微分中值定理及其应用25493

1、第六章第六章 微分中值定理微分中值定理及其应用及其应用6.1 6.1 微分中值定理微分中值定理 一、罗尔(rolle)定理 二、拉格朗日(lagrange)中值定理 三、柯西(cauchy)中值定理? . ).()()()( ., 存在什么样的关系与直线我们来看看曲线的切线该是每点处的切线而与曲线有关的直线应：线两个端点的直线因此，可得到一条过曲），（已知条件是laxabafbfafylbaxxfy)(xfy )(,(afa)(,(bfb)()()()(axabafbfafybxaoytlt 与 l 平行这样的可能有好多bxaoy高了低了到了ab一个特殊的例子：假设从a点运动到b点，那么有许多

2、种走法，首先我们来看一个例子。行走的典型路线如下：bxaoyabmaxf0)(,minffxfxf)()( 0)( f0)(f0)(fxfxf)()( ) ( 0)()(xfxf0)()(xfxf这说明：在极大值或极小值点处,函数的导数为0. 几何意义是：在极值点处的切线平行于ab的连线或x轴.结论: rolle定理一、罗尔(rolle)定理)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上连续上连续在在 ,)3 , 1(上可导上可导在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf几何解释几何解释: :ab1

3、 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧cabc证证.)1(mm 若若,)(连续连续在在baxf.mm 和最小值和最小值必有最大值必有最大值.)(mxf 则则. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mm 若若),()(bfaf .取得取得最值不可能同时在端点最值不可能同时在端点),(afm 设设.)(),(mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在),()( fxf, 0)()( fxf, 0 x若若; 0)()( xfxf则有则有, 0 x若若; 0)()( xfxf则有则有; 0)

4、()(lim)(0 xfxffx; 0)()(lim)(0 xfxffx,)(存存在在 f).()( ff. 0)( f只只有有注意注意: 罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必要的.若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可其结论可能不成立能不成立.例如例如,又例如又例如, 1 , 0,)(xxxf0, 1, 0(,sin)(xxxxf., 0)2(),0(2,31, 0即罗尔定理的结论成立有，但存在点）、件上不满足罗尔定理的条在ff. 0)(,) 10(),3 1 , 0ff使得不存在点内，在件上不满足罗尔定理的条在f (x)满足条件(2), (3),但不

5、满足条件(1), 在(0, 1)内,21)( xf例如例如: (i)y=f (x)=121x1 , x = 1, x0, 1) 图3-1-2 x y011231 , 1 |)(xxxfyf (x)在-1, 1上,满足条件(1), (3),但不满足条件(2),当 x 时, f (x)= 1. x 时, f (x)= 1. x=0时, f (0)不存在. (ii)0 x y111图3-1-3y = |x|(iii) y=f (x)=x, x1, 2, f (x)在1, 2上满足条件(1), (2),但不满足条件(3),在(1, 2)内, f (x)=1. 02112xy图3-1-4y=x 例例1

6、设函数 f (x) = (x1)(x2)(x3), 不求导数,试判 断方程 f x 有几个实根, 它们分别在何区间? 解解: f (x)在1, 2上连续, 在(1, 2)上可导,且 f (1)= f (2);由罗尔定理: 1 , 使 f (1; 同理, 2, , 注意到 f (x)=0为二次方程, 使 f (2;它至多有两个实根,故 1, 2是 f (x)=0 的全部实根. 例例2 2.10155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx证证, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连续连续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)

7、(),1 , 0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.,),1 , 0(011xxx 设设另另有有. 0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满足罗尔定理的条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.为唯一实根为唯一实根二、拉格朗日(lagrange)中值定理)1()2().()(:bfaf 去掉了去掉了与罗尔定理相比条件中与罗尔定理相比条件中注意注意).()()( fabafbf结论亦可写成结论亦可写成)(xfy )(,(afa)(,(bf

8、b)()()()(axabafbfafybxaoytlt 与 l 平行.0 ,)( , 了典型情形，从而化为处等于和差在因此它们的是相等的与直线处和注意到在balxfyba0)()( )()()()()()(bfafaxabafbfafxfxfyabt平行与abt同一点ab1 2 xxoy)(xfy abcdnm几何解释几何解释:.,abcab线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证证分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦ab方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(abxf减去弦减去弦曲线曲线

9、., 两端点的函数值相等两端点的函数值相等所得曲线所得曲线ba作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxf ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xf. 0)(,),( fba使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,),(,)(内可导内可导在在上连续，上连续，在在设设babaxf)

10、.10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也可写成也可写成.的精确表达式的精确表达式增量增量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推论推论2( )( ),( )( ).ifxg xif xg xc如果 在区间上恒成立则 在区间上有 证明证明 12,.xx 的任意性，即得结论推论推论1( ),( ).if xf xi如果在区间上函数的导数恒为零则在区间上是一个常数1212,x xixx任取且应用拉氏公式，得到2

11、12112()( )( )() ()f xf xfxxxx在 与 之间21( )0()(),ff xf x由条件知，于是有由点例例3 3).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xcxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 c即即.2arccosarcsin xx例例4 4.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设, 0)(上满足拉氏定理的条件上满足拉氏定理的条件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf

12、 ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即例例5. 设 ab0 n1. 证明证明:令 f (x)= x n 显然 f (x) 在 b, a上满足拉格朗日定理条件, 证明: nbn1(ab) an bn nan1(a b)有 f (a) f (b)=f ( )(ab) (b a)即 an bn = n n1(a b)又 0b 1所以 bn1 n1 an1 nbn1 (a b)n n 1 (a b) nan1 (a b) 即 nbn1(ab) an bn nan1(a b)三、柯西(cau

13、chy)中值定理柯西（柯西（cauchycauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xf 在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且且)(xf在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内内至少至少有一点有一点)(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( ffafbfafbf 成立成立. . 几何解释几何解释:)(1 f)(2 fxoy )()(xfyxfx)(afa)(bfbcd)(xfnm.),(),(abffcab弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有

14、在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(afxfafbfafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x . 0)(,),( 使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba, 0)()()()()()( fafbfafbff即即.)()()()()()( ffafbfafbf. 0)(,),( 使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba,)(xxf 当当, 1)(,)()( xfabafbf)()()()()()( ffafbfafbf).()()( fabafbf例例6 6).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,

15、1 , 0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析: 结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设, 1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即四、小结四、小结rolle定理定理lagrange中值定理中值定理cauchy中值定理中值定理xxf )()()(bfaf 2 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；理之间的关系；1 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理中罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理中条件是充分的，但不是必要的条件是充分的，但不是必要的.3 证明函数方程或方程的根的存在性，可以考虑应用罗尔证明函数方程或方程的