第七章(含空间解析几何简介)

1、四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7(补充补充) 空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页1. 空间直角坐标系空间直角坐标系2. 空间曲面与方程空间曲面与方程四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7(补充补充) 空间解析几何简介空间解析几何简介1. 空间直角坐标系空间直角坐标系通常规定通常规定x轴，轴，y轴，轴，z轴的正向要遵循轴的正向要遵循右手法则右手法则.x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 坐标原点坐标原点o上页上页下页下页首页首页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有八个空间直角坐标系共有八个卦限卦限.7(补充

2、补充) 空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(o),(zyxm xyzo)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr坐标轴上的点坐标轴上的点,p,q,r坐标面上的点坐标面上的点,a,b,c7(补充补充) 空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院空间两点的距离公式空间两点的距离公式211212|,|,|.xxyyzz长方体的对角线长的平方等于三条棱长方体的对角线长的平方等于三

3、条棱长的平方和，长的平方和，则：则：22212121212|()()() .m mxxyyzz所以点所以点12mm和间的距离为间的距离为222212212121|()()() .m mxxyyzz由图可知，该长方体的各棱长分别为：由图可知，该长方体的各棱长分别为：7(补充补充) 空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院2. 空间曲面与方程空间曲面与方程如果曲面如果曲面s上任意一点的坐标都满足方程上任意一点的坐标都满足方程f(x,y,z)=0,7(补充补充) 空间解析几何简介空间解析几何简介定义定义不在曲面不在曲面s上的点的坐标都不满足上的

4、点的坐标都不满足f(x,y,z)=0,则称方程则称方程f(x,y,z)=0为为曲面曲面s的方程的方程,而曲面而曲面s称为方程称为方程f(x,y,z)=0的的图图形形.上页上页下页下页首页首页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7(补充补充) 空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页例例1 求与两定点求与两定点m(-1,0,2),n(3,1,1)距离相等的点的轨迹方程距离相等的点的轨迹方程.解解 设动点坐标为设动点坐标为p( x, y, z), .pmpn22222211321zyxzyx430.xyz空间平面的方程为：空间平面的方程为： 0axbyczd其中其中a、b、c、

5、d都是常数，且都是常数，且a、b、c不全为不全为0. 四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7(补充补充) 空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页例例2 作作z = d （d为常数）的图形为常数）的图形.解解 0dczbyax0,0,1.abcxyzod四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例3 求球心在点求球心在点,半径为半径为r的球面方程的球面方程.0000(,)mxyz222000()()(),xxyyzzr2222000()()().xxyyzzr2222.xyzr解解 设设p(x,y,z)是球面上任意一点，是球面上任意一点， 则根据两点间的距离公式，则根据两点

6、间的距离公式，得整理，得特别地，当球心在原点o(0,0,0)时，球面方程为7(补充补充) 空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7(补充补充) 空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页例例4 222.xyr作的图形oxzy222xyr解解 四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7(补充补充) 空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页例例522zxy作的图形.xyzo22zxy解解 22 0 xy22 , .zxyxoy在面的上方且与之仅有一个交点四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7(补充补充) 空

7、间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页如果方程如果方程 是三元二次方程，则它的图是三元二次方程，则它的图形是曲面，称为形是曲面，称为二次曲面二次曲面. ( , , )0f x y z （1）对称轴为）对称轴为z轴，底面半径为轴，底面半径为r的圆柱的方程为的圆柱的方程为222.xyr对称轴为对称轴为y轴，底面半径为轴，底面半径为r的圆柱的方程为的圆柱的方程为222.xzr对称轴为对称轴为x轴，底面半径为轴，底面半径为r的圆柱的方程为的圆柱的方程为222.yzr四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7(补充补充) 空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页（2）球心

8、在原点，半径为）球心在原点，半径为r的上半球面的方程为的上半球面的方程为2222(0).xyzrz（3）圆锥曲面圆锥曲面222xyzoxzy四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7(补充补充) 空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页（4）椭球面椭球面2222221 (0,0,0)xyzabcabcozyx四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7(补充补充) 空间解析几何简介空间解析几何简介(5) 抛物面抛物面 22(22xyz ppq、q同号）zxyoxyzo0, 0 qp0, 0 qp上页上页下页下页首页首页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院特殊地：当特殊地：当

9、时，方程变为时，方程变为qp zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面)0( p（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）xozpzx22 11222zzpzyx与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )0(1 z当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz7(补充补充) 空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq（6）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）xyzo7(补充补充) 空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页

10、首页首页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院第七章 多元函数微积分v7.1 多元函数v7.2 偏导数v7.3 全微分v7.4 复合函数的偏导数v7.5 偏导数的几何应用v7.6 多元函数的极值v7.7 二重积分v7.8 二重积分的应用下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.1 多元函数多元函数1. 多元函数的概念多元函数的概念2. 二元函数的极限二元函数的极限3. 二元函数的连续性二元函数的连续性首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.1 多元函数多元函数1. 多元函数的概念多元函数的概念 圆锥的体积和它的底半径圆锥的体积和它的底半径r，高，高h之间

11、具有关系之间具有关系 例例1hrv231对于对于r、h在一定范围内取一对确定的值，在一定范围内取一对确定的值，v都有都有惟一确定的值与之对应惟一确定的值与之对应.例例2 设设r是电阻是电阻r1,r2并联后的总电阻，由电学知道，它们之并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系间具有关系2121rrrrr对于对于r1,r2在一定范围内取一对确定的值，在一定范围内取一对确定的值，r都有惟都有惟一确定的值与之对应一确定的值与之对应. 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院定义定义1设在某一变化过程中有三个变量设在某一变化过程中有三个变量x，y，z，如果对于，如果对于变量变量

12、x，y在其变化范围内所取的每一对数值在其变化范围内所取的每一对数值， 变量变量z按照某一按照某一法则法则f，都有惟一确定的数值与之对应，则称，都有惟一确定的数值与之对应，则称z为为x，y的二元的二元函数，记作函数，记作z=f (x，y).自变量自变量x，y的取值范围叫做函数的定义域，通常记为的取值范围叫做函数的定义域，通常记为d. 二元及二元以上的函数统称为二元及二元以上的函数统称为多元函数多元函数.7.1 多元函数多元函数因变量因变量自变量自变量首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.1 多元函数多元函数 所谓所谓平面区域平面区域，是指整个，是指整个x , y 平

13、面或平面或x , y平面上由平面上由几条曲线所围成的部分几条曲线所围成的部分. 围成平面区域的曲线称为区域围成平面区域的曲线称为区域的的边界边界，包括边界在内的区域称为，包括边界在内的区域称为闭区域闭区域，不包含边界，不包含边界在内的区域称为在内的区域称为开区域开区域. 如果一个区域可以包含在一个如果一个区域可以包含在一个以原点为圆心、半径适当大的圆内，则称该区域为以原点为圆心、半径适当大的圆内，则称该区域为有界有界区域区域，否则称为，否则称为无界区域无界区域. 对于自变量对于自变量x, y 的一组值，对应着的一组值，对应着xoy面上的一点面上的一点p（x , y）因此，二元函数也可以看作是平

14、面上点的函）因此，二元函数也可以看作是平面上点的函数，即数，即z = f（p）. 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例3 求下列函数的定义域并画出图形：求下列函数的定义域并画出图形： 22(2) 1.zxy. 解解 （1）由对数函数的定义可知，该函数的定义域是：）由对数函数的定义可知，该函数的定义域是： ( , )0dx y xy7.1 多元函数多元函数(1) ln().zxy首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院（2）要使）要使z有意义，必须有意义，必须2210 xy即即 221.xy所以，所求函数的定义域是所以，所求函数的定义域是2

15、2( , )1 .dx y xy7.1 多元函数多元函数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.1 多元函数多元函数二元函数二元函数z = f (x , y )的的图形图形 dyxyxfzzyx),(),(),(首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例4作二元函数作二元函数221yxz的图形的图形. 解解由由 221yxz两边平方，得两边平方，得 2221.zxy 整理，得整理，得2221.xyz1),(22yxyxd7.1 多元函数多元函数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院2. 二元函数的极限二元函数的极限

16、定义定义2设函数设函数z =f(x , y)在点在点 ),(000yxp的某个领域内有定义的某个领域内有定义 (点点p0可以除外可以除外),如果当点如果当点p(x, y)沿任意路经趋于点沿任意路经趋于点 ),(000yxpf（x, y）趋向于一个确定的常数）趋向于一个确定的常数a，则称，则称a是函数是函数 ),(yxf当当p（x, y）趋于）趋于 ),(000yxp时的时的极限极限，记作，记作 0000lim( , )( , )(,).xxyyf x yaf x ya xxyy或上述二元函数的极限又叫做上述二元函数的极限又叫做二重极限二重极限. 7.1 多元函数多元函数20200)()(),(

17、),(yyxxyxpu邻域邻域: 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例5求极限求极限 20sin()lim.xyxyy解解yxyyx)sin(lim0220sin()limxyxxyxy2200sin()limlimxxyyxyxxy2. 例例6求极限求极限 222200lim.22xyxyxy22lim222200yxyxyx解解2222222200()( 22)lim( 2)( 2)xyxyxyxy2200lim( 22)2 2.xyxy7.1 多元函数多元函数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例7讨论极限讨论极限 2200l

18、imyxxyyx是否存在？是否存在？ 解解因为当因为当p（x , y ）沿直线）沿直线y = 0趋于点（趋于点（0，0）时，有）时，有 2200limyxxyyx 22000lim0 xyxx0 而当点而当点p（x , y）沿直线）沿直线y = x 趋于点（趋于点（0，0）时，有）时，有 220limyxxyxyx 220limxxxxxyx 1.2所以，极限所以，极限 2200limyxxyyx不存在不存在. 7.1 多元函数多元函数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院3. 二元函数的连续性二元函数的连续性定义定义3 设函数设函数f（x ,y）在）在 ),(000

19、yxp的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义，如果极限如果极限 ),(lim00yxfyyxx存在，且存在，且 ),(),(lim0000yxfyxfyyxx则称二元函数则称二元函数f（x ,y）在点）在点 ),(000yxp处连续处连续. 如果函数如果函数f（x ,y）在区域在区域d内内 的每一点都连续，则称的每一点都连续，则称f（x ,y）在区域）在区域d内连续内连续. 7.1 多元函数多元函数 二元初等函数在其定义区域（指包含在定义域内的二元初等函数在其定义区域（指包含在定义域内的区域）内是连续的区域）内是连续的. 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例8

20、求下列极限求下列极限 解解（1） 222123lim.xyxyxy（2） 00lim.1 1xyxyxy （1） 222213limyxyxyx2223 1 21.125 （2） 0000limlim(1 1)2.1 1xxyyxyxyxy 7.1 多元函数多元函数函数函数f（x ,y）不连续的点称为函数的）不连续的点称为函数的间断点间断点. 0, 0, 0,),(222222yxyxyxxyyxf(0,0) 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院1. 偏导数的概念偏导数的概念7.2 偏导数偏导数2. 高阶偏导数高阶偏导数3. 偏导数的经济意义偏导数的经济意义首页首页

21、上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院1. 偏导数的概念偏导数的概念定义定义 设函数设函数z=f（x，y）在点）在点(x0, y0)的某邻域内有定义，的某邻域内有定义， 当自变量当自变量y保持定值保持定值y0 ，而自变量，而自变量x在在 0 x处有增量处有增量x时，时， 相应的函数有增量相应的函数有增量 如果极限如果极限 xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限值为函数存在，则称此极限值为函数z=f（x，y）在点）在点 处处 对对x的的偏导数偏导数，记作，记作 0000,x xx xy yy yzfxx0000,(,).xx xxy yzfxy或0000

22、(,)(,).f xx yf xy00(,)xy7.2 偏导数偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院即即0000000(,)(,)(,)lim.xxf xx yf xyfxyx 类似地类似地,如果极限如果极限 yyxfyyxfy),(),(lim00000存在存在,那么称此那么称此极限值为函数极限值为函数z=f（x，y）在点）在点 处处对对y的偏导数的偏导数，记作，记作 0000,x xx xy yy yzfyy0000,(,).x xyy yzyfxy或即即0000000(,)(,)(,)lim.yyf xyyf xyfxyy 00,xy7.2 偏导数偏导数首

23、页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.2 偏导数偏导数如果函数如果函数z= f（x，y）在区域）在区域d内每一点内每一点(x，y)处对处对x的的 偏导数都存在，这个偏导数仍是偏导数都存在，这个偏导数仍是x，y的函数，的函数， 则称这个函数为则称这个函数为z= f（x，y）对自变量）对自变量x的的偏导函数偏导函数，记作，记作 ,( , ).xzfzxfx yxx或即即),(yxfxxyxfyxxfx),(),(lim0类似地，类似地，z = f（x ,y）对自变量）对自变量y的偏导函数记作的偏导函数记作,( ,).yzfzyfx yyy或( , )yfx y 0( ,

24、)( , )lim.yf x yyf x yy 即即首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例1求求 在在(1,2)的偏导数的偏导数. 解解222( , )(3)23,xxfx yxxyxy2 (1,2)2 1 3 214.xf 22( , )(3)6,yyfx yxxyxy (1,2)6 1 212.yf 7.2 偏导数偏导数22( , )3f x yxxy首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例2 设设 求求 ,yzx,.zzxy解解1,yzyxxln .yzxxy例例3 求三元函数求三元函数 u=2xy+3yz+5zx 的偏导数的偏导

25、数. 解解25 .uyzx23 .uxzy53 .uxyz7.2 偏导数偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院在点在点m 处的切线关于处的切线关于x轴和轴和y轴的斜率轴的斜率. 根据一元函数导数的几何意义知，偏导数根据一元函数导数的几何意义知，偏导数 和和 在几何上，分别表示曲线在几何上，分别表示曲线7.2 偏导数偏导数00,xfxy00,yfxy000,xyz0),(yyyxfz0( , ),zf x yxx和首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院2. 高阶偏导数高阶偏导数设函数设函数z=f（x，y）在区域）在区域d内具有偏导数内具有

26、偏导数( , ),xzfx yx( , ),yzfx yy则它们仍然是则它们仍然是x，y的函数的函数. 如果这两个偏导函数对如果这两个偏导函数对x和对和对y的偏导数也存在，的偏导数也存在， 则称它们的偏导数是则称它们的偏导数是f（x，y）的）的二阶偏导数二阶偏导数. 7.2 偏导数偏导数（1）两次都对）两次都对x求偏导数，即求偏导数，即 ，记作，记作)(xzx 2222,( , );xxxxzfzfx yxx首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.2 偏导数偏导数（2）第一次对）第一次对x，第二次对，第二次对y求偏导数，即求偏导数，即 ，记作，记作)(xzy 22,

27、( , );xyxyzfzfx yx yx y （3）第一次对）第一次对x，第二次对，第二次对y求偏导数，即求偏导数，即 ，记作，记作()zxy22,( , );yxyxzfzfx yy xy x （4）两次都对）两次都对y求偏导数，即求偏导数，即 ，记作，记作()zyy2222,( , );yyyyzfzfx yyy二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数. 二阶混合偏导数二阶混合偏导数 二阶混合偏导数二阶混合偏导数 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例4 设设 求求 22,zx 2,zy x 2,zx y 22,zy33.

28、zx解解3348,zxxyx2232128,zxyx2224;zxyx y 322412,zyx yy22221224,zyx yy2224;zxyy x 3324 .zxx7.2 偏导数偏导数44234,zxyx y首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院定理定理如果函数如果函数z=f（x，y）的两个二阶混合偏导数）的两个二阶混合偏导数 xyz2及及 yxz2在区域在区域d内连续，则在该区域内这两个二阶混合偏导数内连续，则在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等必相等. 定理说明，只要两个混合偏导数连续，则它们与求导次定理说明，只要两个混合偏导数连续，则它们与求导次序无关

29、序无关. 类似地，对于二阶以上的高阶混合偏导数，在混合偏类似地，对于二阶以上的高阶混合偏导数，在混合偏导数连续的条件下，也与求导次序无关导数连续的条件下，也与求导次序无关. 7.2 偏导数偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例5 设设 )2cos( xyz 求求 3322,.zzx yy x 解解2 sin(2),zyxyx 22sin(2)4cos(2),zxyxyxyx y ).2sin(8)2cos(8)2sin(8)2cos(4)2cos(42223xyyxxyxxyyxxyxxyxyxz).2sin(8)2cos(8)2sin(8)2cos(4)2

30、cos(423xyxyxyyxyxyxyyxyyxyz7.2 偏导数偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例6 验证函数验证函数 22lnyxz满足方程：满足方程： 22220.zzxy证证22221lnln(),2zxyxy22222,2()zxxxxyxy22,zyyxy22222222222222222()2,()()()zxyxxyxxyxxyxyxy 222222222222()2.2()()zxyyyxyyxyxy因此因此 22220.zzxy7.2 偏导数偏导数拉普拉斯方程拉普拉斯方程 四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院3. 偏导数的经济意

31、义偏导数的经济意义 当价格当价格p2不变而不变而p1发生变化时，需求量发生变化时，需求量q1和和q2将随将随p1变化而变化，需求量变化而变化，需求量q1和和q2对价格的弹性分别为对价格的弹性分别为111111,pqqp122121,pqqp11称为甲商品需求量称为甲商品需求量q1对自身价格对自身价格p1的的直接价格偏弹性直接价格偏弹性，21称为甲商品需求量称为甲商品需求量q2对自身价格对自身价格p1的的交叉价格偏弹性交叉价格偏弹性. 类似地，可定义并解释类似地，可定义并解释211212,pqqp222222.pqqp7.2 偏导数偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技

32、术学院例例7已知某商品需求量已知某商品需求量q1是该商品价格是该商品价格p1与另一相关商品价格与另一相关商品价格p2 的函数，且的函数，且 q1=120-2p1+15p2，求当求当 10,1521pp时，需求的直接价格偏弹性时，需求的直接价格偏弹性11及交叉价格及交叉价格偏弹性偏弹性12. 解解 当当 10,1521pp时，时， 24010151521201q又又 11122,15,qqpp 1111110.125,pqqp 2112120.625.pqqp7.2 偏导数偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.3 全微分全微分1. 全微分的概念全微分的概念2.

33、 全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.3 全微分全微分1. 全微分的概念全微分的概念f（x+x）f（x）f （x）x. (, )( , )( , ),xf xx yf x yfx yx ( ,)( ,)( ,).yfx yyfx yfx yy 对对x的的偏增量偏增量对对x的的偏微分偏微分对对y的的偏增量偏增量对对y的的偏微分偏微分首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院 设函数设函数z=f（x，y）在点（）在点（x，y）的某个领域内有义，）的某个领域内有义，点（点（x+x，y+y）在该邻域内

34、，如果函数）在该邻域内，如果函数z=f（x，y）在点）在点（x，y）的全增量）的全增量定义定义z=f（x+x，y+y） f（x，y）可以表示为可以表示为 z=ax+by+ )(o其中其中a、b是是x，y的函数，与的函数，与x，y无关，无关， 22()() .xy )(o是一个比是一个比 高阶的无穷小，则称高阶的无穷小，则称a x+b y是二元函数是二元函数z= f（x,y）在点（）在点（x , y）处的全微分，记作）处的全微分，记作dz，即，即 7.3 全微分全微分dz=ax+by. 这时，也称二元函数这时，也称二元函数z= f（x,y）在点（）在点（x，y）处）处可微可微. 首页首页上页上页

35、下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院 如果函数如果函数z=f（x，y）在点（）在点（x，y）处可微分，则）处可微分，则它在点（它在点（x，y）处连续）处连续. 定理定理17.3 全微分全微分证证 ),(),(yxfyyxxfz( ).a xb y 0)(limlim0000oybxazyxyx),(),(lim00yxfyyxxfyx首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院定理定理2 （可微的必要条件）如果函数（可微的必要条件）如果函数z=f（x，y）在点（）在点（x，y）可微，可微， 则它在点（则它在点（x，y）处的两个偏导数）处的两个偏导数 yzxz,必

36、存在，且必存在，且 ,zax.zby7.3 全微分全微分证证 ),(),(yxfyyxxfz( ).a xb y 0y (, )( , ).f xx yf x ya x 00(, )( , )(|)limlim(),xxf xx yf x yoxaaxx ,0 xx 同除以并令.zaxdzzzxyxy d.zzzdxdyxy首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院（可微的充分条件）（可微的充分条件） 如果函数如果函数 ),(yxfz 在点在点 ),(yx处的两个偏导数处的两个偏导数 yzxz和都连续，则函数在该点可微都连续，则函数在该点可微. 例例1 求函数求函数 的全

37、微分的全微分. 解解2,zxyx2,zxy所以 dz=2xydx+x2dy. 定理定理 37.3 全微分全微分( , , ).uuuuf x y zdudxdydzxyz2zx y首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例2 求函数 的全微分. 解解2 2sec (),zxyxyx22sec (),zxxyy222 2sec ()sec ().dzxyxy dxxxy dy7.3 全微分全微分2tan()zx yxy首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例3 求函数 在点(2,1)处的全微分. 解解 ,xyzyex,xyzxey221,xy

38、zex2212,xyzey2221 2.xydze dxe dy7.3 全微分全微分xyze首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院2. 全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用7.3 全微分全微分( , )( , ),xydzfx yxfx yy ( , )( , ),xyzdzfx yxfx yy ( , )( , ),xyzfx yxfx yy (,)( , )( , )( , ),xyf xx yyf x yfx yxfx yy 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例4 当正圆锥体变形时，它的底面半径由30cm增大到30.1

39、cm，高由60cm减少到59.5cm，求正圆锥体体积变化的近似值. 解解hrv231hrrrhhhvrrvdv23132hrrrhv23132将r=30，r=0.1，h=60，h=0.5代入上式，得 2321 30 60 0.1 30( 0.5)30()33vcm 7.3 全微分全微分首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例5 计算（0.99）2.02的近似值 .解解 设 f (x, y)=xy,取 1,x x=0.01,y=2,y=0.02,则 f（1，2）=1, 112(1,2)2,yxxyfyx12(1,2)ln0,yyxyfxx7.3 全微分全微分2.02

40、0.991 20.010 0.010.98. 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数1. 复合函数的偏导数复合函数的偏导数2. 隐函数的偏导数隐函数的偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数1. 复合函数的偏导数复合函数的偏导数设函数设函数 ),(vufz 是变量是变量u、v的函数的函数,而而 ),(),(yxvvyxuu又是又是x,y的函数，则的函数，则 ),(),(yxvyxufz 是是x,y的复合函数的复合函数. 中间变量中间变量zuvxy函数结构图函数

41、结构图 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数定理定理如果函数如果函数z=f(u，v)关于关于u，v有连续的一阶偏导数，有连续的一阶偏导数， 又函数又函数u=u(x，y),v=v(x，y)在点在点(x，y)有偏导数有偏导数,则复合函数则复合函数 z=f(u(x，y)，v(x，y) 在点在点(x，y)的偏导数存在，且的偏导数存在，且zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy链式法则链式法则 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例1,zx.zy解解vevzveuzuusin,cos1,2,2 ,2 ,uu

42、vvxyxyxy zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy设设z=eucosv，而，而u=x+2y，v=x2-y2，求，求 7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数cossin2uuevevx222222cos2sin,xyxyexyxexy2cossin2uuevevy2222222cos2sin.xyxyexyyexy首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数 二元复合函数求导的链式法则对三元及三元以上的二元复合函数求导的链式法则对三元及三元以上的复合函数也是成立的复合函数也是成立的. ( , , ),zf u v w( , )

43、,ux y),(),(yxwyxvzuvwxy,zzuzvzwxuxv xwx .zzuzvzwyuyv ywy 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院下面看链式法则的两种特殊情况下面看链式法则的两种特殊情况. （1） ( , , ),zf u v y( , ),( , ).ux y vx y.zzuzvzyuyv yy （2） ( , , ),zf u v w)(),(),(xwxvxudxdwwzdxdvvzdxduuzdxdz全导数全导数 7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数zuvyxy,zzuzvxuxv x zuvwx首页首页上页上页下页下页四川水利职业

44、技术学院四川水利职业技术学院例例2.dzdx设设z=ln(3u+2v)，u=x2，v=cosx，求，求 7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数解解dzzduzdvdxudxvdx322( sin )3232xxuvuv262sin.32cosxxxx首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例3 设函数设函数z=f(u，v)对对u，v具有连续偏导数，求具有连续偏导数，求z=f(xy，x2+y2)的偏导数的偏导数 及及 .zy解解22,uxy vxy,;2 ,2 .uuvvyxxyxyxyuvzzuz vyfu,v2xfu,v ,xuxv x uvzzuzvxfu,v2

45、yfu,v .yuyv y 7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例4 设设 x y z=xyf,y x,求求 ,zx.zy解解xyyxxyfxxz,xyyxfxxyxyyxyf,221,1,xyxyyxfyxyyxfxyxyyxyfxyyxfxyxyyxxfxyyxyf,2217.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院xyyxfyxyxyyxxfxyyxxyfyyz,xxyyxfyxxyyxfxyxyyxxf1,221xyyxyfxyyxfyxxyyxxf,212

46、7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数,x yxfy xy对求偏导,x yyfy xx对求偏导首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院2. 隐函数的偏导数隐函数的偏导数7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数0),(yxf( )f x0)(,(xfxffxyx0dxdyyfxf,yfxfdxdy.xyfdydxf 或0yf首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例5 求由方程求由方程 016542322yxxyx所确定的隐函数所确定的隐函数 )(xfy 的导数的导数 .dydx解解 设设 22( , )324516,f x yxxyxy262

47、4,45.xyfxyfxy2624.45dyxydxxy 于是于是 7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数0),(zyxf( , )z x y0),(,(yxzyxfzxyzxy( , )( , )0,xzzfx y zfx y zx( , , )( , , )0.yzzf x y zf x y zy( , , ),( , , )xxzzf x y zfzxf x y zf ( , , ).( , , )yyzzf x y zfzyf x y zf 0首页首页上页上页下页下页四川水利职业技

48、术学院四川水利职业技术学院例例6 设设 x3+y3+z3=3xyz. 求求 ,zx.zy解解设设 f(x,y,z)= x3+y3+z3-3xyz, 则则 2xf =3x -3yz,2yf =3y -3xz,2zf =3z -3xy.于是于是22xyzzxzxy, 22yxzzyzxy . 7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例7求求 ,zx.zy解解设设 7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数 .xyzxyze设( , , )= .xyzf x y zxyze = 1,xyzxfyze1,1xyzxyzzyzexxye=

49、1.xyzzfxye= 1,xyzyfxze1.1xyzxyzzxzeyxye首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.5 偏导数的几何应用偏导数的几何应用1. 空间曲线的切线及法平面空间曲线的切线及法平面2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.5 偏导数的几何应用偏导数的几何应用1. 空间曲线的切线及法平面空间曲线的切线及法平面 空间曲线在一点处的割线的极限位置定义为曲线在空间曲线在一点处的割线的极限位置定义为曲线在该点处的切线该点处的切线. 在空间，过切点且与切线垂直的法线所构成的平在空间，过切

50、点且与切线垂直的法线所构成的平面，称为空间曲线的面，称为空间曲线的法平面法平面. 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.5 偏导数的几何应用偏导数的几何应用: ( ),( ),( ).xtytzt00000(,), mxyzt0000(,), m xx yy zztt),(0zyxmm0000: xxyyzzm mxyz000 xxyyzzxyzttt0,0mmt 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院曲线曲线 在点在点 ),(0000zyxm处的切线方程为处的切线方程为 )()()(000000tzztyytxx)(),(),(000t

51、tts切向量切向量 在点在点 ),(0000zyxm处的法平面方程为处的法平面方程为 000000( )()( )()( )()0.txxtyytzz7.5 偏导数的几何应用偏导数的几何应用首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例1 求曲线求曲线 tztytx2,2在点在点 )2 , 1 , 1 (m处的切线方程和处的切线方程和法平面方程法平面方程. 解解因为点因为点 )2 , 1 , 1 (m对应的参数值为对应的参数值为 1t，所以，所以 11,tdxdt所求切线方程为所求切线方程为 112.122xyz法平面方程为法平面方程为(1)2(1)2(2)0.xyz即即

52、2270.xyz7.5 偏导数的几何应用偏导数的几何应用11 22, ttdytdt1 2.tdzdt首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例2求曲线求曲线 在点在点 (2,4,3)m处的切线方程和处的切线方程和法平面方程法平面方程. 7.5 偏导数的几何应用偏导数的几何应用12,2xzxy解解2,21.xx yxzx(2,4,3)2.mx 对应的参数值为21,xdxdx2224,xxdyxdx22.xdzdx所求切线方程为所求切线方程为 法平面方程为法平面方程为即即243,142xyz(2)4(4)2(3)0,xyz42240.xyz首页首页上页上页下页下页四川水

53、利职业技术学院四川水利职业技术学院2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线7.5 偏导数的几何应用偏导数的几何应用: ( , , )0,sf x y z ),(0000zyxm: ( ),( ),( )xtytzt00000(,), mxyzt0)(),(),(tttffxyzt0)(),()(),()(),(tzyxftzyxftzyxfzyx000000000000(,)( )(,)( ) (,)( )0 xyzf xyztf xyztf xyzt0tt 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院称为曲面称为曲面s在点在点 处的处的切平面切平面. 7.5 偏导数的几

54、何应用偏导数的几何应用0)(),()(),()(),(000000000000tzyxftzyxftzyxfzyx)(),(),(000ttts),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfzyxn0sn.ns),(0000zyxm切平面的法向量为切平面的法向量为n，切平面的方程为，切平面的方程为 过过 ),(0000zyxm点的所有切线都在同一平面上，这个平面点的所有切线都在同一平面上，这个平面0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxfyyzyxfxxzyxfzyx过点过点 0m且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线法线

55、. 法线法线方程为方程为 0),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例1 求球面求球面 6222zyx在点在点 )2 , 1, 1 ( 处的切平面方程及处的切平面方程及法线方程法线方程. 解解 设设 6),(222zyxzyxf，则，则 所求切平面的方程为所求切平面的方程为 0)2(4) 1(2) 1(2zyx即即012422zyx法线方程为法线方程为422121zyx112112xyz7.5 偏导数的几何应用偏导数的几何应用(1, 1,2)(1, 1,2)22,xfx(1, 1,2)

56、(1, 1,2)22,yfy (1, 1,2)(1, 1,2)24,zfz首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例2 求旋转抛物面求旋转抛物面 在点在点 处的切平面处的切平面方程及法线方程方程及法线方程. 解解7.5 偏导数的几何应用偏导数的几何应用12222zyxz)9 , 2 , 1 (22 ( , , )221f x y zxyz设，(1,2,9)(1,2,9)48,yfy(1,2,9)(1,2,9)44,xfx(1,2,9)(1,2,9)11,zf 所求切平面的方程为所求切平面的方程为 即即法线方程为法线方程为0)9()2(8) 1(4zyx01184zyx

57、198241zyx首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.6 多元函数的极值多元函数的极值1. 极值及其求法极值及其求法2. 最大值与最小值最大值与最小值3. 条件极值条件极值,拉格朗日乘数拉格朗日乘数法法首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.6 多元函数的极值多元函数的极值1. 极值及其求法极值及其求法定义定义 设函数数设函数数z=f (x，y)在点在点p0(x0，y0)的某一领域内有的某一领域内有定义定义. 如果对该邻域内任一异于如果对该邻域内任一异于p0的点的点p (x，y),都有都有 f (x，y)f (x0，y0) 则称函数则

58、称函数z=f (x，y)在点在点p0(x0，y0)处有处有极大值极大值 f (x0，y0)；如果都有如果都有 f (x，y)f(x0，y0) 则称函数则称函数z= f (x,y)在点在点p0(x0，y0)处有处有极小值极小值 f (x0，y0). 函数的极大值和极小值统称为函数的极大值和极小值统称为极值极值，使得函数取极值，使得函数取极值的点的点 称为称为极值点极值点. 000(,)p xy首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.6 多元函数的极值多元函数的极值221),(yxyxfz在点在点(0,0)处函数取得处函数取得极大值极大值1. 2242),(yxyxfz

59、在点在点(0,0)处取得极处取得极小值小值0 .首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院定理定理1(极值的必要条件极值的必要条件) 设函数设函数z=f (x, y)在点在点),(),(0000yxfyxfyx都存在，则必有都存在，则必有 fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0. 满足方程组满足方程组 0),(, 0),(yxfyxfyx的点的点(x0, y0)，称为函数，称为函数z=f (x, y)的的驻点驻点. p0(x0, y0)7.6 多元函数的极值多元函数的极值处的两个偏导数处的两个偏导数 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院

60、点点(0,0)是函数是函数 的驻点的驻点,不是函数的极值点不是函数的极值点. 7.6 多元函数的极值多元函数的极值 只要函数只要函数z=f (x, y)的两个偏导数存在，那么，它的极的两个偏导数存在，那么，它的极值点一定是驻点值点一定是驻点. 但是函数的驻点不一定是极值点但是函数的驻点不一定是极值点. 22yxz00(0,0)20,yxyfy00(0,0)20,xxyfx首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院定理定理2 (极值的充分条件极值的充分条件) 设函数设函数z=f (x, y)在点在点 ),(000yxp的某一领域内有二阶连续偏导数的某一领域内有二阶连续偏导数