单调递减，在63上单调递增，不符题 意：“ 1-<2。>3时，函数丁 =卜2一词在不上单调递减，则2一解得3。<4,即L03a<3,4当0<。<1时，因为产log/在定义域上单调递减，所以函数丁 二一国在2,3上 是增函数，因为二次函数的对称轴为工='<1,所以只需x = 2时,，=22-2“>0解2得。<1,即0<。<1综上可得。w（0,l）U（3,4故答案为：（0,l）U（3,4【点睛】本题考查复合函

18、数的单调性，考查分类讨论思想，属于中档题.三、双空题16 .现统计出甲、乙两人在8次测验中的数学成绩如下（其中乙的一个成绩被污损）:甲:86, 79, 82, 91, 83, 89, 94, 89乙：90, 92, X, 80, 84, 95, 94, 90已知乙成绩的平均数恰好等于甲成绩的60%分位数，则乙成绩的平均数为, 的值为.【答案】8987【解析】根据百分位数的计算方法得出乙的平均数，再由乙的平均数得出工【详解】甲同学的成绩从小到大为：79,82,83,86,89,89,91,94因为8x6O% = 4.8,所以甲成绩的60%分位数为89,即乙成绩的平均数为89因为90+ 92 +X

19、 +80+ 84 +95+ 94+ 90= 89,所以x = 87故答案为：89： 87【点睛】本题主要考查了百分位数的计算以及平均数的计算，属于基础题.四、解答题17 .关于x的不等式k < 1的解集为A,关于X的不等式x2-3x+2<0的解集为B, 若xe 4是xe 8的必要不充分条件，求实数。的取值范围.【答案】1<“<2.【解析】根据题意得出集合B是集合A的真子集，解绝对值不等式以及一元二次不等式得出集合A,8.根据包含关系得出实数a的取值范围.【详解】解：因为xe A是xe 8的必要不充分条件，所以集合8是集合A的其子集解不等式打一<1，得一l + av

20、x<l + a,所以A = x|-l + avxvl + a解不等式3x + 2K0,得所以 3 = xl<x«21 + a v 1因为集合8是集合A的真子集，所以< c1 +。>2即 1 < a < 2【点睛】本题主要考查了根据必要不充分条件求参数的值，属于中档题.49118.已知正数。，b9 c,求证：。+ , b + , c + 这三个数中，至少有一个不小于 bca4.【答案】证明见解析.【解析】用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结 论的反而，利用基本不等式，即可得出结论.【详解】491证明：假设这三个数都小于

21、即。+ 一<4,8+ -<4,c + <4,bca491所以 + + /? +- + c + v 12 bca因为“，c均大于0,根据均值不等式有,6/+1Li b+- + c+当且仅当 =1, b = 2, c = 3时，等号成立.491这与+/2 + + C + <12矛盾，因此假设不成立，从而这三个数中，至少有一个 bca不小于4.【点睛】 本题主要考查反证法的应用，关键是掌握不等式的基本性质，属于中档题.19.如图，平行四边形A3CD中，已知通=2万，B户= 3FC，设丽=1, AD = b9（D用向量"和坂表示向量AF ；2 x =34, y = -

22、9（2）若D。= xDE，AO = yAF ,求实数x和y的值. 2 3【答案】(1)。£ =二£一/；： AF = a + -b： (2) < 34【解析】（1）用平而向量的线性运算整理可得：瓦=恁-而，AF = AB + BF代入已知向量即可得到,（2）用平而向量的线性运算整理可得：AD = AO-D6结合题干条件，可得到等式= 解等式即可.13/14 J【详解】 一 一 2- 一 2解： DE = AE-AD = -AB-AD = -a-b 33_ 3_3衣=4片 + 8尸=4与 + 二3（?=> 十 二/； 44（2）因为即，W4十而=血+ 砺=血_丽=

23、>,标_配=市 + '）7侍一 +31-y + x-l /? = 04,2y - - x = 03因为Z与B不共线，从而j3尹 + x -1 = 0【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查向量的基底表示，考查学生的运算能力、转换能力 以及思维能力，属于中档题.20.某电子产品厂商新推出一款产品，邀请了男女各1000名消费者进行试用，并评分 （满分为5分），得到了评分的频数分布表如下：男性：评分结果0,1)1，2)2,3)艮4)4,5频数5020035030010()女性:评分结果0,1)1,2)23)3,4)4,5频数250300150100200（1）根据频数分布表，完成下列频

24、率分布直方图，并根据频率分布直方图分别比较男女消费者评分的中位数的相对大小，以及方差的相对大小（其中方差的相对大小给出判断即可，不必说明理由）;（2）现从男女各1000名消费者中，分别按评分运用分层抽样的方法各自抽出20人放 在一起，在抽出的40人中，从评分不小于4分的人中任取2人，求这2人性别恰好不 同的概率.【答案】（1）作图见解析；男性消费者评分的中位数大；男性消费者评分的方差小：（2） 8 15-【解析】（1）根据频率分布表作图，再根据频率分布直方图求解中位数和估计方差大小: （2）先根据分层抽样得打分不小于4的男生人数为2人，记作a, b,打分不小于4的女生人数为4人，记作4 B,再

25、根据古典概率模型列举基本事件计算即可得答案.【详解】解：（1）频率分布直方图如下图所示,由频率分布直方图可以看出，男性消费者评分的中位数在区间2,3）内，女性消费者评 分的中位数在区间1,2）内，所以男性消费者评分的中位数大.由图估计男性消费者评分的方差小.（2）运用分层抽样的方法从1000名男消费者中抽出20人，打分不小于4的人数为2 人,记作小b：运用分层抽样的方法从1000名女消费者中抽出20人，打分不小于4 的人数为4人，记作A, B, C, D.在这6人中任意抽取两人，所得样本空间为：O = /?, aA, aB, aC, aD,bA, bB、bC、bD、AB, AC, AD, BC

26、, BD,CD, 共包含15个样本点.把两人性别恰好不同这个事件记作M,则 M = oA、aB,aC,aD,bA、bB,bC,bD）,共包含 8 个样本点.,"）=*【点睛】本题考查频率分布直方图的知识，古典概率模型，考查数据处理能力，是中档题.21.已知函数/（X）= log2（2°x）log2（常数nwR）.8（1）当“=1时，求不等式/（工）工。的解集；（2）当xe i 8时，求的最小值.【答案】（1）； （2）当时，/（x）的最小值为0：当一 3vv7时,/(X)的最小值为(" + 3)：当之7时，“X)的最小值为10-5。. 4【解析】(1)当 =1时，

27、/(x) = (l + log2x)(log2x-3),再利用对数函数的性质解 不等式即可：(2) /(x) = (log2x) +(i/-3)log2x-3«,换元 = log2X得 g()= 2+(43)3。，旬2,3,再根据二次函数的性质分类讨论即可得答案.【详解】 解:(1)当4 = 1时,/(x) = logj2x)Iog2- = (Iog22 + log2x)(log2x-log28)= (l + log2x)(log2-3) o:.由/(x)WO得(l + k)g2X)(log2X-3)«。，即：-l<log2x<3 log, | < log

28、, < log, 8,解得：y <x<8./(x)W0的解集为>. /(x) = log2(2x)log2| o= (log2 2a + log2 x)(log2 x-log2 8)= (log2x+d)(log2x-3)=(log2 x)- +(«-3)log2 x-3a令 = log2X,因为xe ；,8 ,所以w-2,3求在上的最小值即求函数&()= 2+(。-3)-3。在“£卜2,3上的最小值，g(u) = u2 +(a-3)u-3a = /-一"；)时,u e-2,33 a当223时，即时，2易知函数g()在2,3为减函数

29、，所以g(L=g(3) = 0；3 a当一2v一3时，即一3vav7时，2 «3 - ci3 - ci易知函数g()在-2.二一为减函数，在 ,3为增函数，所以当士工工一2即。之7时, 2易知函数g()在2,3为增函数,8()3=止2) = 1。-5。综上，当工一3时，/(X)的最小值为0：当一3vav7时，/(x)的最小值为(" + 3)；4当之7时,“X)的最小值为105。.【点睛】本题考查对数不等式的解法，二次函数在闭区间上的最值问题，考查分类讨论思想，是 中档题.22.已知函数/(x) = 2' + £(X£R)为偶函数.(1)求实数。的值；(2)证明/(x)在0,*。)上为增函数；(3)若关于丫的方程4/(2x)+x)3 = 0有两个不等的实根，求实数上的取值范 围.【答案】(1)4 = 1：(2)证明见解析：(3) 0九1或丸=上2且.24【解析】(1)依题意可得了(-x) = /(x),整理即可求出参数的值:(2)利用定定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论