第四节函数的连续性

1、1.4 函数的连续性函数的连续性1.4.1 函数的连续性函数的连续性定义定义1.7 (函数在一点的连续性函数在一点的连续性)设设 在在 x0 的某一邻域内有的某一邻域内有定义定义,)(xf时函数时函数 的极限存在的极限存在,)(xf0 xx 如果当如果当且且)()(lim00 xfxfxx 则称函数则称函数 在点在点 连续连续,)(xf0 x称为称为 的连续点的连续点.)(xf0 x;)()1(0处处有有定定义义在在点点 xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx 处连续必须满足三个条件处连续必须满足三个条件:0)(xxf在在点点说明说明:函数函数),()

2、(00 xfxxfy 所以所以, 在点在点 连续连续等价于等价于:)(xf0 x,0 xxx 若设若设00 xxx. 0lim0 yx),()(lim00 xfxfxx 若若;)(0处处左左连连续续在在点点则则称称xxf),()(lim00 xfxfxx 若若.)(0处右连续处右连续在点在点则称则称xxf0 x左连续左连续0 x右连续右连续xyoxyo显然显然, 00)()(xxfxxf在在处处连连续续在在定义定义1.8 (函数在一点左右连续函数在一点左右连续)又右连续又右连续.处既左连续处既左连续, 或称函数在该区间上连续或称函数在该区间上连续. .在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都

3、连续的函数, 称该区间上的称该区间上的在开区间在开区间),(ba右连续右连续 )(lim(xfax )(lim(xfbx左端点左端点ax 右端点右端点bx ,)(bacxf continuous左连续左连续连续函数连续函数,),()(bacxf )(af)(bf内连续内连续)(xf连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.定义定义1.9 (函数在区间连续函数在区间连续)例如例如, 多项式函数多项式函数内是连续的内是连续的. 因此因此, 有理分式函数在其定义域内的每一点有理分式函数在其定义域内的每一点都是连续的都是连续的.有理分式函数有理分式函数, ),(0

4、xnnnxaxaaxp 10)(),( )()(lim00 xpxpnnxx ,)()()(xqxpxrmn 只要只要,0)(0 xqm都有都有).()(lim00 xrxrxx 因此因此, 多项式多项式函数函数在在例例1 证明函数证明函数 内连续内连续. .证证,00处处在在 x.),(,内连续内连续在在故故 xy . 0, 0,xxxxxy, 0)(limlim00 xyxx, 0limlim00 xyxx所以所以).0(0lim0yyx ,00时时当当 x);(limlim0000 xyxxyxxxx ,00时时当当 x);()(limlim0000 xyxxyxxxx ),( 在在xy

5、证证),(0 x.sinsinlim00 xxxx 2sin2cos2sinsin0000 xxxxxx 002sin2xxxx 由由夹逼定理夹逼定理, 有有 .),(sin,内连续内连续在在所以所以 xy.),(cos内内连连续续在在 xy因因例例2 证明函数证明函数 内连续内连续. .),(sin 在在xy同理同理,定理定理1.14 (函数四则运算的连续性函数四则运算的连续性) 例如例如,),(cos,sin内内连连续续在在 xx则则点连续点连续在在设函数设函数,)(),(0 xxgxf;)()()1(0连续连续在在xxgxf ;)()()2(0连续连续在在xxgxf ).0)()()()

6、3(00 xgxxgxf若若连续连续在在故故 在其定义域内连续在其定义域内连续.xxxxcsc,sec,cot,tan,)(,)(000uxxxu 且且连连续续点点在在设设函函数数定理定理1.15 (复合函数的连续性复合函数的连续性)(lim)(lim00 xfxfxxxx .)(,)(00点也连续点也连续在在则复合函数则复合函数点连续点连续在在而函数而函数xxfyuufy ).(0 xf 定理定理1.16 设函数设函数 在区间在区间i 上单调而上单调而且连续且连续, 则其反函数也单调且连续则其反函数也单调且连续.)(xfy 由此由此, 反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续

7、.即即三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1, 0( aaayx;,),(且且连连续续内内单单调调在在 )1, 0(log aaxya;,), 0(且且连连续续内内单单调调在在 可以证明可以证明: xy xeln ,uey xuln ,), 0(内内连连续续在在 均在其定义域内连续均在其定义域内连续.指数函数指数函数对数函数对数函数定理定理1.17 (初等函数的连续性初等函数的连续性) 初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间定义区间是指包含在定义域内的区间是指包含在定义域内的区间.注注 1. 初等函数仅

8、在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 例如例如,)1(32 xxy), 1 0 :d在在 0 点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义,.), 1内内连连续续函函数数在在 注注 2. 初等函数的连续性提供了简单极限的求法初等函数的连续性提供了简单极限的求法.)(),()(lim000某定义区间某定义区间若若 xxfxfxx在其定义域内不一定连续在其定义域内不一定连续;例例3 求求.1sinlim1 xxe1sin1 e原原式式. 1sin e例例4 求求.11lim20 xxx 解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx020 例例5 (非

9、初等函数的例子非初等函数的例子) ,0, 10, 00, 1sgn xxxx证明符号函数证明符号函数 是非初等函数是非初等函数. 证证 因为因为),(sgn 的的定定义义域域是是而而x, 11limsgnlim00 xxx1)1(limsgnlim00 xxx.sgnlim0不不存存在在所所以以xx.0sgn处处不不连连续续在在因因此此 xx,sgn初初等等函函数数是是若若x.),(sgn连连续续在在则则 x矛盾矛盾, .sgn非非初初等等函函数数是是所所以以x;)()1(0处处有有定定义义在在点点 xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx ),()(0

10、或或间间断断处处不不连连续续在在点点则则称称函函数数xxf1.4.2 函数的间断点函数的间断点)(0 xfx 为为并并称称点点的的间断点间断点.处连续必须满足三个条件处连续必须满足三个条件:0)(xxf在在点点函数函数如果上述三个条件中有一个不满足如果上述三个条件中有一个不满足,间断点分为两大类间断点分为两大类:第一类间断点第一类间断点:)0(0 xf和和)0(0 xf都存在的都存在的间断点间断点,),0()0(00 xfxf若若则称为则称为可去间断点可去间断点;),0()0(00 xfxf若若则称为则称为跳跃间断点跳跃间断点.其中其中称为称为第一类间断点第一类间断点.例例6 讨论讨论.00,

11、10,)(处处的的连连续续性性在在 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f)00()00( ffoxy所以所以, 为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点.0 x例例7 讨论函数讨论函数 1,11, 110,2)(xxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 2)01( f2)01( f1)1(2)(lim1 fxfx所以所以, 为函数的可去间断点为函数的可去间断点.1 x在在 处的连续性处的连续性.1 x如例如例7中中, 2)1( f令令 1,110,2)(xxxxxfoxy112注意注意: 可去间断点只要可去间断点只要改变改变或者或者补充补充间断处函间断处函 数的定义数的定

12、义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.则则在在 处连续处连续.1 x第二类间断点第二类间断点:和和中至少一个不中至少一个不)0(0 xf)0(0 xf若其中有一个为若其中有一个为, 称为称为无穷间断点无穷间断点. .称为称为第二类间断点第二类间断点.存在的存在的间断点间断点,例例8 讨论函数讨论函数.00,0,1)(处处的的连连续续性性在在 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f )00(f所以所以, 为函数的无穷间断点为函数的无穷间断点.0 x 是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxd, 0, 1)(狄利克雷函数狄利克雷函数定义域内每一点都是第二类间断点定义域内每一

13、点都是第二类间断点. 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxxxf,)(注意注意: 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.仅在仅在 处连续处连续, 其余各点处处间断其余各点处处间断.0 x初等函数无定义的孤立点是间断点初等函数无定义的孤立点是间断点.分段函数的分段点可能是间断点分段函数的分段点可能是间断点, 也可能是连续点也可能是连续点,需要判定需要判定.求函数的间断点的方法求函数的间断点的方法的间断点的间断点.)1)(1(sin)1()( xxxxxxf例例如如,求求解解0, 1, 1 xxx是间断点是间断点.111)( xxexf1001

14、1lim)(lim xxxxexf )(lim1xfx 1 1111lim xxxe11111lim)(lim xxxxexf0 解解例例9 求函数求函数 的间断点的间断点, 并判断其类型并判断其类型. 1, 0 xx是间断点是间断点.所以所以, x = 0为第二类无穷为第二类无穷间断点间断点.内连续内连续. 由初等函数的连续性由初等函数的连续性,),0 ,(函数函数 在其定义区间在其定义区间)(xf),1 , 0(), 1( 所以所以, x = 1为第一类为第一类跳跃间断点跳跃间断点.,0ix 若若)()()()(00 xfxfxfxf 1.4.3 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性

15、质设设 在区间在区间i 有定义有定义, )(xf, ix 使得使得则称则称 是函数是函数 在区间在区间i 的最大值的最大值(最小值最小值).)(xf)(0 xf定理定理1.18 (最大最小值定理最大最小值定理)设设 在在a, b上连续上连续, 则则 在在a, b上有上有)(xf)(xf最大值最小值最大值最小值.有有ab2 1 xyo)(xfy ,21ba 则则,bax 使得使得,)(bacxf ).()(),()(21xffxff 注意注意: 1. 若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立;推论推论1.5 (有界性定理有界性定理)2. 若区间内有间断点若区间内有间断点, 定

16、理不一定成立定理不一定成立.设设 在在a, b上连续上连续, 则则 在在a, b上上有界有界.)(xf)(xf有有若若 显然显然, 函数的最大、最小值分别是它的一个函数的最大、最小值分别是它的一个上界和一个下界上界和一个下界.),(0)(内内至至少少存存在在一一个个实实根根在在即即方方程程baxf 定理定理1.19 (零点定理零点定理) 设函数设函数 在闭区间在闭区间 a, b上连续，上连续，)(xf, 0)()( bfaf若若. 0)( f使得使得),(ba 则至少有一点则至少有一点如果如果 的一个的一个零点零点.)(, 0)(00 xfxxf为函数为函数则称则称 ab3 2 1 几何解释几

17、何解释:xyo)(xfy 定理定理1.20 (介值定理介值定理) 设函数设函数 在闭区间在闭区间 上连续上连续,)(xf,ba若若),()(bfaf ,)()(之之间间的的任任一一值值与与是是介介于于bfafc),(ba 则至少有一点则至少有一点.)(cf 使得使得两个端点位于两个端点位于x 轴的两侧轴的两侧,则曲线弧与则曲线弧与x 轴至少有一交点轴至少有一交点.连续曲线弧连续曲线弧 的的)(xfy mbcamab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证,)()(cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax cafa )()( 且且ca cbfb )()( cb , 0)()( ba 由由

18、零点定理零点定理,),(ba , 0)( 使得使得, 0)()( cf 即即cf )( 故故推论推论1.6 闭区间上连续的函数闭区间上连续的函数, 必取得介于最必取得介于最大值大值m 与最小值与最小值m 之间的任何值之间的任何值.例例10 证明方程证明方程内内至至少少有有在在区区间间)1 , 0(4123xx 证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由由零点定理零点定理,),1 , 0( , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(4123 内内至至少少有有一一根根在在xx 一根一根.所以所以,方程方程使得使得例例11 设函数设函数,)(,)(aafbaxf 且且上上连连续续在在区区间间证证,)()(xxfxf 令令,)(上上连连续续在在则则baxfaafaf )()(而而,