高中人教a版数学选修11课时作业：34生活中的优化问题举例 word版含答案

1、起课时作业(八)一、选择题1将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则应分为()a2和6b4和4c3和5d以上都不对解析：设一个数为x，则另一个数为(8x)，则其立方和yx3(8x)383192x24x2且0x8，y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.当0x<4时，y<0；当4<x8时，y>0，所以当x4时，y最小答案：b2一个箱子的容积与底面边长x的关系为v(x)x2()(0<x<60)，则当箱子的容积最大时，x的值为()a30 b40 c50 d60解析：v(x)x330x2，v(x)x260x，令v(x)0，得x40(x0舍去)，且当0&

2、lt;x<40时v(x)>0，当40<x<60时v(x)<0，故v(x)在x40时取得最大值答案：b3某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品若该商品零售价定为p元，销售量为q，则销售量q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：q8 300170pp2.最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()a30元 b60元 c28 000元 d23 000元解析：设毛利润为l(p)，由题意知l(p)pq20qq(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以l(p)3p2300p11 700.令l(p)0，解得p30

3、，或p130(舍去)此时，l(30)23 000.根据实际问题的意义知，l(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元答案：d4设底为正三角形的直棱柱的体积为v，那么其表面积最小时，底面边长为()a. b. c. d2解析：设正三棱柱的底面边长为x，高为h，则vx2h，s2×x23xhx2.当sx0得，x.当0<x<时，s<0，当x>时，s>0，x时，s最小答案：c5某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利

4、率为x(x(0,4.8%)，则使银行获得最大收益的存款利率为()a3.2% b2.4% c4% d3.6%解析：依题意知，存款额是kx2，银行应支付的存款利息是kx3，银行应获得的贷款利息是0.048kx2，所以银行的收益是y0.048kx2kx3(0<x<0.048)，故y0.096kx3kx2.令y0，解得x0.032或x0(舍去)当0<x<0.032时，y>0；当0.032<x<0.048时，y<0.因此，当x0.032时，y取得极大值，也是最大值，即当存款利率定为3.2%时，银行可获得最大收益答案：a6某商场根据以往规律预计某种商品201

5、1年第x月的销售量f(x)3x240x(xn*,1x12)，该商品的进价q(x)与月份x的关系是q(x)1502x(xn*,1x12)，该商品每件的售价为185元，若不考虑其它因素，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是()a3 120元 b3 125元 c2 417元 d2 416元解析：该商场预计销售该商品的月利润为g(x)(3x240x)(1851502x)6x3185x21 400x(xn*,1x12)，g(x)18x2370x1 400.令g(x)0，解得x5，x(舍去)当1x5时，g(x)>0；当5<x12时，g(x)<0，当x5时，g(x)maxg(5)3 1

6、25(元)综上，5月份的月利润最大是3 125元答案：b7横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为()a.d，d b.d，dc.d，d d.d，d解析：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y，由题意，知当xy2取最大值时，横梁的强度最大y2d2x2，xy2x(d2x2)(0<x<d)令f(x)x(d2x2)(0<x<d)，求导数，得f(x)d23x2.令f(x)0，解得xd，或xd(舍去)当0<x<d时，f(x)>0；当d<x<d时，f(x)<0

7、，因此，当xd时，f(x)取得极大值，也是最大值综上，当矩形横断面的高为d，宽为d时，横梁的强度最大答案：c8在半径为r的半圆内有一内接梯形，其下底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，该梯形的上底长为()a. b.r c.r dr解析：设梯形的上底长为2x(0<x<r)，高为h，面积为s.h，s(rx)·.s.令s0，得x(xr舍去)，则hr.当x(0，)时，s>0；当<x<r时，s<0.当x时，s取极大值，也就是最大值当梯形的上底长为r时，它的面积最大答案：d二、填空题9某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(2

8、00x)件，当每件商品的定价为_元时，利润最大解析：利润为s(x)(x30)(200x)x2230x6 000(30x200)，s(x)2x230，由s(x)0得x115，当30x<115时，s(x)>0；当115<x200时，s(x)<0.所以当x115时利润最大答案：11510函数yx2cosx在区间0，上的最大值是_解析：令y12sinx0，得x(0x)，比较0，处的函数值，得ymax.答案：11某厂生产某种产品x件的总成本c(x)1 200x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为_件时，总利润最大解析：

9、设产品的单价为p万元，根据已知，可设p2，其中k为比例系数因为当x100时，p50，所以k250 000，所以p2，p，x>0.设总利润为y万元，则y·x1 200x3500x31 200.求导数得，yx2.令y0得x25.故当x<25时，y>0；当x>25时，y<0.因此当x25时，函数y取得极大值，也是最大值答案：2512某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米

10、处解析：依题意可设每月土地占用费y1，每月库存货物的运费y2k2x，其中x是仓库到车站的距离于是由2，得k120；由810k2，得k2.因此两项费用之和为y，y，令y0得x5(x5舍去)，此点即为最小值点故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小答案：5三、解答题13现有一批货物由海上从a地运往b地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，a地至b地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，

11、轮船应以多大速度行驶？解：(1)依题意得y(9600.6x2)300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35，即y300x(0<x35)(2)由(1)知，y300，令y0，解得x40，或x40(舍去)因为函数的定义域为(0,35，所以函数在定义域内没有极值点又当0<x35时，y<0，所以y300x在(0,35上单调递减，故当x35时，函数y300x取得最小值故为了使全程运输成本最低，轮船应以35海里/时的速度行驶14某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为t25t(百万元)(0t5)，现该公司准备共投入30

12、0万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为x3x23x(百万元)为使该公司由此获得的收益最大，求x的值解：设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)，则有g(x)(x3x23x)(3x)25(3x)3(0x3)，即g(x)x34x3(0x3)，g(x)x24，令g(x)0得x2(舍去)或x2，又当0x<2时，g(x)>0；当2<x3时，g(x)<0，g(x)在0,2上是增函数，在(2,3上是减函数，当x2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，该公司收

13、益最大15用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x cm，容器的体积为v(x) cm3.则v(x)x(902x)(482x)4x3276x24 320x(0<x<24)v(x)12x2552x4 32012(x246x360)12(x10)(x36)(0<x<24)令v(x)0，得x110，x236(舍去)当0<x<10时，v(x)>0，v(x)是增函数；当10<x<

14、;24时，v(x)<0，v(x)是减函数因此，在定义域(0,24)内，只有当x10时函数v(x)取得最大值，其最大值为v(10)10×(9020)×(4820)19 600(cm3)故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.拓展延伸16某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3<x<6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(1)因为x5时y11，所以1011，解得a