第十章定积分的应用

1、1 平面图形的面积 2 由平行截面面积求体积3 平面曲线的长4 定积分在物理学中的应用1 平面图形的面积平面图形的面积 本章中我们将用前面学过的定积分的知识来本章中我们将用前面学过的定积分的知识来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅是建立计算这些几何、物理的公式，而且不仅是建立计算这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法解决问题更重要的还在于介绍运用元素法解决问题的定积分的分析方法。的定积分的分析方法。考虑曲边梯形面积计算问题考虑曲边梯形面积计算问题 badxxfa)(一一 问题的提出问题的提出曲边 梯形由连 续曲 线曲边 梯形由连

2、 续曲 线)(xfy )0)( xf、x轴与两条直线轴与两条直线ax 、bx 所围成。所围成。ab xyo)(xfy 面积表示为定积分要通过如下步骤：面积表示为定积分要通过如下步骤：（1）把区间把区间,ba分成分成n个长度为个长度为ix 的小区间，的小区间，相应的曲边梯形被分为相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形， 第个小窄曲边梯形， 第i 小窄曲边梯形的面积为小窄曲边梯形的面积为ia ，则，则 niiaa1.（2）计算计算ia 的近似值的近似值iiixfa )( iix （3） 求和，得求和，得a a的近似值的近似值.)(1iinixfa （4） 求极限，得求极限，得a a的精确值的精确值i

3、inixfa )(lim10 badxxf)(iinixf )(lim10 比较比较 badxxf)(与与两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边的定积分表达式有很好的对应。我们让的定积分表达式有很好的对应。我们让 ni 10lim ba对应对应iixf )( 而而使使dxxf)(对对应应 要想得到一个定积分表达式，只要求出被积要想得到一个定积分表达式，只要求出被积表达式表达式,)(dxxf这就是定积分的元素法这就是定积分的元素法当当所所求求量量u符符合合下下列列条条件件（1 1）u是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的

4、的量量；（2）u对于区间对于区间 ba,具有可加性，就是说，具有可加性，就是说，如果把区间如果把区间 ba,分成许多部分区间，则分成许多部分区间，则u相应相应地分成许多部分量，而地分成许多部分量，而u等于所有部分量之等于所有部分量之和；和；（3）部部分分量量iu 的的近近似似值值可可表表示示为为iixf )( ；就就可可以以考考虑虑用用定定积积分分来来表表达达这这个个量量 u 二二 定积分的元素法（定积分的元素法（element method ）元素法的一般步骤元素法的一般步骤1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为为积分变量，并确定它的变化区间积分变量

5、，并确定它的变化区间,ba；2）设想把区间设想把区间,ba分成分成n个小区间，取其中任个小区间，取其中任一小区间并记为一小区间并记为,dxxx ，求出相应于这小区，求出相应于这小区间的部分量间的部分量u 的近似值的近似值. .如果如果u 能近似地表能近似地表示为示为,ba上的一个连续函数在上的一个连续函数在 x处的值处的值)(xf与与dx的乘积，就把的乘积，就把dxxf)(称为量称为量 u的元素且的元素且记作记作 du，即，即dxxfdu)( ； 3）以以所所求求量量u的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得 badxxfu)(，即即为为所

6、所求求量量u的的积积分分表表达达式式. .这个方法通常叫做元素法这个方法通常叫做元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等l复习: 定积分的几何意义三、平面图形的面积:由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的图形y=f(x)ab0 xy怎样求面积呢？dxxfba)(. 1a-a0)(xf0)(xfa表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积ababy=f(x)0y=f(x)0 xxyy00aa321)(aaadxxfba则2.如果f(x)在a,b上时正，时负，如下图结论：

7、的代数和表示积的值都可用区边梯形面dxxfba)(几何意义abxyy=f(x)2a1a3a0问题:试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0 xy=x22yy0 xy=f(x)y=g(x)abl讲授新课:直角坐标系xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfa)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfa)()(121 1 直角坐标系情形直角坐标系情形xxxx x 穿针法或微元素法穿针法或微元素法被积函数上被积函数上- -下、右下、右- -左左结论:一般地,由上,下两条曲线y=f(x)与y=g(x)以及两条直线x=a与x=b(ab

8、)所围平面图形的面积计算公式为.)()(dxxgxfaba例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(0)(12xfaxxf解：dxxaa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(21)(22xfxxf解：dxxa2210000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定积分的

9、几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(1)(3xfbaxf解：dxaba0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义，上，在上，上连续，且在，在）在图中，被积函数（0)(20, 0)(01211) 1()(42xfxfxxf解：dxxdxxa 1) 1( 1) 1(2202010000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解解 两曲线的交点，两曲线的交点，)1 , 1()0 , 0(面积元素面积元素dxxxda)(2

10、选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 xdxxxa)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 22xyxy解方程组解方程组注注 被积函数为上被积函数为上- -下，上为下，上为 下为下为xy 22xy 解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 y.1824422 dyyyaxy22 4 xy注注 被积函数为被积函数为“右右- -左左”右为直线，左为抛物线右为直线，左为抛物线如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()(21 ttdttta （其

11、中（其中1t和和2t对应曲线起点与终点的参数值）对应曲线起点与终点的参数值）在在 1t, ,2t （或（或 2t, ,1t ）上）上)(tx 具有连续导具有连续导数，数，)(ty 连续连续. .解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4 4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxa04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 设由曲线设由曲线)( r及射线及射线 、 围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)( 在在, 上连续，且上连续，且0)( xo d d 面积元素面积元素 dda

12、2)(21 曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)(212 da 2 2 极坐标系情形极坐标系情形)( r d dada)(2122 解解2 , 0 202221daa于是于是3220234321 aa 解解 dada22)cos1(21 利用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1( 02212aa d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积14aa daa2cos214402 .2a xy 2cos22a 1a元素法的提出、思想、步骤元素法的提出、思想、步骤. .（注意微元法的本质）

13、（注意微元法的本质）四四 小结小结 思考题思考题微元法与定积分的关系是什么？微元法与定积分的关系是什么？平面图形面积的计算方法平面图形面积的计算方法（注直角坐标、参数方程、极坐标）（注直角坐标、参数方程、极坐标）2 由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1 1 旋转体的体积旋转体的体积一、一、 空间立体的体积空间立体的体积旋转体可以看作是由连续曲线旋转体可以看作是由连续曲线)(xfy 、直线、直线ax 、bx 及及x

14、轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕x轴旋轴旋转一周而成的立体，现在我们考虑用定积分来计转一周而成的立体，现在我们考虑用定积分来计算这种旋转体的体积。算这种旋转体的体积。取积分变量为取积分变量为x,ba变变化化范范围围相应于相应于,ba上的任一小区间上的任一小区间,dxxx ，窄边梯形绕，窄边梯形绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积近近似似的的于于以以)(xf为为底底半半径径、dx为为高高的的扁扁圆圆柱柱体体的的体体积积，即即体体积积元元素素dxxfdv2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfvba2)( )(xfy yr解解hpxhry 取积分变量为取积分

15、变量为x，, 0h它它的的变变化化区区间间为为圆锥体中相应于圆锥体中相应于, 0h上任一小区间上任一小区间,dxxx 的薄片的薄片xo直线方程为直线方程为),(rhp过原点过原点 及点及点o的体积近似于底半径为的体积近似于底半径为xhr、高为、高为dx的扁圆柱体的体的扁圆柱体的体积即体积元素积即体积元素dxxhrdv2 于是所求圆锥体的体积为于是所求圆锥体的体积为dxxhrvh20 hxhr03223 .32hr yrhpxo用与上面类似地方 法可以推出：由曲线用与上面类似地方 法可以推出：由曲线)(yx 、直线、直线cy 、dy )(dc 与与y轴所轴所围成的曲边梯形，绕围成的曲边梯形，绕y

16、轴旋转一周而成的旋转轴旋转一周而成的旋转体的体积为体的体积为xyo)(yx cddyy2)( dcv解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyvax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy绕绕y轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积可看作平面图可看作平面图oabc与与obc分别绕分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差轴旋转构成旋转体的体积之差. .dtyxvay)(2202 dtyxa)(2201 oyxa 2abca2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022

17、sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 用用与与上上面面类类似似地地方方法法可可以以推推出出另另一一个个计计算算旋旋转转体体的的体体积积公公式式： 由连续曲线由连续曲线0)( xfy、直线、直线ax 、bx 及及x轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周轴旋转一周而成的立体，体积为而成的立体，体积为dxxfxvbay)(2 dxxx xdxxfxfxxfdxxdv)(2)()()(22 证明：如图，体积元素证明：如图，体积元素dxxfxvbay)(2 y)(xfdxxfxvbay)(2 利用公式利用公式，dxxfxvay| )(|220 20

18、)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a 可知上例中可知上例中xoab2、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 从计算旋转体体积的过程可以看出：如果一个从计算旋转体体积的过程可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算也可用定积分来计算. .如图，如图，)(xa表表示过点示过点x且垂且垂直于直于x轴的截轴的截面面积，面面积，)(xa为为x的已知

19、连续函数，体积元素的已知连续函数，体积元素,)(dxxadv .)( badxxav立体体积立体体积rr xyo解解 建立坐标系建立坐标系，底圆方程为底圆方程为222ryx 垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为直直角角三三角角形形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xrxa 立体体积立体体积dxxrvrr tan)(2122 .tan323 r 轴轴。轴轴的的直直线线为为垂垂直直于于轴轴，底底面面上上过过圆圆心心、且且为为取取平平面面与与圆圆柱柱体体的的交交线线yxx解解建立坐标系建立坐标系， 底圆方程为底圆方程为,222ryx xyorx垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为等等腰腰三三角

20、角形形截面面积截面面积22)(xrhyhxa 立体体积立体体积dxxrhvrr 22.212hr 正正劈劈锥锥的的顶顶平平行行。轴轴与与为为原原点点，并并使使圆圆心心面面，取取底底圆圆所所在在的的平平面面为为xoxoy3 平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoy0ma nmb 1m2m1 nm设设a、b是是曲曲线线弧弧ab上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点 bmmmmmanni ,110并并依依次次连连接接相相邻邻分分点点得得一一内内接接折折线线，当当分分点点的的数数目目无无限限增增加加且且每每个个小小弧弧段段iimm1 都都缩缩向向一一点点时时， 此折线的长此折线的长|11 n

21、iiimm的极限存在，则称此极限为的极限存在，则称此极限为曲线弧曲线弧ab的弧长的弧长.1、平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念 平面曲线的弧长平面曲线的弧长定理定理 光滑曲线弧是可求长的光滑曲线弧是可求长的。简介简介 光滑曲线光滑曲线 当曲线上每一点处都具有切线，且切线当曲线上每一点处都具有切线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。光滑曲线。就是一条光滑曲线。就是一条光滑曲线。如如2xy -2-1121234-6-4-2246-1-0.50.512xy xysin 设设曲曲线线弧弧为为)(xfy )(bxa ，其其中中)(xf在在,ba

22、上上有有一一阶阶连连续续导导数数xoyabxdxx dy小小切切线线段段的的长长22)()(dydx dxy21 就是弧长元素就是弧长元素dxyds21 弧长弧长.12dxysba 2 直角坐标情形由第三章的弧微分公式知由第三章的弧微分公式知dxyds21 例例 1 10 0 计计算算曲曲线线2332xy 上上相相应应于于x从从a到到b的的一一段段弧弧的的长长度度. .解解,21xy 因因为为dxxds2)(121 从而弧长元素从而弧长元素,1dxx 所以弧长为所以弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab 0.511.520.250.50.7511.251.51.75设曲线弧为设曲

23、线弧为,)()( tytx )( t其中其中)(),(tt 在在, 上具有连续导数上具有连续导数. .22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧长弧长.)()(22dttts 3 3 参数方程情形参数方程情形解解)0()cos1(),sin( atayttax例例 11 11 计算曲线计算曲线的全长的全长).20( 2sin2 )()(sin)(),cos1()(22 tdttadttytxdstatytatx于是于是.82cos42sin22020atadttas 所以所以a 2a )(xy曲线弧为曲线弧为)( )( rr 其中其中)( r在在, 上具有连续导

24、数上具有连续导数. . sin)(cos)(ryrx由由)( 22)()(dydxds 得到得到,)()(22 drr 弧长弧长.)()(22 drrs 4 4 极坐标情形极坐标情形例例 1 12 2 求求阿阿基基米米德德螺螺线线 ar )0( a上上相相应应于于 从从0到到 2的的弧弧长长. .解解 drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 1 1光滑曲线的概念光滑曲线的概念.四四 小结小结2 2平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下3 3 弧长的公式弧长的公式 4 定积

25、分在物理学中的应用定积分在物理学中的应用 由物理学知道，如果物体在作直线运动的由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力过程中有一个不变的力f作用在这物体上，且作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离物体移动了距离s时，力时，力f对物体所作的功为对物体所作的功为sfw . . 如如果果物物体体在在运运动动的的过过程程中中所所受受的的力力是是变变化化的的，就就会会遇遇到到变变力力作作功功的的问问题题，不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“元元素素法法”。一一 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功例

26、例 1 1 把一个带把一个带 q 电量的点电荷放在电量的点电荷放在 r 轴上坐轴上坐标原点处，它产生一个电场这个电场对周围的标原点处，它产生一个电场这个电场对周围的电荷有作用力由物理学知道，如果一个单位正电荷有作用力由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为电荷放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么的地方，那么电场对它的作用力的大小为电场对它的作用力的大小为 2rqkf （k是常是常数） ，当这个单位正电荷在电场中从数） ，当这个单位正电荷在电场中从 ar 处沿处沿 r轴移动到轴移动到 br 处时，计算电场力处时，计算电场力 f 对它所作对它所作的功的功解解取取r为为积积分分

27、变变量量，ro q a b 1 r,bar drr 即功元素为即功元素为,2drrkqdw 所求功为所求功为drrkqwba 2barkq 1.11 bakq于于区区间间上上所所作作的的功功近近似似等等取取,drrr 为为 a,ba,b上的任一小区间上的任一小区间, ,电场力在此小电场力在此小,2drrkq例例 2 2 一圆柱形蓄水池高为一圆柱形蓄水池高为 5 5 米，底米，底半径为半径为 3 3 米，池内盛满了水米，池内盛满了水. .问要把问要把池内的水全部吸出，需作多少功？池内的水全部吸出，需作多少功？解解建立坐标系如图建立坐标系如图xoxdxx 取取x为积分变量，为积分变量，5 , 0

28、x5取取任任一一小小区区间间,dxxx ,5m3m这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为dx238 . 9 功元素为功元素为,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦)xo3m5m 由由物物理理学学知知道道，在在水水深深为为h处处的的压压强强为为hp ，这这里里 是是水水的的比比重重如如果果有有一一面面积积为为a的的平平板板水水平平地地放放置置在在水水深深为为h处处，那那么么，平平板板一一侧侧所所受受的的水水压压力力为为app 如果平板垂直放置在水中，由于水深不同如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强的点处压强p不相等，平板一侧所受的水压力

29、不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而采用就不能直接使用此公式，而采用“元素法”元素法”二二 水压力水压力例例 3 3 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为设桶的底半径为r，水的比重为，水的比重为 ，计算桶的一端，计算桶的一端面上所受的压力面上所受的压力解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图xo取取x为积分变量为积分变量，, 0rx 取取任任一一小小区区间间,dxxx xdxx 小小矩矩形形片片上上各各处处的的压压强强近近似似相相等等小矩形片的面积为小矩形片的面积为.222dxxr ,xp 小小矩矩形形片片的的压压力力元元素素为为dxxrxdp222 端面上所受的压力端面上所受的压力dxxrxpr2202 )(22022xrdxrr rxr032232 .323r 例例 5 5 将斜边定长为将斜边定长为 l l 的直角三角形薄板垂的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，使一直角边的边直地浸人水中，斜边朝下，使一直角边的边长与水面重合，问斜边与此直角边的夹角长与水面重合，问斜边与此直角边的夹角 多大时，才能使薄板一侧所受水的压力最多大时，才能使薄板一侧所受水的压力最大？大？解解 建立坐标系如图建立坐标系如图l xoa2 则斜边所在直线方程则斜边所在直线方程dxlxxydxxd