高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程学案 新人教A版选修11

1、高中数学选修精品教学资料 高中数学高中数学 2.2.12.2.1 双曲线及其标准方程学案双曲线及其标准方程学案 新人教新人教 a a 版选修版选修 1 1- -1 1 基础梳理 1平面内与两个定点f1、f2的距离的差的绝对值是常数(小于|f1f2|且大于0)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 思考：在双曲线的定义中,为什么常数要大于 0 且小于|f1f2|? 答案：答案略 2双曲线的标准方程 (1)焦点在x轴上,方程为x2a2y2b21,焦点坐标为(c,0) a,b,c的关系：a0,b0,c2a2b2 (2)焦点在y轴上,方程为y2a2x2b21,

2、焦点坐标：(0,c) a,b,c的关系：a0,b0,c2a2b2 思考：椭圆的标准方程和双曲线的标准方程有什么区别与联系？ 答案：答案略,自测自评 1双曲线x210y221 的焦距是(d) a3 2 b4 2 c3 3 d4 3 解析：c210212,c2 3,焦距 2c4 3. 2双曲线x23y221 的焦点坐标是( 5,0) 解析：由双曲线方程知x2的系数为正,所以焦点在x轴上又c2a2b2325. 3已知双曲线x29y2161 上一点p到双曲线的一个焦点的距离为 3,则p到另一个焦点的距离为 9 解析：a3,设双曲线的两个焦点为f1,f2, |pf1|3,p在靠近f1的一支上 |pf2|

3、pf1|2a369. p到另一个焦点的距离为 9. 1到两定点f1(3,0)、f2(3,0)的距离之差的绝对值等于 5 的点m的轨迹为(c) a椭圆 b线段 c双曲线 d两条射线 2(2013揭阳二模)以椭圆x24y231 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为(b) a.y23x21 bx2y231 c.x24y231 d.x23y241 3双曲线x2m24y2m11 的焦点在y轴上,则m的取值范围是_ 解析：由题可知 m240，m10，2m1. 答案：(2,1) 4在双曲线中,ca52,且双曲线与椭圆 4x29y236 有公共焦点,求双曲线的方程 解析：把椭圆的方程写成标准方程x29y24

4、1, 椭圆的焦点坐标是( 5,0) 双曲线与椭圆有相同的焦点, 双曲线的焦点在x轴上,且c 5. ca52,a2,b2c2a21, 双曲线的方程为x24y21. 5设双曲线x24y291,f1,f2是两个焦点,点m在双曲线上,若f1mf290,求f1mf2的面积 解析：由题意知a24,b29,c213. 设|mf1|r1,|mf2|r2, 则由双曲线定义知|r1r2|2a4, (r1r2)2r21r222r1r216. 又f1mf290, r21r22|f1f2|24c252. 由得r1r218. sf1mf212r1r29. 1过点(1,1)且ba 2的双曲线的标准方程为(d) a.x212

5、y21 b.y212x21 cx2y2121 d.x212y21 或y212x21 2双曲线x29y2m1 的焦距为 10,则实数m的值为(c) a16 b4 c16 d81 3在平面内,已知双曲线c：x29y2161的焦点f1,f2,则“|pf1|pf2|6”是“点p在双曲线c上”的(b) a充要条件 b充分不必要条件 c必要不充分条件 d既不充分也不必要条件 解析：由已知若点p在双曲线c上,则有|pf1|pf2|6,“|pf1|pf2|6”是“点p在双曲线c上”的充分不必要条件 4若ax2by2b(ab0),则这个曲线是(b) a双曲线,焦点在x轴上 b双曲线,焦点在y轴上 c椭圆,焦点在

6、x轴上 d椭圆,焦点在y轴上 解析：原方程可化为x2bay21,因为ab0, 所以ba0,所以曲线是焦点在y轴上的双曲线 5双曲线x2a2y2b21(a0,b0),过焦点f1的直线交在双曲线的一支上的弦长ab为m,另一焦点为f2,则abf2的周长为(c) a4a b4am c4a2m d4a2m 6已知双曲线x26y231 的焦点为f1、f2,点m在双曲线上且mf1x轴,则f1到直线f2m的距离为(c) a.3 65 b.566 c.65 d.56 解析：如下图：由x26y231, 知f1(3,0),|f1f2|6,m3，62. 在 rtmf1f2中有： |mf2|62262562. 据面积相

7、等有： 12|mf1|f1f2|12|mf2|f1n|, 经计算知|f1n|65,故选 c. 7双曲线x210y221 的焦距为_ 答案：4 3 8若双曲线2x2y2k的焦距是6,则k的值为_ 解析：首先应将方程变为标准方程,但无法判断焦点所在位置,因此要分类讨论 若焦点在x轴上时,将双曲线 2x2y2k变形为x2k2y2k1. a2k2,b2k,c2a2b2k2k9,k6；若焦点在y轴上时, 2x2y2k变形为y2kx2k21. a2k,b2k2,c2a2b2k2k9,k6. 答案：6 9已知f为双曲线c：x29y2161 的左焦点,p,q为c上的点,若pq的长等于虚轴长的 2倍,a(5,0

8、)在线段pq上,则pqf的周长为_ 解析：设|pf|m,|qp|n, m|pa|2an|qa|2a,mn4a|pq|, pqf的周长为 mn|pq|4a2|pq|4321644. 10求与圆a：(x5)2y249 和圆b：(x5)2y21 都外切的圆的圆心p的轨迹方程 解析：|pa|pb|71610, 点p的轨迹是以a、b为焦点的双曲线的一支 设p点的坐标为(x,y) 2a6,c5,b4. 故点p的轨迹方程是x29y2161(x0) 11求过点m(3,1) 且被点m平分的双曲线x24y21 的弦所在的直线方程 解析：设所求直线与双曲线相交于a(x1,y1), b(x2,y2) 则x214y21

9、1，x224y221，相减得 （x1x2）（x1x2）4(y1y2)(y1y2)0. 又m为ab的中点,x1x223,y1y221 x1x26,y1y22.代入式, 得y1y2x1x234,即k34. 所求直线方程为：3x4y50. 体验高考 1(2014广东卷)若实数k满足 0k5,则曲线x216y25k1 与曲线x216ky251 的(d) a实半轴长相等 b虚半轴长相等 c离心率相等 d焦距相等 解析：因为 0k5,所以两曲线都表示双曲线,在x216y25k1 中a216,b25k；在x216ky251 中a216k,b25.由c2a2b2知两双曲线的焦距相等,故选 d. 2已知双曲线c：x29y2161的左右焦点分别为f1,f2,p为c的右支上一点,且|pf2|f1f2,则pf1f2的面积等于(c) a24 b36 c48 d96 解析：双曲线c：x29y2161 中a3,b4,c5, f1()5，0 ,f2()5，0 . |pf2|f1f2, |pf12a|pf261016. 作pf1边上的高af2,则|af1|8, |af2| 102826,pf1f2的面积为 12|pf1|af21216648. 3已知f是双曲线x24y2121的左焦点,a(1,4),p是双曲线右支上的动点,则| |pf| |pa的最小值为_ 解析：假设点f1为双曲线