高等数学下教学课件d82

1、*三、向量的混合积三、向量的混合积 第二节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积 向量积 *混合积 第八八章 1m一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,w1. 定义定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积 (点积) .引例引例. 设一物体在常力 f 作用下, f位移为 s , 则力f 所做的功为cossfsfw2mbacosba的与为baba,s机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,0时当a上的投影为在ab记作故,0,时当同理babj rpb2. 性质性质为两个非零向量, 则有baj rpcosbba

2、baaj rpbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba则2),(ba0,0ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 运算律运算律(1) 交换律(2) 结合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事实上, 当0c时, 显然成立 ;时当0cc)(ba babcj rpacj rpcbabacj rpc cbaccj rpj rpacj rp cbcj rpccacb)(j rpbac机动 目录 上页 下页 返回 结束 abcabc例例1. 证明三角形余弦定理cos2222abbac证证:则cos2222abbac如

3、图 . 设,abc,baccbabac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则, 10zzyyxxbababa当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,两向量的夹角公式 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(mb, )(ma bm例例2. 已知三点, )2,1 ,2(),1 ,2,

4、2(, )1 , 1 , 1(bam amb . a解解:, 1, 1 0, 1,0 1则ambcos10022213amb求mbmama mb故机动 目录 上页 下页 返回 结束 体的质量p (流体密度为 ) .求单位时间内流过该平面域的流例例3. 设均匀流速为的流体流过一个面积为a 的平面域 ,与该平面域的单位垂直向量,a解解:单位时间内流过的体积apaa的夹角为且vvncosvcosvnv vnn为单位向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例. 设o 为杠杆l 的支点 , 有一个与杠杆oqolpq符合右手规则oqffsinopsinopmfop

5、opm m作用在杠杆上的力矩是一个向量 m :的力 f 作用在杠杆的 p点上 , 则力 ffopfmfm 机动 目录 上页 下页 返回 结束 夹角为1. 定义定义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩fopm思考思考: 右图三角形面积abba21s机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 性质性质为非零向量, 则，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0时当baba0basinab03. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律(证明略)abcba )(cbcaba

6、)()( ba)(baba) 1 (证明证明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabai

7、babayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx( 行列式计算见 p339p342 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 已知三点, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(cba角形 abc 的面积 解解: 如图所示,cbasabc21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21ab ac21acab求三机动 目录 上页 下页 返回 结束 刚体上一点 m 的线速度例例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出的表示式 . ml解解: 在轴 l 上引进一个角速度向量使a其在 l 上任取一

8、点 o,o作它与则点 m离开转轴的距离a且符合右手法则的夹角为 , ,sinar, rom vsinr,vr rvvv方向与旋转方向符合右手法则 ,r向径机动 目录 上页 下页 返回 结束 *三、向量的混合积向量的混合积1. 定义定义 已知三向量称数量混合积混合积 .记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为hav coscba)(cba,cba的为cba,abaccba,以则其cosbaccba)(cbabacba机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyxzyxbbbaaaxcyczckji2. 混合积的坐标表示混合积的坐标表示设xayazaxbybzbzxzxbb

9、aayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,(yxccc)zc3. 性质性质(1) 三个非零向量共面的充要条件是0(2) 轮换对称性 :(可用三阶行列式推出)cbacba,a b cab ca bcabc机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 已知一四面体的顶点),(kkkkzyxa,3,2, 1( k4 ) , 求该四面体体积 . 1a2a3a4a解解: 已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的,61故 61v61

10、12xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21aa,31aa41aa413121aaaaaa机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 证明四点, )3,3,2(),6,5,4(, )1 , 1 , 1(cba共面 .解解: 因0)17,15,10(dabcd34512291416故 a , b , c , d 四点共面 .adacab机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzy

11、xccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba机动 目录 上页 下页 返回 结束 混合积:2. 向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba机动 目录 上页 下页 返回 结束 0ba思考与练习思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理:ccbbaasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及babcac机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 由三角形面积公式acbsinbacsinbbaasinsin所以ccsincbasin因babcacabacsabc21bcba21cacb21abacbcbacacb机动 目录 上页 下页 返回 结束 p22 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12第三节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 22343cos322)2(17备用题备用题1. 已知向量的夹角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba机动 目录 上页 下页