数学分析第十二章数项级数1

1、第十二章第十二章 数项级数数项级数1 数项级数的收敛性数项级数的收敛性一、问题的提出一、问题的提出1. 1. 计算圆的面积计算圆的面积r正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积1a21aa 正正 形的面积形的面积n23 naaa 21naaaa 21即即 n10310003100310331. 2二、级数的概念二、级数的概念1. 1. 级数的定义级数的定义: : nnnuuuuu3211(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项部分和数列部分和数列 niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 2.

2、2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: : 当当n无限增大时无限增大时, ,如果级数如果级数 1nnu的部分和的部分和数列数列ns有极限有极限s, , 即即 ssnn lim 则称无穷级数则称无穷级数 1nnu收敛收敛, ,这时极限这时极限s叫做级数叫做级数 1nnu的和的和. .并并写成写成 321uuus如果如果ns没有极限没有极限, ,则称无穷级数则称无穷级数 1nnu发散发散. .即即 常常数数项项级级数数收收敛敛( (发发散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) )余项余项nnssr 21nnuu 1iinu即即 ssn 误差为误差为nr)0lim( nnr无穷级数收敛

3、性举例：无穷级数收敛性举例：kochkoch雪花雪花. .做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形了面积有限而周长无限的图形“koch“koch雪花雪花”观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212aaapp 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 ap面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形播放播放,

4、 2 , 1)34(11 nppnn)91(431121aaannnn 1121211)91(43)91(43913aaaann , 3 , 2 n周长为周长为面积为面积为)94(31)94(31)94(31311221 na第第 次分叉：次分叉：n于是有于是有 nnplim)941311(lim1 aann.532)531(1 a结论：雪花的周长是无界的，而面积有界结论：雪花的周长是无界的，而面积有界雪花的面积存在极限（收敛）雪花的面积存在极限（收敛）例例 1 1 讨论等比级数讨论等比级数( (几何级数几何级数) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的收敛性的收敛性. .解解时时如果

5、如果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim 收敛收敛 发散发散时时如果如果1 q,1时时当当 q,1时时当当 q nasn 发散发散 aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim 发散发散 综上综上 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,10qqaqnn例例 2 2 判判别别无无穷穷级级数数 )12()12(1531311nn 的的收收敛敛性性. .解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(2

6、1)5131(21)311(21 nn)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和为和为级数收敛级数收敛三、基本性质三、基本性质性性质质 1 1 如如果果级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1nnku亦亦收收敛敛. .性性质质 2 2 设设两两收收敛敛级级数数 1nnus, , 1nnv, ,则则级级数数 1)(nnnvu收收敛敛, ,其其和和为为 s. .结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性性质

7、质 3 3 若若级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1knnu也也收收敛敛)1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. .证明证明 nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 则则.kss 类似地可以证明在级数前面加上有限项不类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性影响级数的敛散性.性性质质 4 4 收收敛敛级级数数加加括括弧弧后后所所成成的的级级数数仍仍然然收收敛敛于于原原来来的的和和. .证明证明 )()(54321uuuuu,21s .limlimssnnmm 则则,52s ,93s ,nms 注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不

8、一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. )11()11(例如例如 1111推推论论 如如果果加加括括弧弧后后所所成成的的级级数数发发散散, ,则则原原来来级级数数也也发发散散. . 收敛收敛 发散发散四、收敛的必要条件四、收敛的必要条件级级数数收收敛敛. 0lim nnu证明证明 1nnus,1 nnnssu则则1limlimlim nnnnnnssuss . 0 即即趋于零趋于零它的一般项它的一般项无限增大时无限增大时当当,nun级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: :注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 1)1(4332

9、211nnn例如例如 发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分. .?, 0lim但级数是否收敛但级数是否收敛有有 nnu n131211例如调和级数例如调和级数讨论讨论nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其和为其和为假设调和级数收敛假设调和级数收敛)lim(2nnnss 于是于是ss , 0 .级数发散级数发散)(210 n便有便有.这是不可能的这是不可能的 )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8项4项2项2项 项m221每每项项均均大大于于21)1(1 mm项大于项大于即前即前.级级数数发发散散由性质由性质4 4推论推

10、论, ,调和级数发散调和级数发散. .五、小结五、小结1 1. .由由定定义义, ,若若ssn, ,则则级级数数收收敛敛; ;2 2. .当当0lim nnu, ,则则级级数数发发散散; ;3 3. .按按基基本本性性质质. .常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法思考题思考题 设设 1nnb与与 1nnc都都收收敛敛，且且nnncab ), 2 , 1( n，能能否否推推出出 1nna收收敛敛？思考题解答思考题解答能能由柯西审敛原理即知由柯西审敛原理即知一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若nnan242)12(31 , ,则则 51nna= =_；2 2、 若若n

11、nnna! , ,则则 51nna= =_；3 3、 若级数为若级数为 642422xxxx则则 na_；4 4、 若级数为若级数为 97535432aaaa则则 na_；5 5、 若级数为若级数为 615413211 则当则当 n_时时 na_；当；当 n_时时 na_；6 6、 等比级数等比级数 0nnaq, ,当当_时收敛；当时收敛；当_时发散时发散 . .练习题练习题三、由定义判别级数三、由定义判别级数 )12)(12(1751531311nn的收敛性的收敛性. .四、判别下列级数的收敛性四、判别下列级数的收敛性: :1 1、 n31916131；2 2、 )3121()3121()3

12、121()3121(3322nn；3 3、 nn101212014110121 . .五、利用柯西收敛原理判别级数五、利用柯西收敛原理判别级数 61514131211的敛散性的敛散性 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、1086429753186427531642531422121 ； 2 2、543215! 54! 43! 32! 21! 1 ； 3 3、)2(6422nxn ； 4 4、12)1(11 nann； 5 5、kkkk21,2 , 12 . 12 ； 6 6、1, 1 qq. .三、收敛三、收敛. . 四、四、1 1、发散；、发散； 2 2、收敛；、收敛； 3 3、发散、

13、发散、 nkknks12)10121( . .五、发散五、发散. . 取取np2 观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212aaapp 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 ap面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212aaapp 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 ap面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212aaapp 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 ap面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212aaapp 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 ap面积为