“有趣的七巧板”教学案例-最新资料

1、“有趣的七巧板”教学案例“七巧板” 是一种起源于中国并在世界范围内广为流传的益智游戏。在中国，“七巧板”不仅是益智游戏的象征，某种程度上也是数学的一个标签，在香港举办的第 35 届国际数学奥林匹克的会标就选择了七巧板图案。 义务教育的数学课本中， 七巧板作为一个学习课题在小学和初中均有出现， 也说明了其在数学基础教育中的价值。 本文以笔者执教的沪教版数学教材七年级下册 “有趣的七巧板” 一课为案例，来谈谈如何在初中阶段充分挖掘“七巧板”这个传统课题的全面价值。一、教学准备过程（一）立足教材学情，尝试创新设计“有趣的七巧板” 是教材第十四章 “三角形”的章后“探究活动”，学生在此之前已经学习了图

2、形运动、 相交线和平行线、 三角形的有关概念、全等三角形等几何知识。考虑到这节课的探究属性，教学内容应包含学生亲手制作七巧板、 进行各种拼图游戏的环节； 考虑到这节课的学科属性，教学内容应包含利用所学知识探究线段的位置关系及数量关系、角的关系、图形的形状和大小关系等内容；考虑到这节课的文化属性，教学内容应包含对七巧板发展演变历程、 七巧板对数学学科乃至社会发展的文化功能等内容。 鉴于以上原因， 在尊重教材的前提下对教学设计做以下处理：1. 分解为两个课时，在保证探究形式的同时提升数学品味第一个课时以探究为主线， 但初中的探究和小学的探究应体现出差异，这差异不仅体现在难度上，更体现了协作性、综合

3、性和艺术性上。所以本节课的探究加入了拼图速度、拼图经验的提炼、按主题拼图、按定量要求拼图、小组合作拼图、艺术创作拼图等元素，同时加进对七巧板的几何结构的再认识。第二课时以七巧板与部分数学分支学科的关系为主线， 以学生乐于接受和易于理解的方式探讨了七巧板与“分形理论” 、“几何构造法”、“组合计数” 的关系。学生加深了对七巧板蕴含的文化内涵认识；复习了图形运动、割补法、 数形结合等数学知识和思想方法；并通过数学宝库的一条门缝，体验到数学宝藏的魅力。2. 立体化构建课堂，在扩充容量的同时助力知识内化立体化有两层含义， 一是课堂内技术手段的扩充， 二是课堂阵线的前移和后续。为提升课堂展示效果， 笔者

4、摈弃了传统的固定式实物投影，采用移动式实物投影，同学一举手，老师随即将设备扫到其桌面，大家就可以通过大屏幕看到其作品。既节省了从课桌走到讲台旁的时间，又防止了拼图在搬迁过程中的走样损坏。课堂阵线的前移指的是：（ 1）课前一周左右，把全班同学按 4 人一组分成若干小组，每个小组选择七巧板的“起源演变” 、“不同类型”、“深远影响”、“益智家族”四个专题中的一个进行探究。课前三天左右，组长和其他同专题的组长进行 PK后产生一个代表人，整合所有“研究同行”的素材，作为代表在课上讲解本专题内容。（ 2）进行“折剪七巧板视频录制”比赛，参赛同学用自己最擅长的方式将正方形纸片当场剪出一副七巧板， 一边折剪

5、一边讲解并录像，耗时最少且声音画面俱佳的同学获得当堂展示播放的机会。（ 3）每位同学在上课前准备两副七巧板，其中至少一副是自己折剪制作的。课堂阵线的后续指的是： 七巧板有一千多年演变发展史， 并且和许多数学知识有着千丝万缕的关系， 老师备课再充分也仍会产生课堂内无法解决的问题，那么就以课堂上随机生成的后续探究问题为作业，将探究延伸到课堂之外。（二）合理设置目标，定位重点难点基于以上对教材和学情的考虑， 对本课题的教学目标和重难点作以下确定。1. 教学目标（ 1）通过七巧板的制作和拼摆活动，进一步深化对图形运动及全等形等有关内容的认识：强化对基本几何图形的识图、作图、拼图技能；积累数学活动的经验

6、，培养创新能力和协作能力。（ 2）在教师的引导下，体验七巧板中蕴含的数学思想和数学方法，渗透数学的学科思维方式，学会用数学的眼光看待生活、处理生活。（ 3）通过先行探究、课堂展示和教师补充，了解七巧板等其他中华传统益智游戏的历史， 经历数学文化教育、 传统文化教育和爱国主义教育。2. 教学重难点（ 1）教学重点：了解七巧板的结构，熟练七巧板的制作和拼摆。（ 2）教学难点：体会七巧板中蕴含的数学思想和方法，以及它们在学科内外的作用。二、教学实施过程（一）第一课时教学板块分解1. 教学板块一：情境引入观看课件题头由七巧板组成的动态图， 感受七巧板动态拼图的乐趣。2. 教学板块二：再度认识师生活动：

7、给出分割前的七巧板示意图f 如图 1）从形状、角度关系、线段（包含数量和位置）关系、面积关系等几个角度加深学生对七巧板结构的认识。设计思路：在提问方式上通过口答、填空题、探究题等不同形式来呈现问题；在问题设计上以题组形式呈现。以面积问题为例：和正方形 EGHK面积相等的图形有哪些？变式一：面积等于正方形EGHK一半的图形有哪些？变式二：面积等于正方形EGHK两倍的图形有哪些？变式三：正方形EGHK的面积等于哪两个图形的面积之差？3. 教学板块三：速度比“拼”老师提供两个图案由同学拼接，并让速度最快的同学“传授”拼图经验。4. 教学板块四：主题创作师生活动：现场和学生交流， 你们喜欢拼什么图？你

8、们觉得哪种图比较有挑战性？进而产生创作主题，例如鸟类、兵器类、鱼类、植物主题等等。学生按主题进行现场的拼图创作。设计思路：现场产生创作主题的做法更能激起他们的学习兴趣，学生不是在完成老师的任务，而是在完成自己的创意。5. 教学板块五：定量创作师生活动：用七巧板拼图，使图形的周长尽可能小。设计思路：这项任务难度较大，可以采用小组合作的方式，拼图过程中还涉及线段长度的计算，进一步巩固学生对七巧板几何结构的认识。6. 教学板块六：精彩连连展示“刻舟求剑”、“卖火柴的小女孩”等用多个七巧板拼出有故事性的连环画。以小组为单位，拼出自己的七巧板连环画（用4 副-8副均可）。7. 教学板块七：课堂小结学生从

9、快速拼图的经验、 小组合作的经验、 七巧板的几何构造等角度进行课堂小结。（二）第二课时教学板块分解1. 教学板块一：通古晓今师生活动：学生代表展示七巧板的“起源演变” 、“不同类型”、“深远影响”、“益智家族” 四个专题的探究成果。教师对学生展示进行评价和补充， 并发现后续探究点一和后续探究点二（见本文第三章第一节学生作业部分，以后提到后续探究点即参看该处，不一一注解）。设计思路：学生在研究七巧板的“深远影响”时，主要聚焦在家装设计、工程设计、心理学测试工具、 Logo 设计等方面，而没有聚焦到七巧板对数学学科的影响上。 教师对这一视角的补充就将课堂内容自然过渡到了接下来的三个板块。2. 教学

10、板块二：剪中知博师生活动 1：观看课前录制好的折剪七巧板的视频，并探讨其他不同的折剪方法及其原理， 教师引导学生认识到折剪过程中蕴含的数学知识。师生活动 2：老师展示一种基于迭代的新的折剪方式（如图 2）：把一张正方形纸片沿对角线对折后得到一个等腰直角三角形， 然后沿等腰直角三角形斜边上的高反复对折四次， 展开即得到上图的虚线折痕，七巧板的剪痕就蕴含在虚线折痕中。 学生感受这种折法中蕴含的迭代构图和自相似构图的规律性和美感， 同时发现七块板都能再继续分解成多个等腰直角三角形， 体会到七巧板的多变就来源于他们拥有或局部拥有等腰直角三角形结构。师生活动 3：教师介绍分形理论； 展示利用分形构造的美

11、妙图案；介绍生活中的分形： 雪花和西兰花； 简单介绍分形理论在有关领域的应用。当说到分形和管理学的关系时， 有同学回答说每一个管理层级的内部组织架构都是相似的， 说明学生已经初步感受到了分形理论的价值。设计思路：迭代和自相似的构图是贯穿七巧板演变史的一个重要的构图共性，所以，让学生了解分形理论有助于他们更好地从本质上理解七巧板。3. 教学板块三：不变致奇师生活动 1：给出一个“蒙面侠”拼图（见图3）让学生拼，拼法如图 4。并提出问题：如果“蒙面侠”脸颊部的线段长度为 1，求整个图案的面积。方法一：通过研究拼接线，计算得原正方形边长为 2？，故得原正方形面积为 8；方法二：通过研究原正方形， 发

12、现脸颊右侧的小正方形面积为大正方形面积的 1/8 ，故得原正方形面积为 8，求得原正方形即求得了“蒙面侠”的面积。师生活动 2：上述两种方法都利用了拼接前后图形面积不变的原理，介绍“出入相补” （以盈补虚、割补）原理，利用这种原理可以证明代数公式。例如：平方差公式的几何证明法：图 5 和图 6 的左图阴影部分面积均为 a2-b2 ，右图阴影部分面积均为（ a+b）（a-b ），两种不同的分割方法证明了平方差公式。再例如，青朱出入法证明勾股定理 （并由此产生后续探究点三） 。很多代数恒等式（包括不等式）都可以用几何方式给出证明，不同的是有些需要借助立体图形（例如立方和差公式） ，有些需要引进圆（

13、例如基本不等式的几何证明） ，由此产生后续探究点四。设计思路：“解析几何”是用代数方法解决几何问题，我们也可以用几何方法解决代数问题，两者在数学学科内的地位虽相差甚远，但却是运用数形结合思想的两个互逆方向。选择这个角度来进行拓展，可以渗透数形结合这一重要的数学思想。4. 教学板块四：拼中藏密师生活动 1：给出三幅凸形七巧图和三幅非凸形七巧图。通过对比，理解“凸图形”的意义。师生活动 2：尝试用七巧板拼出范例之外的凸形图案。师生活动 3：在组合计数的研究中，对上述问题答案的个数作出了解答。七巧图的凸性数最大只能是56。但这个 56 似乎是达不到的，目前人们只找到41 种凸形七巧图。通过这一研究成

14、果的介绍激发后续探究点五，并感受益智类游戏的不同玩法数量这一衍生问题的学科价值。设计思路：组合计数和这些益智游戏有着类似研究工具和研究对象的关系，让很多数学游戏迈入了数学的殿堂。5. 教学板块五：其乐无穷学生小结本节课的收获， 教师对学生的小结作适当引导，对产生的 5 个后续探究点让学生作适当记录并作为课后作业。三、课后总结反思（一）学生学习情况反馈1. 学生成果（1）快速拼图经验：先易后难，先找最能确定的部分，其他部分多做尝试；先解决两个最大的等腰直角三角形。（2）七巧板连环画作品例举（见图7）：2. 学生作业（后续探究点）（ 1）在“起源演变”的小组展示中，学生产生了现代版的正方形七巧板究

15、竟是谁发明的疑问，成为后续探究点之一。（ 2）在“益智家族”的小组展示中，学生产生了“孔明锁是否为魔方的祖先”的疑问，成为后续探究点之二。（ 3）在“不变致奇”教学板块中，介绍了青朱出入图（如图8）证明勾股定理，其中青出和青入、朱出和朱入为何面积相等，成为了后续探究点之三。（ 4）在“不变致奇”教学板块中，除了老师给出的几个公式之外，你还能用几何构造法证明哪些公式？这是后续探究点之四。（ 5）在“拼中藏密”教学板块中，文献记录目前人们只找到了41 种凸形七巧图，同学们可以利用课后时间尽可能找齐这41 种凸形图。甚至尝试突破41，去接近 56 的理论值。这是后续探究点之五。（二）听课老师评价本节课是上海市闵行区初中数学公开课， 并且向新西兰教育电视台访问团、美国加州州立大学长滩分校访问团开放听课。 在闵教课程与课堂教学网（ http ：/ktjxmhedu.sh/ ）上有近 60 名老师给出了网上评课。综合评课意见，听课老师对课堂的互动性、 开阔的学科视野、多媒体教学手段的恰当运用、 探究课型的创新模式和整体教学效果都给出了较高评价，但对一般性学校的初一学生是否适应这样的难度和容量提出了一些疑惑。（三）个人反思为了准备七巧板这个课题， 笔者查阅了很多文献， 在教学设计上几易其稿；针对一些难点和同行进行激烈讨论； 和学生一起为专题探究和视频拍摄做了许