东南大学往年高数期末考试试题及答案-8篇整合

1、东南大学考试卷(A卷)一.填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)1. limxsin =_ 2_；i x +12 .当XTO时，a(x) = y + xarcsinx-yjcosx与0(x) = Z是等价无穷小，则3.设y = (1 + sinx)v,则dy |尸龙=_一/rdx_ ；4函数f(x) = xer在x = l处带有Peano余项的二阶Taylor公式为e + 2e(x 1) + (x 1) +o(x 1)_:2-2ev+ si nx,x 0二.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分)6.设函数/(A)=一 ，贝J Cl-e(A) X = 0,A = 1都是/(X

2、)的第一类间断点(B) A =0,X = l都是/(X)的第二类间断点(C) x = 0是/(x)的第一类间断点，x = l是/的第二类间断点(D) x = 0是/(X)的第二类间断点，x = l是/(x)的第一类间断点Y = / 2 + 9/7.设函数y =y(x)由参数方程 一确迄 贝IJ曲线y =y(x)在兀=3处的切线y = ln(l + f)与兀轴交点的横坐标是C 8.以下四个命题中，正确的是C (A)若f(x)在(0,1)内连续,则/(X)在(0,1)内有界(B)若/(x)在(0,1)内连续，则/(x)在(0,1)内有界(C)若在(0,1)内有界，则y(x)在(0,1)内有界(D)

3、若7(x)在(0,1)内有界,则广在(0,1)内有界9.当。取下列哪个数值时，函数f(x) = 2x3-9x2+2x-a恰有两个不同的零点B (A) 2(B) 4(C) 6(D) 8三.计算题(本题共5小题，每小题7分，满分35分)X).2 + e 1 + X=Inn-(A)i,n2+3(B)一扣2 + 3(C) 8 In 2 + 3(D) 81n2 + 310.X)X + X1一1+1 +X7 f32,t-i设F(x) = er-l-XG Fx)= ev-e3=limx In 2 +xx 2= 31n2n11+7=n + J n n + n + yJ2体设右求严2= + 忌严U)=(j)n2

4、f!+ (1_2旷14.设函数y = y(x)由方程sin(x2+ y2)+ex-xy2=0所确定,求业。dx/ 分 八,dv 2xcos(x2+y2) + ev-y2(2x + 2yy)cos (.+ y ) + ex-)厂-2xyy= 0 =“ 2y(x-cos(x，+ y2)四.（本题共4道题，满分29分）15.（本题满分6分）如果以每秒50cm3的匀速给一个气球充气，假设气球内气压保持常值，且形状始终为球形，问当气球的半径为5cm时.4, dV dVdr , . dr3d/dr dr dr50 = 100,dr26.（本题满分7分）证明不等式:drV-lev 1 + xe2半径增加的速

5、率是多少dr 12(x 0)X-e2t-i工 TY1l S1 limn+ yjn1由夹逼立理得其中(x) = e-l-, 0(O) = e亍一10, (x)=-2 2所以当CO时,0(兀)单增,又因0(0)0,所以(x)0,从而F(x)no,所以F(x)单增，又因F(0) = 0 ,所以当xAO时，F(x) F(0) = 0,所要证不等式成立。1 1 17.(本题满分8分)在抛物线y = F上求一点p匕_/ ,(6/0),使弦P0的4I 4丿长度最短，并求最短长度，其中0是过点P的法线与抛物线的另一个交点。a28 + /(8 + /)八法线方程y = -j+2 +点0的坐标-/4/(2分)f(a) = d2=当G2逅时， 广(a)0，a = 2 品是/)的唯一极小值点， 因而是最小值点。P(2,2),血n=6Q18.(本题满分8分)设函数/W在闭区间匕列上连续，在开区间(d,b)内可导，且/(“)= /?,/(b) = G, i正明：(1)至少存在一点C (,/?),使得f(c)=c；(2)至少存在互异的两点歹，已(,)，使得广()广()=10(x0)4(4 +/I=(),/(/o = Q)州0 =(加b(g) m J迄驸，q切pm(x)m O